一轮复习课件 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、考纲要求考情分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.1.从考查内容看，对本节的考查主要侧重于用两个原理的应用，主要题型为利用两个原理解决一些计数问题2.从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出现，常与排列组合结合在一起命题，属中档题.一、分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有n 种不同的方法m1m2mn二、分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不

2、同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有n 种不同的方法m1m2mn三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与有关，各种方法 ，用其中的任一种方法都可以完成这件事，分步乘法计数原理与 有关，各个步骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成完成一件事分类相互独立分步相互依存在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数1从

3、3名女同学2名男同学中选一人，主持本班的“勤俭节约、从我做起”主题班会，则不同的选法种数为()a6 b5c3 d2解析：从3名女同学中选1人主持班会有3种选法从2名男同学中选1人，有2种选法，根据分类计数原理知，从5名同学中选1人共有325(种)答案：b解析：投3封信分三步，每步均有4种方法，由分步乘法计数原理知，共有44464种方法答案：c3.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给a、b、c、d四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将a、b、c、d四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(

4、n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为()a15b16c17d18解析：只需a处给d处10件，b处给c处5件，c处给d处1件，共16件次答案：b4.如图用6种不同的颜色把图中a、b、c、d四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_种解析：从a开始，有6种方法，b有5种，c有4种，d、a同色1种，d、a不同色3种，不同涂法有654(13)480(种)答案：4805三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，那么称这个数为凹数，如635,729,868等，所有的三位凹数的个数是_解析：按十位上的数字分九类，有12223242526272829228

5、5个答案：285个 【考向探寻】1对分类加法计数原理的理解2分类加法计数原理的应用问题【典例剖析】(1)(2012浙江高考)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有a60种b63种c65种d66种(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？(1)先找出和为偶数的各种情况，再用分类加法计数原理求解(2)先分类确定十位、个位数的情况，再求和即可答案：d(2)解：解法一：根据题意，将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类计数原理

6、知：符合题意的两位数的个数共有：8765432136(个)故共有36个解法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故有7个；同理，个位是7 的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有：1234567836(个)如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类标准，同

7、时要做到不重不漏【活学活用】1在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()a10b11c12d15答案：b【考向探寻】1对分步乘法计数原理的理解2分步乘法计数原理的应用问题【典例剖析】(1)(2012新课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有a12种b10种c9种d8种(2)已知集合m3，2，1,0,1,2，p(a，b)表示平面上的点(a，bm)，问：p可表示平面上多

8、少个不同的点？p可表示平面上多少个第二象限的点？p可表示多少个不在直线yx上的点？题号分析(1)利用分步乘法计数原理求解(2)先确定横、纵坐标的种数，再用分步乘法计数原理求解.答案：a(2)解：确定平面上的点p(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6636.确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是326.点p(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合m中取同一元素，共有6种取法即在直线yx上的点有6个由(1

9、)得不在直线yx上的点共有36630.【互动探究】本例条件不变，若结论改为“设a、b、cm，则yax2bxc可表示的开口向上的抛物线的条数为_”则如何求解？解析：若yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数答案：72如果完成一件事情需要分成n个步骤，且各步骤缺一不可，即只有依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理 在应用分步乘法计数原理时，只有各个步骤都完成时才算完成这件事，步骤之间互不影响，运用分步乘法计数原理，要确定好

10、次序，还要注意元素是否可以重复选取.【考向探寻】1同时利用两个计数原理解决综合性问题2几何图形中的涂色问题【典例剖析】(1)(2012北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为a24b18c12d6(2)如图所示，用四种不同颜色给图中的a，b，c，d，e，f六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有a288种 b264种c240种 d168种(1)根据所选偶数为0和2分类讨论求解(2)先按所涂颜色的种数分类，然后在每一类中再分步求解答案：b答案：b(1)在处理具体问题时，首先弄清是“分类”还

11、是“分步”，其次要弄清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，应先分类再分步，同时画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰【活学活用】2设集合i1,2,3,4,5，选取i的两个非空子集a和b，要使b中最小的数大于a中最大的数，则不同的选取方法共有()a47种b48种c49种d50种解析：当a中最大的元素为1时，b可以是2,3,4,5的非空子集，即有24115种方法当a中最大的元素为2时，a可以是2或1,2，b可以是3,4,5的非空子集，即有2(231)14种方法当a中最

12、大的元素为3时，a可以是3，1,3，2,3，1,2,3，b可以是4,5的非空子集，即有4(221)12种方法当a中最大的元素为4时，a可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，b可以是5，即有818种方法共有151412849种方法答案：c(12分)现有高一年级4个班中的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数

13、原理；(3)先分类后分步 (1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法； 2分第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人， 有10种选法； 4分所以，共有不同的选法n7891034(种). 6分(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法n789105 040(种). 8分(3)分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法； 10分从二