不等关系与不等式一元二次不等式的解法教案_5172

1、不等关系与不等式（一）一、教学目标1、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.3.了解不等式的基本性质2、过程与方法1.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力2.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性3、情感态度与价值观1.通过具体情境， 让学生去感受、 体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察归纳2.通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量二、教学重难点重点 ：用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，

2、并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题难点 ：用不等式或不等式组准确地表示不等关系，用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题 .三、教具准备多媒体、实物投影仪四、教学过程1.创设情境，导入新课情境 1.多媒体展示图片资料情境 2.多媒体展示图片资料（视频袋上的营养成分）问 图片给出了那些信息问 日常生活中 ,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？（举例）情境 3.展示图片：公路上的限速标志等2.推进新课现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？例 1某天的天气预报报道早晨最低温度为7，白天的最高温度为132. 三角形 ABC的两边之和

3、大于第三边3. 若一个数是非负数，则这个数大于或等于零问 如何表示不等关系？（用不等式或不等式组来表示 . ）问 什么是不等式呢 ?用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式 . 不等号的种类：、问 如何把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来如： 7 t 13， AB+AC>BC， a 是一个非负实数， a 0 问 2 2，这样写正确吗？“的含义是什么？3.问题探究问题 1 设点 A 与平面 的距离为d,B 为平面 上的任意一点 .活动与探究 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系引导： 借助图形来表示不等量关系.问题 2 某种杂志原以每本2.5 元的

4、价格销售 ,可以售出 8万本 .据市场调查 ,若单价每提高 0.1元,销售量就可能相应减少2 000 本 .若把提价后杂志的定价设为x 元 ,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元呢 ?x 2.5 0.2) x 万元 .设杂志的定价为x 元，总收入为 (8问 是否有同学还有其他的解题思路？0.1设杂志的单价提高了 0.1n元， (n N *) ， 销售量减少了0.2n 万本，单价为 (2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8- 0.2n) 20.问题 3 某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成 500mm 和 600 mm

5、 两种 ,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍 .怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?4.练习1、用不等式表示下列情况（1）a 与 b 的和是负数（2）x 的平方加上 x 的 2 倍大于 10（3）a 的 1/3 与 2 的差不超过 b（4）y 的 3 倍与 4 的差不小于 x课后练习 p74 1、 25.深入探究问题 1、请学生回忆等式有哪些性质？问题 2、实数大小的比较？（考察两个实数的差）问题 3、不等式有哪些性质？（实数的8 个性质）例: 一直 a>b>0,c<0, 求证 c/a>c/b课本 P74 练习 3五、课堂小

6、结1. 生活中存在的大量不等关系2. 用不等式表示不等关系3. 不等式的基本性质六、课后作业第 84 页习题 3.1A 组 4、 5.第2课时授课类型： 新授课【教学目标】1知识与技能 ：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基

7、本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若 abacbc（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个即若 ab, c0acbc正数，不等号的方向不改变；（ 3）不等式的两边同时乘以或除以同一个 负数，不等号的方向改变。即若 a b, c 0 ac bc2.讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1） (a c) (b c) a b 0，a c bc2）(ac)(bc)ab0 ， a c b c 实际上，我们还有ab, bcac ，（证明： a b， b c， a b 0，b c 0根据两个正数的和仍是正数，得(a b) (b c)

8、 0，即 a c 0，a c于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1） ab,bcac（2） aba cbc（3） ab,c0acbc（4） ab,c0acbc2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1） ab,c dacb d ；（2） a b0, c d 0ac bd ；（3） ab0, nN , n1anbn ; n an b 。证明：1） a b， ac b c cd， b c b d 由、得a c bdab, c0acbcacbd2） cd,b0bcbd3）反证法）假设nanb ，nanbab则：若nanbab这都与 ab 矛盾， n anb 范例讲解 ：例

9、1、已知 ab0, c0, 求证 cc 。a1b证明：以为 ab0，所以 ab>0,0 。于是 a1b111ababab，即 ba由 c<0 ，得 c cab3.随堂练习 11、课本练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（32）2626；（2）（3 2 ）2（6 1）2；11（3）5265；(4) 当 a b 0时， log 1alog 1 b答案： (1)2（ 3）2（ 4）（2）补充例题 例 2、比较 (a3)（ a 5）与（ a 2）（ a 4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负 (注

10、意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要 )。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（ a 3）（ a 5）（ a 2）（a 4）（ a2 2a 15）（ a2 2a 8） 70（ a 3）（ a 5）（ a 2）（a 4）随堂练习 21、 比较大小：（ 1）（ x 5）（ x 7）与（ x 6） 2（ 2） x2 5x 6与2 x2 5x 94.课时小结本节课学习了不等式的性质， 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式， 还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小 作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化

11、简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论5.评价设计【板书设计】§ 3.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】知识与技能理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】一元二次不等式的解法。【教学难点】理解三个二次之间的关系

12、。【教学过程】（一）课题导入上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（ISP）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。某同学要把自己的计算机接入因特网，比如说在我们周围现有两家ISP 公司电信和网通可供选择。假如电信公司每小时收费1.5 元（不足1 小时按 1 小时计算）；网通公司的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1 小时内（含恰好1 小时，下同）收费1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少0.1 元（若用户一次上网时间超过17小时，按 17 小时计算）。一般来说， 一次上网时间不会超过17 小时，所以，不妨设一次上网时间总小于1

13、7 小时。那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用？分析问题：假设一次上网x 小时，则电信公司收取的费用为1.5x（元），网通公司收取的费用为 x(35x) （元），如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则20x(35 x)1.5x ，整理得：一元二次不等式模型：x25x020设计意图： 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型（互联网的收费问题） ，引入新课。（二）讲授新课1、一元二次不等式的定义象 x 25x 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。2、探究一元二次不等式 x 25x0 的解

14、集怎样求不等式 x25x 0 的解集呢？探究：f ( x)x25x 和 x 2一元二次不等式不是我们熟悉的东西，但是大家看5x0 这是什么？我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有着怎样的关系呢？容易知道：二次方程的有两个实数根：x10, x25 ，二次函数有两个零点：x10, x25 。于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（ 2）观察图象，获得解集画出二次函数yx25x 的图象，如图，观察函数图象，可知：x 轴上方， 此时， y > 0 ，即 x2当 x < 0，或 x > 5 时，函数图象位于5x0 ；当 x 0 ，或 x 5 时，函数图像与x

15、 轴相交，此时，y 0 ，即 x25x0当 0 < x < 5 时，函数图象位于 x 轴下方，此时， y <0，即 x25x0 ；通过上述分析， 我们可知， 不等式 x25x 0 的解集是 x | 0x5 ，从而解决了开始时提出的问题，所以我们可知当一次上网在5 个小时之内 （含 5 个小时） 的时候，选择电信比选择网通费用要少。当超过5 个小时的时候，选择网通费用较少。因此，我们可以结合平时的上网时间合理的来进行选择。设计意图： 从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出， 一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。（ 3）探究一般的一元二次不等式的解法ax

16、2bx c > 0 （ a > 0）或ax 2任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax 2bx c < 0（ a > 0），怎样确定一元二次不等式bx c >0 与 ax 2bxc <0 的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见， 可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：ax 2ax 2（ 1）二次函数 ybxc 与 x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程bx c = 0 的根的情况；（ 2）二次函数 yax 2bxc 的开口方向，也就是a 的符号。总结讨论结果：ax2（ 1）二次函数 ybxc （ a > 0

17、）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax 2bxc = 0 的判别式b24ac 三种取值情况 (>0， =0， <0）来确定，因此，要分三种情况讨论；（ 2） a < 0 可以转化为 a > 0。归纳总结：一元二次不等式 ax2bx c0或 ax 2bx c 0 a0 的解集：设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax 2bx c0 a0 的 两 根 为 x1、 x2 且 x1x2 ，b24ac ，则不等式的解的各种情况如下表：判别式000b24ac二次函数222y ax bx cy ax bx cy ax bx cyax 2 bx c（ a0

18、 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bx c 0无实根x1, x2 (x1 x2 )x1ba0的根x22aax2 bx c 0x x x1或 x x2b(a 0)的解集x xR2a两根之外ax2 bx c 0(a 0)的解集x x1xx2两个之间例题讲解：例 1、解下列关于 x 的不等式（ 1） x2x 60 ；（ 2） 4x24x 10 ；（ 3）解不等式x22x 3 0解：（1）因为( 1)241(6)25 0 , 方 程 x2x 6 0 的 两 根 是x1 3, x22 ，xx3或 x2 。所以，原不等式的解集是1（ 2）因为0 , 方程 4x24x10 的解是 x1 x

19、2，所以，原不等式的解集是xx1。2（ 3）整理，得 x22x30 ，2化标准因为( 2)241(3)160 ，方程 x22x30的解是 x13, x21判 ，求根所以不等式 x 22x3 0 的解集是 x1 x 3 ，从而，原不等式的解集是x1x3 。下结论小结： 解一元二次不等式的步骤：（ 1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正） ；（ 2）判 ，求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；（ 3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式设计意图：通过三种不同形式的题目，让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解，强调一些注意事项，让学生规范操作。（在第三

20、个不等式上可以进行讨论）。课堂练习：1、解下列关于x 的不等式（ 1） x24x90（ 2） 3x2 7x 10（ 3） x22x 30设计意图：检验教学效果，学生黑板演练。备选例题（根据学生程度和课堂时间情况进行调整）2例 2、求函数( )2log(32) 的定义域f xxx 320xx解：要使得函数有意义，则2，x2即 2 x32xx0所以,x3 ，13故函数 f ( x)的定义域是 2,3) 。设计意图：结合函数定义域，拓宽学生知识面，列出式子让学生黑板练习，检验教学效果。（三）随堂练习：课本第 80 的练习 1。（四）课时小结今天我们学习了一元二次不等式及其解法，同学下去可以再多看看三

21、个二次之间的关系， 结合函数图像给出不等式的解集。 同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方；例如不等式的右边为 0、最高次的系数为正等等。同时请同学们下去思考： 我们刚才提到的很多个不等式的左边实际上都可以进行因式分解，那么同学们又是否可以根据因式分解的结果来写出所对不等式的解集呢？§3.2一元二次不等式及其解法（2）【教学目标】1知识与技能 ：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2过程与方法 ：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3情态与价值 ：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新

22、精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想【教学重、难点】重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系【教学过程】1课题导入（ 1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系（ 2）一元二次不等式的解法步骤课本第77页的表格2范例讲解例 3某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h有如下的关系： s1x1x2 2018039.5m，那么在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意， 我们得到1x1239.520180xx29x71100移项整理得：显 然 2有0两个实数根，即0 ， 方 程 x 9x 7 1 1 0x188.94, x279.94 x | x88.94,