实数的连续性与完备性的进一步讨论课件

1、9 关于实数的连续性 与完备性的进一步 讨论单调有界定理确 界定 理闭区间套定理有限覆盖定理列紧性定 理Cauchy收敛定理等价定理可相互证明定义9.1 （集合的聚点）的任何邻域的任何邻域如果点如果点和点和点对数轴上的点集对数轴上的点集aa,E|0|);( axxaUo的的点点，中中异异于于都都含含有有aE空空集集即即 ),(UEo a则称 为 的聚点.aE等价的叙述:的任何邻域的任何邻域如果点如果点a|0|);( axxaUo都含有 中无穷多个点，则称 为 的聚点.aEE定理定理9.1 (聚点定理聚点定理)证：二等分，二等分，将，将设设,Ebaba .,E11ba中中无无穷穷多多点点，记记为

2、为则则至至少少一一个个含含,kkba依次可得闭区间套依次可得闭区间套满足下列条件：满足下列条件：实数轴上任何一个有界无限点集至少有一个聚点.二等分，二等分，继续将继续将,11ba.,E22ba无无穷穷多多点点，记记为为则则至至少少一一个个含含.E,)3(的无穷多个点的无穷多个点中每个区间都含有中每个区间都含有kkba, 2 , 1, )1(11 kbabakkkk; 0|lim)2( kkkab 1,kkkba 唯唯一一由由闭闭区区间间套套定定理理，存存在在有有当当对对, 0NkN 中中无无穷穷多多点点，含含）由由（E),(3),(, ookkUUba .E聚聚点点为为由由聚聚点点定定义义 定

3、理9.2 利用聚点定理证明列紧性定理证明： 设 为一个有界无穷点列，若 只有有限多个数组成，则它必有无穷多项等于同一个数，此时定理自然成立。 下设 有无穷多个互不相同的数组成，则集合就是数轴上的一个有界无穷点集，它存在一个聚点，设为 。与聚点的定义知，对任意的正整数k，在 中必有 的无穷多项，我们可以取 的子列易见 。nxnxnx*:nExnNanx1( ,)U ak1211( ,1), ( , ), ( ,),2knnnxU axU axU aklimknkxanx定理9.3 利用有限覆盖定理证明聚点定理证：反证法： 设有界无限点集S无聚点，则由S有界知,baSba 使使得得存存在在实实数数

4、.S,聚聚点点中中点点都都不不是是无无聚聚点点，知知由由baS.S),(,的的有有限限个个点点仅仅含含有有使使得得xoxxUbax ,| ),(baxxUFxo 记记.S一开覆盖一开覆盖为为则则F由有限覆盖定理，由有限覆盖定理，.SS的的有有限限个个点点含含有有有有限限个个开开覆覆盖盖，每每个个仅仅存存在在矛盾定理定理9.4证： |, 01, 0nmNnmN有有对对.lim nnCauchy定定理理，由由用Cauchy收敛原理证明确界定理.,S1S.1,Snnnnnnnknknknknn任 取 正 整 数， 存 在 整 数使 得是上 界 ，但不 是的 上 界记则是上 界 ， 但不 是 。1111, ,1,| max , mnmnnmnmmnm nnnm任取两个自然数 由于是S的上界而不是，易知 类似有易得.S上确界上确界是是下证下证 .S上上界界是是由由极极限限保保序序性性知知， 有有对对, 0NnN ,1 nn