二次函数的性质与图像教案

1、二次函数的性质与图象【学习要求】1.掌握二次函数的概念及性质；2.会求抛物线的对称轴与顶点坐标；3.会用配方法将二次函数 yax2bx c 变形为 y a(xh) 2 k 的形式，从而会求二次函数的最值【学法指导】通过探究多个具体的二次函数的图象，感知二次项系数对张口方向和张口大小的影响；通过探究具体的二次函数的图象和性质，归纳出二次函数的图象和性质；在探究二次函数的性质过程中培养分类讨论及数形结合的思想方法 . 填一填：知识要点、记下疑难点1.函数 yax2 (a 0)的图象是一条以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线2.一元二次函数的定义：函数 y ax2 bx c(a0)叫做二次函数，其图

2、象是一条抛物线，当a>0 时，抛物线开口 向上，当 a<0 时，抛物线开口 向下 . |a|越小图象开口就 越大 ， |a|越大图象开口就 越小 . 抛物线的顶点坐标是( b ，4ac b22ab4a)，抛物线的对称轴是直线x2a.3.一元二次函数y ax2 bx c(a 0)的性质：当a>0时，函数在区间 (， b上是 减函数 ，在 b ， )2a2a2上是 增函数 ，在 b上是 增函数 ，当 x b 时， ymin 4acb ；当 a<0 时，函数在区间 (，b， )2a4a2a2a上是减函数，当 x b 时， ymax 4ac b2.2a4a研一研：问题探究、课堂

3、更高效 问题情境 在初中我们学习过二次函数，但研究的不够深入譬如：y ax2 和 yax2 bxc(a 0) 的图象之间有什么关系？ y ax2 bxc(a 0) 的单调性如何？何时取得最值？这些问题就是我们本节重点研究的问题探究点一二次函数的概念问题 1 在初中我们学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？答： 函数 y ax2 bx c (a0)叫做二次函数，它的定义域是R.问题 2 对于二次函数2a 的变化是如何影响其图象y ax (a 0) ，观察下面的图象，说出的张口的大小的？答：当 a>0 时，函数 y ax2 (a 0)的图象张口向上， a 越小图象开口就

4、越大， a 越大图象开口就越小； 当 a<0 时，函数 yax2(a 0)的图象张口向下， |a|越小图象开口就越大，|a|越大图象开口就越小探究点二二次函数的性质例 1 试述二次函数f(x) 1x2 4x 6 的性质，并作出它的图象1211222解： (1) 配方 f(x) 2(x 8x 12)2(x 4)42(x 4) 2.由于对任意实数x，都有1(x 4)2 0，因此 f(x) 2，当且仅当 x 4 时取等号2这说明该函数当x 4 时，取得最小值2，记为 ymin 2，它的图象的顶点为12( 4， 2) (2) 求函数的图象与坐标轴的交点，令y0，即 2x 4x60，解此一元二次方

5、程，得x1 6， x2 2，这说明该函数的图象与x 轴相交于两点 ( 6,0) 和 ( 2,0) ，令 x 0，得 f(0) 6，说明函数的图象与y 轴的交点是 (0,6)(3) 列表描点作图：以x 4 为中间值，取x 的一些值 ( 包括使 y 0的 x 值) ，列出这个函数的对应值表：x 7 6 5 4 3 2 1y503 23052 2 22在直角坐标系内描点作图(下图)(4) 函数图象的对称轴是x 4，1( 4 h) 21因为 f( 4 h) 4( 4h) 6 h2 2，2211f( 4 h) ( 4h) 2 4( 4 h) 6 h22，22所以 f( 4 h) f( 4 h) 这就是说

6、，抛物线1 4x 6 关于直线 x 4 对称f(x) x22(5) 函数的增减性，再观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间( ， 4 上是减函数，在区间 4，)上是增函数2 k 与函数 y ax 2 的图象形状相同， 开口方向相同， 函数 y a(x h) 2 k 的图象的对小结： (1)函数 y a(x h)称轴是直线xh；顶点坐标为 (h ， k) (2) 如果一个函数满足 f(a x) f(a x) 或 f(x) f(2a x) ，那么函数 f(x) 的图象关于直线 x a 对称跟踪训练 1求函数 y x2 2x 3 的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间解： 由于

7、 y x2 2x 3 (x 1) 2 4，由 (x 1) 20，得 y4，当且仅当 x 1 时取“”，所以当 x 1 时，函数有最大值，即 ymax 4.函数图象的顶点坐标为 (1,4) ，对称轴为 x 1，单调增区间为 ( ， 1 ，单调减区间为 1 ， ) 问题 1 由函数 y ax2(a 0) 的图象作怎样的变换就能得到函数y a(x h) 2k(a 0) 的图象？答： y a(x h) 2 k(a 0)的图象可以看作由 y ax2 的图象平移得到的， h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“ h 正左移， h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移， k 负下移”

8、问题 2由函数 yax2 的顶点和对称轴分别为(0,0)及 y 轴，你能得出函数y a(x h)2 k (a0)图象的顶点坐标及对称轴各是什么吗？答：由于 y a(x h)2 k (a 0)的图象可以看作由y ax2 的图象平移得到的，所以y a(xh)2 k (a0)，顶点坐标为 ( h， k)，对称轴为直线x h.问题 3二次函数y ax2 bxc (a 0) 与 y a(x h) 2k (a 0) 之间有什么关系？2答：yax2 bx c a x b2 4acb a(x h)2 k，其中，2a4ah b ，k4ac b2.2a4a所以二次函数 yax2 bx c (a 0)可以通过配方化

9、为ya(xh) 2 k (a0) 的形式小结：二次函数 y ax 2 bx c 有如下性质：b 4ac b2b(1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是 2a，4a，抛物线的对称轴是直线x 2a；(2)当 a>0 时，抛物线张口向上，函数在xbymin 4ac b2b2a处取最小值4a；在区间， 2a 上是减函数，在b 2a， 上是增函数；b4ac b2b(3)当 a<0 时，抛物线张口向下，函数在x 2a处取最大值ymax4a；在区间， 2a 上是增函数，在b 2a，上是减函数例 2已知函数y ax2 (a 1)x14的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围1解：(1)

10、若 a 0，则 f(x) x 4，不合题意，舍去(2) 若 a0，则该函数为二次函数，a>0，解得 a3 5，3 52.<02综上可知， a 的取值范围为35，3 5.22小结：本题要注意分a0 和 a 0 两种情况进行分析跟踪训练2 已知函数123f(x) x 3x ：24(1) 求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2) 若 x1,4 ，求函数的值域解：(1) 对函数右端的表达式配方，得121，f(x) (x 3) 2422121所以函数图象的顶点坐标为3， 4，对称轴方程为x3，最小值为4 .(2) 由于 31,4，所以函数在区间 1,3上是减函数，在 3,4上是增函数，

11、所以当x 3 时， y21min4 ，12113当 x 1 时， ymax ×4，2442113所以函数的值域为4，4 .例 3求函数 y x2 2x 3 在区间 0 ， a 上的最值，并求此时x 的值解对称轴： x 1，抛物线开口向上(1) 当 0<a1时，函数在 0 ， a 上单调递减，当 x 0 时， ymax 3；当 x a 时， ymin a2 2a3.(2) 当 1<a<2 时，函数在 0,1 上单调递减，在 1 ， a 上单调递增，当 x 1 时， ymin 2；当 x 0 时， ymax 3.(3) 当 a2时，函数在 0,1 上单调递减，在 1 ，

12、 a 上单调递增，当 x 1 时， ymin 2，当 x a 时， ymax a2 2a 3.小结：若一元二次函数含参数，求它在一个确定的闭区间的最值问题，要依据对称轴位置是在区间左端点左边，在区间内，还是在区间右端点的右边对参数进行分类讨论若一元二次函数不含参数，求它在区间端点含有参数的区间内的最值，要分对称轴在区间内和区间外分类讨论，讨论的目的是确定函数在区间上的单调性2解 f(x) x2 2ax 1(x a)2 1 a2，对称轴 x a.(1) 当 a<0 时，函数在 0,2上是增函数，因此ymin f(0) 1.2(2) 当 0a2时， ymin f(a) 1 a .(3) 当

13、a>2 时，函数在 0,2上是减函数，因此 ymin f(2) 3 4a.练一练：当堂检测、目标达成落实处1. 已知一元二次函数y x2 2x 4，则函数()A对称轴为x 1，最大值为3B对称轴为x 1，最大值为5C对称轴为x 1,最大值为5D对称轴为 x 1，最小值为 3解析：由 y x2 2x 4 (x 1)2 5，知对称轴为 x 1,最大值为 5.2.若 f(x) (m 1)x 2 2mx 3 为偶函数，则 f(x)在区间 ( 3,1) 上 ()A单调递增B单调递减C先增后减D 先减后增解析：当 m 0时， f(x) 是偶函数，此时 f(x) x2 3，所以 f(x)的图象是张口向

14、下的抛物线，所以函数 f(x)在区间 ( 3,1) 上先增后减3.把函数 y x2 2x 的图象向右平移2 个单位，再向下平移 3 个单位所得图象对应的函数解析式为_解析：将函数 yx2 2x 的图象平移后，得到的解析式为y (x 2)2 2(x 2) 3x2 6x 5.课堂小结：1.函数 y a(x h) 2k(a 0) 的图象为一条抛物线：函数y a(x h) 2 k 与函数 yax2 的图象形状相同，开口方向相同，函数y a(x h)2k(a 0) 的图象的对称轴是直线x h；顶点坐标为 (h ， k) 2.二次函数 y a(x h) 2k的图象是将函数 y ax2 的图象先向上或向下平移 |k| 个单位，再向左或向右平移|h| 个单位得到