二次函数知识点总结及相关典型题目

1、学习必备欢迎下载二次函数知识点总结及相关典型题目一基础知识1. 定义：一般地，如果yax2bxc( a, b, c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 y ax 2 的性质（ 1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴 .（ 2）函数 yax2的图像与 a 的符号关系 .当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；当 a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .3y 轴的抛物线的解析式形式为yax2（ a 0）（ ）顶点是坐标原点，对称轴是3.二次函数yax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4.二次函数 yax 2bxc 用配方法可化

2、成：y a xh 2k 的形式，其中 hb ， k4acb2.2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： yax2 ； yax2k ； y a xh 2 ； y a x h 2k ； y ax 2bx c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当a 0 时，开口向上；当a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .平行于 y 轴（或重合）的直线记作x h . 特别地， y 轴记作直线 x0 .7.顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8

3、. 求抛物线的顶点、对称轴的方法24acb2b4acb2（ 1）公式法： yax2bxc axb，顶点是（4a2a，），2a4a对称轴是直线xb.2ah 2（ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xk 的形式，得到顶点为( h , k ) ，对称轴是直线x h .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9. 抛物线 y ax 2bxc 中， a,b,c 的作用（ 1） a 决定开口方向及开口大小，这与yax2中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置

4、. 由于抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线xbb 0时，对称轴为b0（即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；，故：y 轴；2aa b0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .a（ 3） c 的大小决定抛物线 y ax2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0时， y c ，抛物线yax2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）： c0 ，抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式

5、开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（ y 轴）（ 0,0）yax2kx0（ y 轴）(0,k )ya xh2当 a 0时xh(h ,0)y a x h2k开口向上x h(h ,k )当 a 0时ax2b4ac b 2ybxc 开口向下xb2a(，)11 a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c2a4a等符号的确定12二次函数值恒正或恒负的条件：恒正的条件： a 0 且0 ；恒负的条件：a0 且0 。13抛物线的平移规律：在顶点式的基础上- “左加右减，上加下减”。在一般式的基础上-14两抛物线关于坐标轴对称的条件：抛物线 ya xh 2k 关于 x 轴对称的解析式：抛物线 ya xh

6、2k 关于 x 轴对称的解析式：15. 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式 .（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（ 3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标 x1 、 x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 .16二次函数的最值问题(1)公式法 :y=ax2+bx+c 中 ,当 a>0 时 ,x=_,y 最小 =_; 当 a<0 时 ,x=_,y 最大 =_.2+k, 若 a>0, 当 x=_,y(2) 配方法 :y=a(x-h)最小

7、=_; 若 a<0, 当 x=_,y 最大 =_.学习必备欢迎下载17. 直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线yax2bxc 得交点为 (0,c ).（ 2 ） 与y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax 2bxc 有 且 只 有 一 个 交 点( h , ah 2bhc ).（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、 x2 ，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上

8、）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0个交点、 1个交点、 2个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax2bxck 的两个实数根 .（ 5）一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax2bxc a0 的图像 G 的交点，由方程组ykxn的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l 与 G 有yax2bxc两个交点 ;方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 .（ 6 ） 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离

9、 ： 若 抛 物 线 y ax2bxc 与 x 轴 两 交 点 为A x ， B x ，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故1020x1x2b , x1 x2caab24cb24acABxxxx22xx24x x2121121aaaa二 典型题目一、选择题1抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴的交点的个数有 ()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个2二次函数 y=(x-1) 2+2 的最小值是 ()A.-2B.2C.-1D.13用配方法将二次函数2写成形如2y=3x -4x-2y=a(x+m)+n 的形式 ,则 m,n 的值分别是 ()210210C.m=2,n=6D.m=

10、2,n=-2A.m= ,n=3B.m=- ,n=-3334关于 x 的一元二次方程x2-x-n=0 没有实数根 ,则抛物线 y=x2-x-n 的顶点在 ()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5抛物线 y1 ( x 2) 21 可由抛物线y1 x 2 （）而得到。22A先向左平移 2 个单位，再向下平移1 个单位；B先向左平移 2 个单位，再向上平移1 个单位；C先向右平移 2 个单位，再向下平移1 个单位；D先向右平移 2 个单位，再向上平移1 个单位。6已知二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图象如右上图所示，给出以下结论： a+b+c<0； a- b+c<0

11、； b+2a<0； abc>0； b 24ac0 其中所有正确结论的序号是（）ABCD7 ykx( k为常数， k0); ykxb(k, b为常数， k0);yk (k为常数， k0); yax2 (a为常数， a0);x其中，函数 y 的值随着 x 值得增大而减少的是（）yAB、C 、D 、8已知抛物线 yx2bxc 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A c0 ；x2B若 y0，则 ybxc 与 x 轴的交点是（1， 0），（ 3， 0）；1O 1xC y 随 x 的增大而减小的自变量x 的范围是： x 1；OD若 y0，则 x 的取值范围是：x 1 或 x 39小明、小亮

12、、小梅、小花四人共同探讨代数式x2 4x+5 的值的情况他们作了如下分工： 小明负责找其值为1 时的 x 的值，小亮负责找其值为0 时的 x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）A小明认为只有当x=2 时， x2 4x+5的值为 1B小亮认为找不到实数x，使 x2 4x+5 的值为 0C小梅发现 x2 4x+5 的值随 x 的变化而变化，因此认为没有最小值2D小花发现当 x 取大于 2 的实数时， x 4x+5 的值随 x 的增大而增大，因此认为没有最大值10. 抛物线yx2mx(m2)的顶点坐标在第三象限，则m的值为（）2A m1 或 m

13、2 B m 0 或 m 1 C 1 m 0 D m 1 11已知二次函数y=3(x-1) 2+k的图象上有A( 2 ,y1)、 B(2,y2)、 C(-5 ,y3)三个点 ,则 y1、 y2、 y3的大小关系为 ()A.y1 >y2>y3B.y2>y1>y3C.y 3>y1>y2D.y 3>y 2>y1212由于被墨水污染 ,一道数学题仅能见到如下文字 :“已知二次函数 y=x +bx+c 的图象过点 (1,0)求证 :A. 过点 (3,0)B.顶点为 (2,-2)C. 在 x 轴上截得的线段长是2D. 与 y 轴的交点是 (0,3)213如图函

14、数y=ax -bx+c 的图象过点 (-1,0),则abc的值是()b cc aabA.-3B.3C.-1D.1学习必备欢迎下载14已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示 ,下面结论 :22函数 y=ax2 与 y=ax a（ a 0在同一直角坐标系中的图象大致是（）(1)a+b+c<0;(2)a-b+c>0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正确的结论有 ()A.4 个 B.3个C.2个D.1个15二次函数 y=ax2 bx c 的图象在x 轴的上方的条件是（）A a 0， b2 4ac 0B a 0， b2 4ac 0C a 0， b2 4ac 0D a0

15、， b2 4ac 023一台机器原价为 60 万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y 万元，则 y 与16如图，如果函数 y=kx b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数 y=kx2bx1 的大致图象是（）x 之间的函数表达式为（）A y=60（ 1 x） 2B y=60（ 1 x）C y=60 x2D y=60（ 1 x） 217已知抛物线 y=ax2 bx c，如图所示，则x 的方程 ax2 bx c 3=0 的根的情况是（）A有两个不相等的正实根B有两个异号实数根C有两个相等实数根D没有实数根18下列四个函数：y=x 1； y=3 ； y= x2 ； y=2x（ 1 x

16、2）其中图象是中心对称x图形，且对称中心是原点的共有（）A1个B2 个C3 个D4 个19已知函数 y=ax2 bx c 的图象如图所示，关于系数a、 b、 c 有下列不等式：a 0； b0； c 0； 2a b 0； ab c 0其中正确个数为（）A1个B2 个C3 个D4 个24抛物线 y=x2 ax b 向左平移 2 个单位再向上平移 3 个单位得到抛物线y=x2 2x 1，则（）A a=2， b= 2 B a=6， b=6C a= 8， b=14 D a=8， b=18二、填空题1抛物线 y=3(x+4)(x-2) 与 x 轴的两交点坐标为_,与 y 轴的交点坐标为 _.2已知抛物线y

17、=x2 （ m 1） x 1 的顶点的横坐标是 2，则 m 的值是43二次函数 y=x2 2x 3 的最小值是4抛物线 y=x2 2a x a2 的顶点在直线 x=2上，则 a 的值是5二次函数 y= x2 6x 5，当 x时， y 0 ，且 y 随 x 的增大而减小。6已知二次函数2的图象如图所示，那么化简a 22abb2ay=x （ a b） x ab的结果是2 与四条直线 x=1， x=2， y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则7若一抛物线 y=axa 的取值范围是2 4x 5 向左又向上分别移动8把抛物线 y=2x4 个单位，再绕顶点旋转180°，则所得新的图象的表达式是

18、9请你写出函数y=3（ x 1）2 与 y=x2 1 具有的一个共同性质10抛物线 y=x2 （ 2m 1）x 2m 与 x 轴的两个交点坐标分别为A（ x1 ，0），B（ x2，0），且 x1=1，x2则 m 的值为11抛物线与直线在同一直角坐标系中，如图所示点P1（ x1，y1），P2（ x2，y2）均在抛物线上，点 P3（ x3， y3）在直线上，其中2 x1 x2 ，x3 2，则 y1、 y2、 y3 的大小关系为20已知二次函数y=ax2 bx c 的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）（多选）A abc 0B b2 4ac 0C 2ab 0D 4a 2b c 021如图，二次函数

19、y=x2 4x 3 的图象交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C，则 ABC 的面积为（）A 6B 4C 3D 1学习必备欢迎下载12如图，已知一次函数y= 2x 3 的图象与x 轴交于 A 点，则 y 轴交于 C 点，二次函数y=x2 bx c 的图象过点C，且与一次函数在第二象限交于另一点B若 AC ：CB=1 ：2，那么这个抛物线的顶点坐标是三、解答题3如图所示，一单杠高2 2m，两立柱之间的距离为杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状1 6m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁1已知抛物线y=x2（ a 2） x 12 的顶点在x= 3 上，求 a 的值及顶点的坐标（ 1）一身高 07m

20、 的小孩站在离立柱04m 处，其头部刚好碰到绳子，求绳子最低点到地面的距离；2已知二次函数 y=x2 x 6（ 2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0 4m 的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2m，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离（供选用数（ 1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；据：3.36 =1 8， 3.64 1 9， 4.362 1）（ 2）画出函数图象；x2 x 6=0 的解及使不等式x2 x 6 0 成立的 x 的取值范围；（ 3）观察图象，指出方程（ 4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形面积4已知抛物线 y=x2 2mx m

21、 2 的顶点在坐标轴上，直线y=3xb 经过抛物线的顶点，求直线与两条坐标轴围成的面积学习必备欢迎下载5已知二次函数 y=2x2-mx-m 2.7如图 ,直线 y=2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于A、 B 两点 ,将 AOB 绕点 O 顺时针转 90°得到(1)求证 :对于任意实数m,该二次函数图象与x 轴总有公共点 ;A1OB1.(2)若该二次函数图象与x 轴有两个公共点A、 B,且 A 点坐标为 (1,0),求 B 点坐标 .(1) 在图中画出A1OB1;(2)求经过 A、 A1、 B1 三点的抛物线的解析式.6如图 1 是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线

22、形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m, 拱桥的跨度为10 m, 桥洞与水面的最大距离是5 m, 桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m 的景观灯 .若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中.(如图 2)(1)求抛物线的解析式;(2) 求两盏景观灯之间的水平距离.8 已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中 a、b、c 都不等于0）它的顶点P 的坐标是（ -b/2a ，4ac-b2/4a），与 y 轴的交点是M（ 0、c）。我们称以 M 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM 为 L 的伴随直线。（ 1）请直接写出抛物线 y=2x 2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式：。伴随直线的解析式：。（ 2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x 2-3 和 y= -x-3 。则这条抛物线的解析式是