导数的应用最值不等式

1、导数的应用导数的应用最值与不等式最值与不等式 方法步骤方法步骤求定义域求定义域求导求导化简整理化简整理穿根定正负穿根定正负单调性单调性极值极值最值最值图像图像方法技巧方法技巧1.f(x)在区间在区间a,b求最值：先求求最值：先求f(x)在在(a,b)内的极值，内的极值， 将将f(x)的各极值与端点值的各极值与端点值f(a)、f(b)比较比较,得出结论。得出结论。2.f(x)在区间在区间（a,b）或）或r上求最值，要注意结合解析式上求最值，要注意结合解析式 及单调性分析函数值变化趋势，结合极值点与函数零及单调性分析函数值变化趋势，结合极值点与函数零 点的位置关系。点的位置关系。1.求最值求最值数

2、形结合画导函数图像数形结合画导函数图像2.不等式问题不等式问题不等式等价变形不等式等价变形定义新函数定义新函数解决不等式问题解决不等式问题求导研究单调性求导研究单调性或最值或最值方法步骤方法步骤基础自测基础自测上的最大值。，在求已知函数121)(,2ln)(. 2xfxxxf基础自测基础自测上的最大值。，在求已知函数121)(, 1)(. 32xfxxexfx基础自测基础自测分类分析：33)(2axxf-1-1-11110) 1 (0fa0)1(0) 1(110affaa0)1(110faaa1a14440)1(4 , 20) 1(0) 1 (aaafaff综上所以另解：抓条件，缩小抓条件，缩

3、小a的出发点。的出发点。上的最大值。在求函数年广东理例k, 0)(,1 ,21k)2(.) 1()()13.(12xfkxxexfx?k02ln的关系，怎样解决，与区间障碍一：k典型问题一典型问题一 运用导数解决函数的最值问题运用导数解决函数的最值问题.2ln0 ,2 , 12),2()(kkkexxfx和有两个零点分析：，求最值。，定义1 ,212ln)(gkkkk?)(),0(ymax，怎样解决障碍二：可知kffmax上的最值。在求定义）（）作差1 ,21)(, 1)(,1(1-k0()(22khkkekhkkefkfkk上的最大值。在求函数年广东理例k, 0)(,1 ,21k)2(.)

4、1()()13.(12xfkxxexfx典型问题一典型问题一 运用导数解决函数的最值问题运用导数解决函数的最值问题强化步骤，转化障碍，题目分解，各个击破！强化步骤，转化障碍，题目分解，各个击破！规范步骤： 1过程书写要干净利落，条理分明，突出解法的逻辑关过程书写要干净利落，条理分明，突出解法的逻辑关系系 2要用数学语言，尤其借助于符号语言来进行说明可省要用数学语言，尤其借助于符号语言来进行说明可省去大篇的文字去大篇的文字 3解题步骤在说明函数的单调性与极值时，必须明确导解题步骤在说明函数的单调性与极值时，必须明确导数正负，再出单调性，使问题的解决清晰明了。数正负，再出单调性，使问题的解决清晰明

5、了。2ln2xex：证明不等式：例. 0, 2-ln-)(02-ln-求出最小值证明其大于考虑定义分析：不等式变形为：xexfxexx典型问题二典型问题二 借助最值解决不等式问题借助最值解决不等式问题01-)(xxexfx，?么，怎样分析障碍一：导数要分析什目标引领思路：导数要分析正负，有无零点目标引领思路：导数要分析正负，有无零点2ln2xex：证明不等式：例. 0, 2-ln-)(02-ln-求出最小值证明其大于考虑定义分析：不等式变形为：xexfxexx典型问题二典型问题二 借助最值解决不等式问题借助最值解决不等式问题2ln)(0)(01-)(,1 ,21!0) 1 (, 0)21()(

6、, 01-)(00min0000000 xexfyxxxfxexfxffxfxxexfxxx）上单减，）上单增，在（，在（并且使得单增，易知，?求不出来怎么办障碍二：导数有零点，回归问题本源，问题变条件回归问题本源，问题变条件1x0122ln2xex：证明不等式：例. 0, 2-ln-)(02-ln-求出最小值证明其大于考虑定义分析：不等式变形为：xexfxexx典型问题二典型问题二 借助最值解决不等式问题借助最值解决不等式问题，即证。）上单减，）上单增，在（，在（并且使得单增，易知，0) 1(21,ln,12ln)(0)(01-)(,1 ,21!0) 1 (, 0)21()(, 01-)(0

7、2000min00000min00000000 xxxxyxxxexexfyxxxfxexfxffxfxxexfxxxx?求不出来怎么办障碍二：导数有零点，回归问题本源，问题变条件回归问题本源，问题变条件1x012.2ln)(.)ln()(2eaxfxaxxf值之和大于的范围，并证明所有极存在极值，求若练习：设函数的最大值。求）时，且当为整数，）若（的单调区间；求：已知函数新课标kxxfxkaxfaxexfx, 01)(k-x(0, 12)() 1 (. 2)()2012.(1高考题组高考题组1.(2)(xk)(ex1)x10.等价变形，分离参数kx1ex1x(x0)令 g(x)x1ex1x，

8、求最小值，g(x)exexx2ex12.由由(1)知，函数知，函数h(x)exx2在在(0，)上单调递增上单调递增而而h(1)0，h(2)0，故故g(x)在在!(1,2)g()0，即，即e2易知最小为易知最小为g()，所以所以g()(2,3) k1，故，故k的最大为的最大为2.1a00)2ln().2ln()ln()(2mxxexemxexfmxxx故只需证明两个变量，与注意. 0)(2m)2()(,)(0) 1 ().ln()()2013.(2xfxfmxfxmxexfx时，证明当的单调性；并讨论的极值点，求是设已知函数新课标高考题组高考题组索？否从图像中寻求解题线的图像有什么关系，能与xe

9、xln2ln2xex：证明不等式：例典型问题二典型问题二 借助最值解决不等式问题借助最值解决不等式问题xy2lnxex1ln1xex1ln1xxex经常用到进行放缩与1ln1xxxex. 0)(2m)2()(,)(0) 1 ().ln()()2013.(2xfxfmxfxmxexfx时，证明当的单调性；并讨论的极值点，求是设已知函数新课标0)2ln().2ln()ln()(2mxxexemxexfmxxx故只需证明两个变量，与注意0)2ln(1)2ln(xxxex放缩一：0) 1()2ln(xexexx放缩二：高考题组高考题组进行放缩经常在证明解题中用到与1ln1xxxex（3）分析：问题可整

10、理为：x1ex(1xxlnx)1e2.1)(0),()()(3)(21) 1 (1)(,ln)(2012. 322exgxxfxxxgxfkxfxfyekxxfx，证明：对任意）设（的单调区间：）求（的值；）求（轴平行。）处的切线与，在点（曲线山东理）已知函数（高考题组高考题组x1ex1,只需证(1xxlnx)1e2方法：理清主线，强化基本步骤方法：理清主线，强化基本步骤总结：总结：求定义域求定义域求导求导化简整理化简整理穿根定正负穿根定正负单调性单调性极值极值最值最值图像图像不等式等价变形不等式等价变形定义新函数定义新函数解决不等式问题解决不等式问题求导研究单调性求导研究单调性或最值或最值强化步骤，转化障碍，