几类特殊函数的求导课件

1、12.4 几类特殊形式函数的导数几类特殊形式函数的导数定义定义: :.)(0),(称称为为隐隐函函数数所所确确定定的的函函数数由由方方程程xyyyxF .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2.4.1 隐函数的求导法隐函数的求导法?0; 101222 yyxexyyxxy2例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函

2、函数数求求由由方方程程解解,求求导导方方程程两两边边对对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 yeexyyyeyyy )(),(, 为为中中间间变变量量，3处处的的切切线线方方程程。在在点点：求求椭椭园园例例)323, 2(1916 2 22 yx)2(43323 xy切切线线方方程程为为：求导求导解：方程两边对解：方程两边对x0dd928 xyyx43dd169dd3232 yxxyyxxy4例例3 3.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线

3、线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xxyxyxyyxdd33dd3322 )23,23(22)23,23(ddxyxyxy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为, xy 即即显然通过原点显然通过原点.5.dd 422xyxyey数数所所确确定定的的函函数数的的二二阶阶导导：求求方方程程例例 ),(,xyyx 注注意意求求导导数数解解：方方程程两两边边对对 .232xeeyyxeyyy 2221ddxexeyeyxexeyxyyyyyy ,1dd

4、dd2xexyeyxexyyyy xeyxxyxxyydddddddd22求求导导数数，得得上上式式两两边边再再对对 x,ddxeyxyy ,dddd xyxyxyey 6例例5 5.)1 , 0(dd, 12244处处的的值值在在点点求求设设xyyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对 x)1(0dd4dd433 xyyxyxyx得得代入代入1, 0 yx;41dd10 yxxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(0dd4)dd(12dddd21222322222 xyyxyyxyxxyx得得41dd10 yxxy, 1, 0 yx代代入入.161dd1022 yxxy72

5、.4.2 对数求导法对数求导法观察函数观察函数,)4(1)1(23xexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxuxxysin 8 .1 ln xx 例例： ,1 ln0 xxx 时时，当当 ,1)1(1 ln0 xxxx 时时，当当 .1 ln xx 总总有有9例例1 1解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy 4ln21ln

6、311lnln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设10例例2 2 解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 求求导导法法求求导导：也也可可直直接接根根据据复复合合函函数数)ln(sinlnsin xxexx1sinlncossinxxxxxx )()(lnsinsin xxxexy11一般地一般地)0)()()()( xu

7、xuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 122.4.3参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t13),()(1xttx 具有单调连续的

8、反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx .)(1是中间变量是中间变量xt 由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得14,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dtdxttdtd)()( dxdtdtdxdyd .

9、)(1是中间变量是中间变量xt 15例例3 3解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax )sin()cos1(ttata.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即16例例4 4解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速

10、度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt17)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 202002

11、0sin2tggtvv 18例例5 5解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdtttdtd)()( dxdtdtdxdyd dtdxttdtd)()( 192.4.4 相关变化率相关变化率.,)(:),(,)()(化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的变变之之间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而

12、而它它们们的的变变化化率率之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量都都是是可可导导函函数数及及设设dtdxxfdtdydtdydtdxxfyyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?dtdxxfdtdyxfy)(),( 即即可可得得建建立立关关系系求法：求法：20例例6 6解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角

13、为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14. 0秒秒弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米50021例例7 7解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水水库库内内水水量量为为水水深深为为设设时时刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/28800360083小小时时米米 dtdV小小时时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米米时时当当 h 22232212:hhhh 截截面面积积h222小结小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复