几种特殊类型的函数积分课件

1、3.1.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分二、三角函数有理式的积分法二、三角函数有理式的积分法一、有理函数的积分法一、有理函数的积分法三、简单无理函数的积分法三、简单无理函数的积分法2、有理函数的分类：、有理函数的分类：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函数的积分法一、有理函数的积分法其其中中00 a，00 b.,)1(mn 真分式真分式；,)2(mn 假分式假分式；1、有理函数的定义；、有理函数的定义；由两个多项式函数的商所表示的函数称为有理函数。由两个多项式函数的商所表示的函数称为有理函数。3 3、有

2、理函数积分法、有理函数积分法; )1(真真分分式式多多项项式式假假分分式式多多项项式式除除法法 ：部部分分分分式式之之和和真真分分式式待待定定系系数数法法 )2(1111223 xxxxx如如（2）分母中因式）分母中因式 ，对应的部分分式为，对应的部分分式为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理真分式有理真分式 化为部分分式之和的步骤：化为部分分式之和的步骤：其中其中kAAA,21都是都是待定待定的的常数常数. 特殊地：特殊地：, 1 k部分分式为部分分式为;axA hkhhkqxpxqxpxxxbxQ )()()()()(121121011 在实数系作标准分解：在实数系作

3、标准分解：）对分母）对分母（)Q()P(xx) ,1, , 2不不可可约约因因式式为为（其其中中hiqxpxii （3）分母中因式）分母中因式 ，对应的部分，对应的部分分式为分式为kqpxx)(2 qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是待待定定的的常常数数), 2 , 1(ki . 特殊地：特殊地：, 1 k部分分式为部分分式为;2qpxxNMx 11)(AA11,111,10 xxbkkkkkxx )(AAk,1 , 111)(DBDB112,1,11121,11,1 qxpxxqxpxx )(DBDB2,21,1,1hhhh

4、hhhhhhqxpxxqxpxx （其其中中各各系系数数待待定定）；)()(xQxP真分式真分式6532 xxx)3)(2(3 xxx分分母母因因式式分分解解,32 xBxA部部分分分分式式之之和和),2()3(3 xBxAx通通分分后后分分子子相相等等),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA例例1 1比较系数比较系数（比较系数法比较系数法）,65 BA6532 xxx.3625 xx),2()3(3 xBxAx由由3, x令令.或或（赋值法赋值法）2),3(33 B得得; 6B 2, x令令. 5 A2)1(1 xx,)1(12 xCxBxA.)1()1(1 2CxxBxx

5、A 令令, 0 x; 1 A令令, 1 x; 1 C比较二次项的系数，比较二次项的系数，.)1(11112 xxx2)1(1 xx例例2 21. AB（综合法综合法）,0 BA 得得例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,21 x令令,1212xCBxxA )1)(21(12xx ;54 ACAx 1 , 0 得得令令;51 C比比较较一一次次项项的的系系数数，.52 B（综合法综合法）CB20 得得说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：（A）多项式；）多项式；;)()

6、(naxAB ;)()(2nqpxxNMxC 前两类易求，现讨论第三类积分前两类易求，现讨论第三类积分,)(2 dxqpxxNMxn, 1)1( n dxqpxxNMx2 dxqpxxMNppxM2/2)2(2,42222pqpxqpxx 令令tpx 2224 apq 令令, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2 dxqpxxpxM2)2(2 dxpqpxMNpM4/)2/(/2222 可求！可求！,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 记记 )()(122222atdatMn dt

7、atbn)(122122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .推推出出。及及可可由由其其中中 122 )( IatdtInn递递推推公公式式 例例4 4dxxxx)151522154(2 dxxx)1)(21(12)21(21152xdx .arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx )1(115122xdxdxx 21151 dxxdxxxdxx22115115221154注注（1 1）有理函数的原函数都是初等函数；

8、）有理函数的原函数都是初等函数；有理函数的积分一定可以有理函数的积分一定可以“积出来积出来”；（2 2）有理函数的积分总可以）有理函数的积分总可以“程序化地程序化地”求出来；求出来；（3 3）对具体的有理函数的积分可能有特）对具体的有理函数的积分可能有特定的简便求法。定的简便求法。例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、三角有理式的定义：、三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数

9、和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为的函数三角函数有理式可记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分2 2、三角有理式的积分法：、三角有理式的积分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 则则duudx212 万万能能代代换换dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 万能代换公式：万能代换公

10、式：。化化为为有有理理函函数数的的积积分分例例6 6 dxxxxcossin1sin222222tan121112112uduuuuuuuxu 万万能能代代换换：duuuu )1)(1(22duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11 21udu udu1 21uudu。还原还原 uarctan )1ln(212u Cu |1|ln注注（1）用万能代换用万能代换一定能一定能将三角函数有理式的积分将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；万能代换不一定是最好的；例例7 7 求求.cossin1 dxxx解一解一 dxx

11、x cossin1xxdxxsincoscossin1 uuduxu)1(2cos222)1 (21uuud）（)()1()1(2122222uduuuu )()111(21222uduu Cuu )1ln(ln2122。整整理理、还还原原 解二解二 dxxx cossin1xxdxxcossincossin1 )1(2sinuuduxu. 解三解三 dxxx cossin1 xxdxx2sectancossin1 xxdtantan. 解四解四 dxxx cossin1倍倍角角公公式式 dxx2sin2.|2cot2csc|lnCxx 解五解五 dxxx cossin1三角公式三角公式 dx

12、xxxxcossincossin22dxxx)cot(tan )2(2cscxxdCxx |sin|ln|cos|ln.|tan|lnCx 解六解六万能置换万能置换dxxx cossin122222tan1211121uduuuuuxuduuuu)1 (122,) ,(dxbaxxRn 的的积积分分 ) ,(dxecxbaxxRn 有理函数的积分有理函数的积分. .三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分 ecxbaxubaxunn ,换元：换元：1、例例8 8 321xdx3322 xttx令令 tdtt132 dttt11132cttt |1|ln33232cxxx |12|ln323

13、)2(233323例例9 9 dxxx3111616)1(1 xttx令令dttt 163Ctttt| 1|ln663223.) 11ln(6161312663Cxxxx注注可可使使积积分分有有理理化化。的的最最小小公公倍倍数数，为为，其其中中令令的的积积分分，对对形形如如knnnnnnecxbaxtecxbax , , ecxbaxxRk, ) ,( 11 dtttt52361 显然，积分的过程比微分的过程要复杂的显然，积分的过程比微分的过程要复杂的多，一个可微的初等函数，按照微分法总是多，一个可微的初等函数，按照微分法总是可以求出其微分的，但即使是很简单的初等可以求出其微分的，但即使是很简

14、单的初等函数也未必能用初等函数写出其不定积分。函数也未必能用初等函数写出其不定积分。下列函数的不定积分就不能写成初等函数下列函数的不定积分就不能写成初等函数（尽管我们知道其不定积分是存在的）：（尽管我们知道其不定积分是存在的）： ,cos ,sin ,222dxxdxxdxex.11 ,ln1 ,sin4dxxdxxdxxx )10( sin1222 kdxxk（3）一些简单无理式的）一些简单无理式的“程序化程序化”积分法积分法.（1）有理式的）有理式的“程序化程序化”积分法；积分法；（2）三角有理式的）三角有理式的“程序化程序化”积分法；积分法；（具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用（具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用“万能代换万能代换”之前应先考虑是否有更简便的方法）之前应先考虑是否有更简便的方法）四、小结四、小结（具体有理式可能有其特定的简便