几种特殊函数的积分(2)课件

1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学第四章 不定积分 高等数学（上）高等数学（上）河海大学理学院高等数学第四节第四节 几种特殊函数的不定积分几种特殊函数的不定积分有理函数：有理函数：两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数 . .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函数的积分一、有理函数的积分其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.河海大学理学院高等数学mn 称为称为真分式真分式；mn 称为称为假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式

2、可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. .例例1123 xxx112 xx 把把有理函数的积分有理函数的积分化成一个化成一个多项式多项式和一个和一个真分式真分式积分积分之和之和. .河海大学理学院高等数学关键：关键：将将真分式真分式化为化为部分分式部分分式之和之和. .由代数学里的部分分式定理知：由代数学里的部分分式定理知：1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( kkaxAaxAaxA)()(221其其中中kAAA,21都都是是常常数数. . 河海大学理学院高等数学)3)(2(3 xxx6532 xxx例例如如32 xBxA河

3、海大学理学院高等数学2）分母中若有因式分母中若有因式 , ,其中其中kqpxx)(2 , ,则分解后为：则分解后为：042 qpkkkqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxA)()(22222211定理定理1 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .河海大学理学院高等数学)3)(2(3 xxx6532 xxx例例132 xBxA)2()3(3 xBxAx)23()(BAxBA 3)23(1BABA 65BA6532 xxx3625 xx（待定系数法待定系数法）Cxx 3ln62ln5 dxxxx6532河海大学理学院高等数学1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为

4、，则分解后为kax)( kkaxAaxAaxA)()(221 2）分母中若有因式分母中若有因式 , ,kkkqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxA)()(22222211 kqpxx)(2 则分解为：则分解为：因此因此, ,只要求出四类积分只要求出四类积分. .caxaxdxA )ln(.caxkaxdxBkk 1)(111)(. kkkqpxxdxBxAD)()(.2dxqpxxBxAC 211.河海大学理学院高等数学 qpxxdxpABqpxxdxpxA21121)2()2(2dxqpxxBxAC 211.cpqpxpqpABqpxxA 42arctan42)ln(2221121 )4

5、()2()2()2()(22211221pqpxpxdpABqpxxdxqpxxA kkkqpxxdxBxAD)()(.2河海大学理学院高等数学 kkkkkqpxxdxpABqpxxdxpxA)()2()()2(222用用递递推推公公式式降降次次 121)(1112kqpxxkAkkkkkpqpxpxdpABqpxxqpxxdA)4()2()2()2()()(22222 kkkqpxxdxBxAD)()(.2河海大学理学院高等数学2) 1(1xCxBxA2)1(1 xx例例2AxBACxBA)2()(2CxxBxxA) 1() 1(12由由得得 ， ， . .1 A1C1B所以所以11)1(1

6、12 xxx2)1(1 xxdxxx 2) 1(1Cxxx ) 1ln(11ln河海大学理学院高等数学)21)()1(12xCBxxA )()2()2(2ACxCBxBA 2121xCBxxA 2151522154xxx )1)(21(12xx )1)(21(12xx 例例3,51,52,54 CBA得得河海大学理学院高等数学 dxxxx2151522154dxxx )1)(21(12因此因此 dxxxdxx21125121154 dxxxxdxx2211125121154Cxxxarctan511ln5121ln522河海大学理学院高等数学31xdxI)1)(1 (11123xxxx2211

7、)1)(1 (1xxCBxxAxxx32,31,31CBACxxxxI) 12(31arctan31) 1ln(611ln312河海大学理学院高等数学例例5 5dxxx ) 2(116Cxx ) 2ln(321ln2116 ) 2(161615xxdxx ) 2(161161616xxdx ) 2(16116yydyxy注意注意 一般的一般的方法方法不一定是最佳不一定是最佳的方法的方法, , 故有理式故有理式 的积分应的积分应先考虑其它方法先考虑其它方法, , 不得已时才用不得已时才用一般方法一般方法计算计算. .dyyy)211(321 河海大学理学院高等数学三角函数有理式的定义：三角函数有

8、理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，一般记为数，一般记为 . .)cos,(sinxxR二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分2sec2tan22xx 2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2cos2sin2sinxxx 因为因为2sec2tan122xx 2tan12tan122xx 河海大学理学院高等数学因而因而 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 212sinuux 2211cosuux duudx212 若令若令 ，则，则2tanxu uxarctan2 （称为万能代换称为万能代换）定理定理2 三角函数有理式的原函数都是初等函数三角函数有理式的原函数都是初等函数. .河海大学理学院高等数学讨论类型讨论类型),(nbaxxR 解决方法：解决方法：作代换作代换去掉根号去掉根号 . .三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分河海大学理学院高等数学例例8dxx 3211dttt 2311Cttt 1ln3323232 xt解解 令令 ，则，则 23 txdttdx23 所以所以dxx 3211dttt)1333( Cxxx 12ln3232233323dxx 211cxx )21ln(2(2原式原式=河海大学理学院高等数学例例10 dxxx31