函数的微分及其应用(1)课件

1、第三节函数的微分及其应用第三节函数的微分及其应用一、微分概念一、微分概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义第二章导数与微分第二章导数与微分三、微分的基本公式及其运算法则三、微分的基本公式及其运算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用一、微分概念一、微分概念先来看一个例子，边长为先来看一个例子，边长为 x 的正方形，的正方形，其面积增加多少？其面积增加多少？面积的增加部分记作面积的增加部分记作 S，则则 S = (x + + x )2 - - x2= 2x x + + ( x) 2，当当 x 很小时，例如很小时，例如 x = 1， x = 0.01 ，则，则 2x x = 0

2、.02，设正方形的面积为设正方形的面积为 S， 当边长当边长增加增加 x 时，时，而另一部分而另一部分 x2 = 0.000 1， 当当 x 越小时，越小时， x2 部分就比部分就比 2x x小的更多小的更多. 因此，如果要取因此，如果要取 S 的的近似值时，近似值时，显然显然 2x x 是是 S 的一个很好的近似，的一个很好的近似，2x x 就称为就称为 S = x2 的微分的微分.定义定义设函数设函数 y = f (x) 在点在点 x 的一个邻域的一个邻域内有定义，内有定义， y = A x + + ， 其中其中 A 与与 x 无关无关， 是是 x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，则称则称

3、 A x 为函数为函数 y = f (x) 在在 x 处的微分，记作处的微分，记作 dy，即即dy = A x . 这时也称函数这时也称函数 y = f (x) 在点在点 x 处处可微可微. 如果函数如果函数 f (x) 在点在点 x 处的增量处的增量 y = f (x + x ) - - f (x) 可以表示为可以表示为例例 1设设 y = x3，求，求 x = 1 处的微分处的微分.解解 y = (1 + + x)3 13 = 3 x + + 3( x)2 + + ( x)3.上式可以看成两部分组成，上式可以看成两部分组成， 它是它是 x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，. 0)3(lim

4、3limlim203200 xxxxxxxxx 所以函数所以函数 y = x3 在点在点 x = 1 处的微分是处的微分是dy = 3 x . 为了方便起见，把自变量的增量为了方便起见，把自变量的增量 x 写成写成 dx ，即即 x = dx. 从而从而dy = Adx . 第一部分具有第一部分具有 A x 形式的是形式的是 3 x， 第二部分第二部分 是是 3( x)2 + + ( x)3 ，这是因为这是因为 则 函 数则 函 数 y = f (x) 在点在点 x 处可导，处可导， 反之，如果反之，如果函数函数 y = f (x) 在点在点 x 处可导，处可导，证证因为因为 f (x) 在点

5、在点 x 处可微，处可微，. 0lim0 xx 其中其中.)(limlimlim000AxAxxAxyxxx 即即 f (x) 在点在点 x 处可导，且处可导，且 A = f (x). y = A x + + . 且且 A = f (x).所以有所以有定理定理 1设函数设函数 y = f (x) 在点在点 x 可微，可微，则则 f (x) 在点在点 x 可微可微. .从而有从而有， )( xfxy0lim 0 x其其中中( (这是根据极限与无穷小的关系得出的这是根据极限与无穷小的关系得出的).).得得 y = f (x) x + + x ., 0limlim00 xxxx因因为为所以，函数所以

6、，函数 f (x) 可微可微. 且且dy = f (x) x 或或 dy = f (x)dx . 反之，因反之，因 f (x) 在在 x 处可导，处可导， 即即， )(lim0 xfxyx 上述定理可叙述为：上述定理可叙述为： 函数函数 f (x) 在在 x 处可微处可微的充要条件是函数的充要条件是函数 f (x) 在在 x 处可导处可导. 式也可以写为式也可以写为).(ddxfxy 解解因为因为， 12xy 所以所以， d2dxxy .d2d2|d11xxxyxx 例例 2求函数求函数 y = 2ln x在在x 处的微分，并求当处的微分，并求当 x = 1 时的微分时的微分( (记作记作dy

7、 | x = 1) ). NTMP二、微分的几何意义二、微分的几何意义如图所示，如图所示，就是曲线就是曲线 y = f (x) 在点在点 P 处切线的纵坐标在相处切线的纵坐标在相应处应处 x 的增量，的增量， 而而 y 就就是曲线是曲线 y = f (x) 的纵坐的纵坐标在点标在点 x 处的增量处的增量 .xx + + xy=f (x)yx OPN = dx，NM = y，所以所以 dy = NT， NT = PNtan = f (x)dx，即函数即函数 y = f (x) 的微分的微分 dyMNPNTNdy 1. .基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dc =三、微分的基本公式及其运

8、算法则三、微分的基本公式及其运算法则0.dx = x - -1dx.dex =exdx.dax =axlnadx. xdln.d1xx xadlog.dln1xaxdsin x =cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x =sec2 xdx.dcot x =- - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x =- - csc xcot xdx. xdarccos xdarctan xdarccot xdarcsin.d112xx .d112xx .d112xx .d112xx 2. .微分的四则运算微分的四则运算定理定理 2设函数设函

9、数 u、v 可微，可微， 则则d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu. )0(ddd2 uuuvvuuv证证上述三个公式证法均类似，上述三个公式证法均类似，其余由读者作为练习自证之其余由读者作为练习自证之.d(uv) = (uv) dx = (uv + + vu )dx= uv dx + + vu dx .因为因为 v dx = = dv， u dx = du .所以有所以有d(uv) = = udv + + vdu .推论推论 1当当 v 为常数为常数 c 时，则时，则 d(cu) = = cdu.推论推论 2当当 v = 1 时，时，.d11d2uuu 我们只

10、证第二个，我们只证第二个，则则例例 3设设 y = 3ex tanx，求求 dy .解解dy = d(3ex) dtan x= 3dex sec2 xdx= 3exdx sec2 xdx = (3ex sec2x ) dx . 例例 4设设 y = excos x，求，求 dy .解解dy = d(excos x) = ex dcos x + + cos xdex= ex (cos x - - sin x)dx .例例 5,11 22xxy 设设求求 dy .解解2211ddxxy 222222)1()1)d(1()1d()1(xxxxx .d)1(422xxx 3. .复合函数的微分复合函数

11、的微分定理定理 3设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .则则 y = f ( (x) 也可微，也可微， 且且由于由于du = (x) dx，所以上式可写为所以上式可写为dy = f (u) du .从上式的形式看，从上式的形式看， 它与它与 y = f (x) 的微分的微分 dy = f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性形式一样，这叫一阶微分形式不变性. 其意义是：不管其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函是自变量还是中间变量，函数数 y = f (u) 的微分形式总是的微分形式总是 dy = f (u)du

12、 .例例 6设设 y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解利用微分形式不变，利用微分形式不变， 有有dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .例例 7设设 y = e- -3x cos 2x，求，求 dy . 解解 dy = d(e- -3x cos 2x) = e- -3x dcos 2x + + cos 2xde- -3x = - -e- -3x sin 2xd(2x) + + e- -3x cos 2x d(- -3x ) = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x)dx ，由此也可知由此也可知y = - -e- -3x (2sin

13、 2x + + 3cos 2x) .四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当当 | x | 很小时很小时( (记作记作 | x | 1) )， y dy .即即f (x0 + + x) - - f (x0) f (x0) x， 或或f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0). 有有解解球的体积公式是球的体积公式是.343rv 当当 r 由由 4 m 增加到增加到 4 + 0.1 m ， v 的增加为的增加为 v 时，时， v dv . 而而 dv = v dr = 4 r2 dr，即即 v 4 r2 dr . 此处此处 dr = 0.1，r = 4 . 代

14、入上式得体积近似增加了代入上式得体积近似增加了 v 4 3.14 42 0.1 20 (m3) . 例例 8一个充好气的气球，半径为一个充好气的气球，半径为 4 m. 升空后，因外部气压降低气球半径增大了升空后，因外部气压降低气球半径增大了10 cm，问气球的体积近似增加多少？问气球的体积近似增加多少？例例 9计算计算 cos 30 12 的近似值的近似值. 解解选函数选函数 f (x) = cos x，.6300 x，则则 1802 .30 xf (x) = - - sin x，.216sin)(0 xff (x0) = cos 30 ， 代入公式代入公式f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0) ，得