函数的单调性曲线的凹凸与拐点课件

1、1 . 4 . 3定定理理),(baD 有有若若对对),( bax , 0)(.10 xf; , )( 上递增上递增在在则则baxf, 0)(.20 xf. , )( 上递减上递减在在则则baxf、设设, )( baCxfy xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA0)( xf0)( xf)(xf)(xf第四节第四节函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(3上单调增加上单调增加在在 xy, 032 xy,3xy xyo)(xfy 0 x

2、单单调调上上升升显显然然)(xfy 同同当当上上升升情情况况有有明明显显的的不不称称为为拐拐点点:0 xxyo0 xabBA定理定理,)( baCxf 设设上上具具有有二二阶阶导导数数在在 ),( ba有有若若对对),( bax , 0)( xf上是凹弧；上是凹弧；在在则则 , )( baxf.10, 0)( xf. , )( 上是凸弧上是凸弧在在则则baxf.20 xyo)(xfy abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy 递递减减)(xf 0 y)(xf)(xf曲线拐点的求法 不不是是拐拐点点。则则不不变变号号的的左左右右两两侧侧邻邻近近如如果果在在是是曲曲线线的的拐拐点点；变变号

3、号，则则的的左左右右两两侧侧邻邻近近如如果果在在可可疑疑点点。坐坐标标的的不不存存在在的的点点，是是拐拐点点横横的的点点和和)(, ,)(,)(,)()(0)(000000 xfxxfxxfxxfxxfxf 3xy xy6 3xy 0 , 00 , 0 xx例例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy .)(

4、)(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :xyo3xy 函数的作图需要研究函数的几何性态函数的作图需要研究函数的几何性态, 是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.xyoab极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 极小值极小值单减单减单增单增拐点拐点拐点拐点拐点拐点例例1 1解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意: :函数的单调性是一个

5、区间上的性质，要用导函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点不能用一点处的处的导数符号来判别一个区间上的单调性导数符号来判别一个区间上的单调性).,(: D又又1)( xexf3.4.1 函数的单调性的判断例例2 2解解.)(32的的单单调调性性讨讨论论函函数数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(32xy 3.4.2 单调区间求法如右图，

6、如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的内是单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和导数等于零的点和不可导点不可导点，可能是单调区间，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 32xy 解解.31292)( 323的的单单调调区区间间确确定定例例 x

7、xxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 2 单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2.132 1 4xxx 时时，试试证证：当当例例证证xxxf132)( 设设 )(xfx121x )1(1232 xx, )1, )(上上连连续续在在 xf), 1( x又又对对0)( xf. )1, )(上上递递增增

8、在在 xf, 1 x则对则对).1()( fxf 有有)( xf即即xx132 0)1(f3.4.3利用函数的单调性证明不等式0)1( f？.)1ln(,0 5成成立立试试证证时时当当例例xxx 0)1ln( xx即即证证),1ln()(xxxf 设设 )(xf则则x 111xx 1), 0)( Cxf), 0( x又又0)( xf有有上递增上递增在在 ), 0 )(xf时，时，当当0 x0)0()( fxf3.4.4利用函数的单调性证明方程仅有一根内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根。在在证证明明方方程程),()10(1sin axax连连续续，内内在在则则设设证证),()(, 1sin)(

9、 xfxaxxf, 01)(, 01) 0( ff又又 由由零零点点定定理理，, 0cos1)( xaxf.),()10(1sin0)(内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根在在，即即综综上上可可知知，方方程程 axaxxf连连续续，内内在在又又, 0)( xf. ) , 0( 0)内内至至少少有有一一个个实实根根在在区区间间 f(x内内至至多多有有一一个个实实根根在在),()( xf6例曲线的拐点及其求法连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.1 1、定义、定义2 2、拐点的求法、拐点的求法 是是拐拐点点。不不则则不不变变号号的的左左右右两两侧侧邻邻近近果果在

10、在是是曲曲线线的的拐拐点点；如如变变号号，则则侧侧邻邻近近的的左左右右两两可可疑疑点点。如如果果在在的的点点，是是拐拐点点横横坐坐标标的的不不存存在在的的点点和和与与极极值值点点的的判判别别类类似似，)(, ,)(,)(,)()(0)(000000 xfxxfxxfxxfxxfxf 的的点点不不 )(xf例例2 2.14334的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 ,

11、 0()2711,32(注：注：拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点, ,从而拐点的坐标需从而拐点的坐标需用横坐标用横坐标与纵坐标同时表示与纵坐标同时表示, ,不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示. .这与驻点及这与驻点及极值点的表示方法不一样极值点的表示方法不一样. .).,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2

12、 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 例例5 判断曲线判断曲线 的凹性的凹性, , 并求其拐点并求其拐点. . 523385 33yxx 而而 (- ,) 解解 定定义义域域为为0 , . :xy 当当时时不不存存在在 列列表表如如下下x0(0, )+不存在不存在0+y拐点拐点(0,0)拐点拐点 y(, 0)1(,)4 1411( ,( )44f

13、1435)1(xxy 314910 xxy 0 y令令41 x思考题思考题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf ),( x0)0( f-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91)0( 012)(2时时当当但但 xxxf曲线凹凸的定义问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义,)( CIxf 设设有有、若对若对, 21Ixx 2)()()2(2121xfxfxxf 凸凸的的向向上上上上的的图图形形是是在在则则称称)( )( Ixf 凹凹xy01x2x221xx )(xfy 利用函数的凹凸性证明不