初中数学面积法解析

1、第1页共9页面积法1、常见规则图形的而积公式;2、等积定理：3、面积比定理°1、如图1,凸四边形"。的四边八8、8。、。、。人的长分另1是3、4、12、13, ZABC = 90°t则四边形ABC。的面积为.答案：36考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。分析：连接AC,在用A4BC中，已知A3、8c根据勾股定理可以求得AC = 5 ,在A4CO中,AC2+CD2=AD根据勾股定理的逆定理确定A4CO为直角三角形，四边形A8C。的而枳为 AACD和RtMBC面积之和。解答：连接AC,在R/AABC中，AB = 3, 3C = 4,则AC = 4ab2 +BC2 =5又

2、,从。2+。）2=心MCO为直角三角形，R/A4BC的面积为2x3x4 = 6,用A48的而积为！x5x12 = 30，四边形ABCD的面积为MCD和RtMBC面积之和，5 = 30 + 6 = 36故答案为36.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形而积的计算，本题中 判定MCZ）为直角三角形是解题的关键。2、如图2,已知A4BC中，。、E、F、G均为8c边上的点，且8£> = CG, DE = GFBD，2EF = 3DE,若S*咏=1,则图中所有三角形的面积之和为.答案：7考点：三角形而积与底的正比关系。分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于

3、是可将计算所有三角形而积之和的问题转 化为计算BC上所有线段长度之和的问题.解答：因为所有线段长之和是5c的倍 .图中所有三角形面积之和就是S'SC的倍设 DE=GF=1,则 BD = CG = 2, EF = 3, BC = 9 图中共有1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15个三角形则它们在线段BC上的底边之和为：BC + （BD + DC）+（BE + EC）+（BF + FC）+（BG + GC） + DG +（DF + EG）+（DF + FG）+EF =9x5+5x3+3=63由此可知BC上所有线段之和63是BC=9的7倍 图中所有三角形而积之和等于S»sc的

4、7倍.已知S»5C=1，故图中所有三角形的面积之和为7.故答案为：7点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都 具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。3、如图3, D48C。的面积是小，点从产分别平分A3、BC,则Sw.=8解答：不妨设Q43co为长方形，如图，则有AD = 3C = ,，AB = CD = 4、如图4,已知边长为。的正方形ABC。，E为A。的中点，P为CE的中点，那么"胴。的 而积的值是.考点：正方形的性质；三角形的而积：勾股定理。分析：观察图形可以发现所以要求的而积分别计算SSBPD、S.CD、S1s即可

5、。解答：过 P作PG1.BC,则 aV/AD, PF = CG, PG = CF图4观察图形可以发现= S皿力一 S2c一 S"”,* S皿d = BC .CD = </'S：=gcD.PF => LoSCP=-BCPG=-a2 卬24. s fl 11。1 ,2 3 .Rf>n = ci aw 12 8 4yl 8点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了三角形面枳的计算，本 题中正确计算S邓PD、S邓CD、S、gp、S wp是解题的关键O5、如图5,四边形"CD的对角线AC和8。相交于。点，如果“丽=5 , S, =6 , S

6、rD=10 , 那么= 答案：4考点：三角形的面积。分析：先设出一个三角形的面积：AAOB的而枳是s1=x,再用代数式表示出图中其它三角形的面积，利用中间桥里得出方程，进一步求出结果。 0C解答：设A4O3的面积是S1 = x,则A4OO的而积是与 = 5 -x , A/?OC的面积是% =6-x ,ADOC 的面积是 = 10 （6 a） = 4 + x丁 SABO的边。4上和SBOC的边上的高相等金=2，同理包=2即_ =二，解得：x = 2 6-x 4+x$3 OC$4 OC=6-2=4点评：解此题的关键是灵活运用三角形的而积公式，等高时而积比等于边之比，从而转化成 解方程，求出未知数的

7、值。6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在A4BC的三边A3、BC、CA上，分别取A。、BE、CF,使 AO =，A3, BE = LbC, CF = -AC,则的面积是 AABC 的面积的（）444答案：A考点：三角形的面积。分析：连接A£根据三角形的面积公式求得的;必和A，腔的面积比，和AABC的而 积比，进而求得及夕£陀和AABC的面积比，同理求得AECF、A4Q厂和A4BC的面积比，最后求 解。解答：如图，连接AEV AD = -AB, BE=-BC 4431, §皿）£ =3，S.E = I S：1AseC - C。邓DE 一记33同理可得：S*.

8、 = - 5型膝，S川” =77, lolo所以S“轿点评：此题考查了根据三角形的面积公式求三角形的而积比的方法。7、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6,在直角扇形ABC内，分别以A8和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点。，整个图形被分成52, S3, S4四部分，则S?和S4的大小关系是（）C、。、无法确定 一 ，答案：B考点：扇形而积的计算。分析：设AB = AC = 2zj,由邑=5,，的cb-S”. - S”&c+S4 s2=S，根据扇形和圆的面积公式分别计算出它们的面积就可得到，和Sj的大小关系。解答：设AB = AC = 2n,根据题意得：, 2 一 &

9、#176;° T MAS T-M/ic 丁90x（2t/）2-2x x 4x- + S4 =S43602故 S、=S,故选B.点评：本题考查了扇形的面积公式：§ = 里，其中为扇形的圆心角的度数，R为圆的半 360径），或S = L1R,为扇形的弧长，R为半径。28、在矩形A3CD中，AB = 2, BC = ,则矩形的内接三角形的而积总比数（）小或相 等。421A、一8、1C. -D.-788答案：B解答：需分类讨论，如图，显然图（甲）及图（乙）中内接三角形而积为1,如图（丙）、（丁）、（戊）中AEFG的面积显然小于1,综上所述，故选区B卷9、（第11届“希望杯”邀请赛）

10、在正方形ABC。中，八8 =指，点£ F分别在8C、CO上，且NE4E = 30°, ZDAF = 15% 则AAEF的面积为.答案：3-楞考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质：旋转的性质。分析：将MDF绕A点顺时针方向旋转90。到MBG的位置，得到MBG ,得A4£F = MEG , 要求A4EP的面积求A4£G即可，且A3为底边上的高，EG为底边。解答：将AW“绕4点顺时针方向旋转90。到A4BG的位置，AG = A/，NGAB = 4AD = 15。, ZGA£=150 + 30° = 45° , ZEAF =

11、90° -（30° + 15°） = 45°，ZGAE = ZFAE又 =A A4EF = A4EG: EF = EG, ZAEF = ZAEG = 60°在 R/A4BE 中，= ZBAE = 30°：.ZA£B = 60% B£ = ABtan30° = l在用 AEEC 中，ZFEC = 180°-(60° + 60°) = 60° , EC = BC - BE = 6-1, £F = 2(V3-1)EG = 2（V3-1）, =|EG AB = 3

12、-V3 S"=S"=3-C点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边各内角均相等的性质，解本题的关 键是巧妙地构建A4BG,并且求证A4EP=A4EG.10、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知人钻。三条高的比是3:4:5,且三条 边的长均为整数，则A4BC的一条边长可能是（）A、108、12C 14。、16答案：B考点：约数与倍数：三角形的面积。专题：推理填空题。分析：根据题意，设三边为X,匕Z,运用三角形而积公式得到='z，据给2 2 - 2出的已知条件得出三边之比，既而得出答案。解答：解：设三边为X,匕Z三条对应的高为小，%，/可得:-X

13、a =-Ya, =-Za22 - 2己知a. / =3:4:5可得 X：y：Z = 20:15:12因为三边均为整数又4个答案分别是10, 12, 14, 16所以答案应该是12故选从点评：此题考查了学生对公倍数和三角形面枳的理解和掌握。关键是运用三角形面积公式得 到Lx/ =-Ya.=乙,，据给出的已知条件得出三边之比。21 2 * 211、（第14届“希望杯”邀请赛）如图7,将AABC的三边AB, BC, CA分别延长至ZT, C ,A,且使班' = 4?, CC = 2BC，A4' = 3AC,若心附=1,那么5上,叱，是（）A、15B、16C、17D、18答案：D考点：

14、三角形的面积。专题：计算题。分析：连接C8',利用= CC = 2BC, AAf = 3AC.若鼠女=1,求得吐，同理可求得和Sm&a，然后即可得出答案， 解答；连接C9 / AB = BB' $相吐=Sa* = 1又 CC = 2BC 54叱=2s"吐=2, S " B，u 3同理可得 S,cc. = 8，s»7M = 6/ S = 3 + 8 + 6 + 1 = 18，故选。.点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接C*,求得12、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）如图8, ARC中，25C:AC

15、 = 3:5,四边形8QEC和ACFG分均为正方形，已知与正方形8DEC的面积比是3:5 ,那么ACM与整个图形的面积比等于.27答案： 224考点：相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：根据三角形面积计算公式即可求得AABC和AC£F的面积相等，设3。= 3,则即可计 算ACE尸的面积和整个图形的面积，即可求得ACM与整个图形的而积比，即可解题。解答：: S'M = BC AC sin ZBC4，SCEF = IcE-CFsin /ECF , ZBCA + ZECF = 180°A4BC和&CEF的面积相等设 8C = 3则正方形BDEC的面积为9,

16、四边形BDEC的面积为25A4BC的面积为9x = 055故整个图形的面积比为25 + 9 + 2 x三工学507，ACEF与整个图形的面积比=二224点评：本题考查了三角形面积的计算，锐角和其补角的正弦值相等的性质，正方形面积的计 算，本题中求ACEF和整个图形的面积是解题的关键。13、（第6届“希望杯”邀请赛题）如图9, 248C的面积为1&7/，点。、e、E分别位于 AB.BC.CA上，且AD = 4cm , DB = 5cm ,如果MBE的面积和四边形DBEF的面枳相等，则MBE 的面积是（ ）A、&命B、9cm2C> 10c/?2D、12cm2答案：c考点：三角

17、形的面积。专题：转化思想。分析：本题由题意可知2姐七的而积和四边形08M的面积相等，可通过连接。E,。的方 法，证明出。石AC,进而求出血C的面积，然后即可求出答案。解答：连接。E，DC SE = S西边形&型 S»dE = S"DE两个三角形有公共底。E,且面积相等.高相等:.DEH AC从而可得：S WE = S 'CDeS, *- S刈式乂 AD = 4c m , DB = 5cm即 =10cJ点评：本题考查三角形而积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三 角形面积之间的关系。14、（第7届“希望杯”邀请赛题）如图10,直角NAOB内

18、有一点P，OP=a, NTOA = 30。，过点P作一直线MN与QA、。8分别交于M、N,使AWOV的面积最小。（1）此时线段的位置是（A、MNLOPB、OM = ONC. OM = 2ON。、PM = PN（2）此时AWON的面积是（3）若Z4O8为一锐角，P是锐角内一定点（如图11）,过点P的直线与QA、0B交于M、N,使AWCW的面积最小。应怎样画出MN的位置，并证明你的结论.解：（1）如图（甲），当时，&WQN的面积最小，理由同第（3）小题。AWON的而积最小（2）由（1）可知，当PM=PN时, AWQN是直角三角形:.op'mn2:.MN = 2a又,: ZPOM=30°：.ZPMO = 30°:.NO = a, MO = Ma：.S=-NO MO = a2（3）作法1,如图（乙）过P点PC H OA交OB于C：在OB上截取C/