一元二次方程根与系数的关系华师大九上

1、数学就是这样一种学问；她数学就是这样一种学问；她要求我们扎扎实实地学习，勤勤要求我们扎扎实实地学习，勤勤恳恳地探索。她提醒你有无形的恳恳地探索。她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智能；生命；她唤起心神，澄清智能；她给我们的内心思想添辉，她涤她给我们的内心思想添辉，她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。尽我们有生以来的蒙昧与无知。 谨以此语献给广大的数学爱好者！谨以此语献给广大的数学爱好者！（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0 （4）3x2=11 1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）.在使用根

2、与系数的关系时应注意：、不是一般式的要先化成一般式；、在使用x1+x2= 时， 注意“ ”不要漏写。一元二次方程的根与系一元二次方程的根与系数的关系数的关系方程两个根x1，x2的值两根的和两根的积x1x2x1+x2x1.x23x2 - 4x-4=02x2 +7x-4=06x2+7 x-3=05x2-23x+12=0请同学们观察下表请同学们观察下表ax2+bx+c=0（a=0）的x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关系。x1+x2=? x1x2=?x1=-b+ b2-4ac2ax2=-b- b2-4ac2ax1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2a=-2b2a=-ba

3、x1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2=ca（1）x2-6x-7=0（-1，7）（2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）（3）2x2-3x+1=0（3，1）（4）x2-4x+1=0（-2+ 3，-2- 3 ）2 2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。（口答）x x2 2+kx-6=0+kx-6=0的一个根的一个根是是2 2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k k的值。的值。解：设方程的另一个根是解：设方程的另一个根是x1那么 2x1=- x1=-.

4、又（-）+2=-答：方程的另一个根是-，k的 值是-7。 k=-5 （-）+2 =-7解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 =- x1.x2 =-.x x2 2+ +3 3x-x-1 1=0=0的两的两个根的（个根的（1 1）平方和）平方和 （2 2）倒数和）倒数和（1）（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 =（-）2-2（-）=1（2）+ = = =3x1x1.x2x1+x2x2223例3、已知方程x2+kx+k+2=0的两个根是x1、x2， 且x12+x22 = 4，求k的值。 解：由根与系

5、数的关系得： x1+x2=-k， x1 x2=k+2 又x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 - 2 x1x2=4 k2- 2（k+2）=4 k2-2k-8=0 解得：k=4 或k=-2 = k2-4（k+2）当k=4时， 0当k=-2时，0 k=-2 韦达定理的应用非常广泛，解题过程应牢记韦达定理的应用非常广泛，解题过程应牢记(1)(1)其适用的条件即应满足其适用的条件即应满足00，否则在求字母的，否则在求字母的取值范围时会出错；取值范围时会出错；(2)(2)要熟悉有关式子的恒等变形问题，皆转化成以要熟悉有关式子的恒等变形问题，皆转化成以两根之和与两根之积为整体的形式再代入求值两

6、根之和与两根之积为整体的形式再代入求值. .1、以方程x2+3x+2=0的两个根的相反数为根的方 程是（ ） a、y2+3y-2=0 b、 y23y+2=0 c、y2+3y+2=0 d、 y23y-2=0此题还有其他解法吗？b换元法：提高练习设y=-x，则x=-y，将其代入x2+3x+2=0，得y23y+2=0 ，即为所求方程。 课时训练课时训练3 3x x1 1x x1 12 22 22 21 1 2.2.已知：已知：x1、x2是方程是方程x2-x+a=0的两个实数根，且的两个实数根，且 ，求，求a的值的值. 解：据题意得解：据题意得x1+x2=1；x1x2=a 321)(2)(112212

7、1221221222222212aaxxxxxxxxxxxx3a2+2a-1=0，即，即. . 1 1a a3 31 1a a 或或又又=1-4a0， a4 41 1a=1/3舍去，舍去，a只能取只能取-1.3、方程2x2-mx+m-1=0有一个正根，一个负根， 求m的取值范围。一正根，一负根0x1x20两个正根0x1x20x1+x20两个负根0x1x20x1+x20提高练习=m-8(m-10，即=m-8m+802121mxx0m1(m1)小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。达标检测题：1、已知x1、x2是方程x22x=1的两个根， 则x1+x2=_ x1x2=_2、设x1、x2是方程x24x+3=0的两个根， 则( x1+1)(x2+1)= _3、以4和-7为根的一元一次方程是_4、已知两个数的和为3，积是-