欧氏几何的公理化方法AVIP

1、xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 第三章第三章 欧氏几何与公理化方法欧氏几何与公理化方法xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn

2、xn+yn=znxn+yn=zn 欧氏几何的欧氏几何的公理化方法公理化方法 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何四、形式主义的公理化时期四、形式主义的公理化时期希尔伯特的希尔伯特的几何基础几何基础五、结构主义的公理化时期五、结构主义的公理化时期布尔巴基的布尔巴基的数学原本数学原本六、张景中公理几何体系六、张景中公理几何体系五、中学数学教材中的公理系统五、中学数学教材中的公理系统xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + y

3、n = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是什么是“公理公理”？ 公理公理 ：在一个系统中已为反复的实践：在一个系统中已为反复的实践所证实而被所证实而被 认为不需要证明的真理，是认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。可以作为证明中的理论依据。 什么是什么是“公理化方法公理化方法”？ 公理化方法：从某些基本概念和基公理化方法：从某些基本概念和基本命题出发，依

4、据特定的演绎规则，推本命题出发，依据特定的演绎规则，推导是系列定理，从而构成一个演绎系统导是系列定理，从而构成一个演绎系统的方法。的方法。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn公理的自明性公理的自明性 公理化体系所依赖的公理化体系所依赖的“演绎推理演绎推理”规则规则 公理化方法的目标：形成一个演绎的科公理化方法的目标：形成一个演绎的科学体系学体系

5、公理的选取必须符合：公理的选取必须符合：相容性相容性独立性独立性完备性完备性xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn公理化思想方法的作用公理化思想方法的作用 (1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性公理化方法有利于比较各门数学的实质性 异同。异同。 (3)数学公理化

6、方法在科学方法上有示范作用。数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性 和结构和谐性确实符合数学美的要求。和结构和谐性确实符合数学美的要求。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn公理化方法的发展经历了以下几个时期公理化方法的发展经历了以下几个时期1、直观公理化时期、直观

7、公理化时期2、思辨性的公理化时期、思辨性的公理化时期3、形式主义的公理化时期、形式主义的公理化时期4、结构主义的公理化时期、结构主义的公理化时期xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本 几何原本几何原本 公元前公元前3世纪，世纪， 1607年年 前前6卷译成中文卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，

8、不必揣，不必试，此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已而已”徐光启徐光启xn + yn = znxn + yn = znxn + yn

9、= znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 几何原本几何原本的主要内容的主要内容 共共13卷卷 第一卷：提出第一卷：提出23个定义、个定义、5条公设、条公设、 5条公理、条公理、 48个命题个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接第一卷从定义、公设、公理开始，接着用着用 48个命题讨论了关于直线和由直个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。线构成的平面图形。xn + yn = znxn + yn = znxn

10、+ yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn1）点是无大小的；）点是无大小的；2）线是有长度而无宽度的；）线是有长度而无宽度的；3）线的界线是点；）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的；放置着的；5）面只有长度和宽度；）面只有长度和宽度；6）面的界线是线；）面的界线是线；7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；）平面

11、是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度； xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn公设公设.从任意点到另一点可以作直线从任意点到另一点可以作直线. 一条直线可以无限延长一条直线可以无限延长.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周

12、IV.凡直角都相等凡直角都相等V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截线的这一侧。线的这一侧。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn公理公理.等于同一量的量彼此相等；等于同一量的量彼此相等；.等量加等量，其和仍相等；等量加等

13、量，其和仍相等；.等量减等量，其差仍相等；等量减等量，其差仍相等；IV.互相合同的就是相等的；互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。全量大于部分。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 欧几里得证明方法思路清晰，整个证明欧几里得证明方法思路清晰，整个证明建立在严密的公理化基础上，使几何学成建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为为了真正的科学

14、了真正的科学 几何原本几何原本中的命题有两种类型中的命题有两种类型 一种是根据假设、公设、公理和定义利一种是根据假设、公设、公理和定义利用逻辑推理得出结论用逻辑推理得出结论 另一类是作图题，由已知的对象找出或另一类是作图题，由已知的对象找出或作出所求对象。作出所求对象。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 第二卷：第二卷：14个命题个命题 包含论

15、线段计算、黄金分割、勾股定理等。包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。 第三卷：第三卷：37个命题个命题 包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂定理等。及圆幂定理等。 命题命题16 在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐角。角。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn =

16、 znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 第四卷：第四卷：16个命题个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及包含圆的内接和外多边形的性质及正正5、6边形的作图等。边形的作图等。 第五卷：第五卷：25个命题个命题 内容为欧道克斯的比例论内容为欧道克斯的比例论 xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn

17、=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 欧道克斯的比例论欧道克斯的比例论 18个定义。个定义。 如如 定义定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为）小的量能量尽大的量时，小的量为大的量的部分。大的量的部分。 2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的）大的量能被小的量尽时，大的量为小的量的倍数。量的倍数。 3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于）可比的两个量，如果一个量的倍数大于另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了比。比。 xn + yn = znxn + y

18、n = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 5）四个量形成第一个量与第二个量）四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比，我之比以及第三个量与第四个量之比，我们说这两个比是相同的：如果取第一、们说这两个比是相同的：如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的倍数后，从头第四两个量的任何相同的倍数后，从头两个量的

19、倍数之间大于、等于、或小于两个量的倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量的倍数之间的相应关可以推出后两个量的倍数之间的相应关系。系。 命命题题1 任任意意多多个个量量，分分别别是是同同样样多多个个量量的的相相同同倍倍数数，那那么么不不管管那那些些个个量量的的倍倍数数是是多多少少，它它们们的的总总起起来来也也有有那那么么倍倍数数。 即即 mcmbmacbam)( 。 第第六六卷卷：33个个命命题题 包包含含平平行行截截定定理理论论、三三角角形形的的平平分分角角线线定定理理、相相似似三三角角形形定定理理、比比例例线线段段的的作作图图等等。 xn + yn = znxn + yn = znxn

20、+ yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 第七九卷：数论初步第七九卷：数论初步 第十卷：讨论不可公度量的分类，包第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。括与整数的开方有关的几何运算。 第十一十三卷：立体几何，分别由第十一十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积

21、之比及正多面体等之比及正多面体等xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何 原本原本的成就：的成就： 集古代数学之大成，论证严密，影响深远，集古代数学之大成，论证严密，影响深远，是是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作千年来公认的第一部科学巨著。其中作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。

22、了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 原本原本的不足：的不足： 原本原本的逻辑体系是不严密、不完备的的逻辑体系是不严密、不完备的 1、缺少连续公理、缺少连续公理 2、缺少合同公理、缺少合同公理 3、缺少顺序公理、缺少顺序公理 原本原本对一些基本元素（原始概念），如点、对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进

23、行定义，这是不可能的。线、面等进行定义，这是不可能的。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 原本原本中的公理体系作为几何学的中的公理体系作为几何学的逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？为逻辑上完美无缺的科学？ 两方面的研究

24、两方面的研究一方面增加或改换公理一方面增加或改换公理另一方面是试证第五公设另一方面是试证第五公设xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn第第V公设的试证公设的试证 萨开里四边形萨开里四边形 如图四边形如图四边形ABCD中中 A、 B均为直角，均为直角，ADBC。AB、CD分别叫它的上底边和下底分别叫它的上底边和下底边，边， A 、 B叫下底角，叫下底

25、角， C 、 D叫上叫上底角。底角。ABCDMNxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 有有1） C D 2）上底边中点和下底边中点连线）上底边中点和下底边中点连线垂直于上下底边。垂直于上下底边。ABCDMN 萨开里作了如下三个互不相容的假设。萨开里作了如下三个互不相容的假设。 1、上底角是直角、上底角是直角 2、上底角大于直角、上底角大于直角 3

26、、上底角小于直角、上底角小于直角xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 伦培得四边形伦培得四边形 如图四边形如图四边形ABCD中中 A、 B、 C均为直角。均为直角。ABCD 也作了三个互不相容的假设。也作了三个互不相容的假设。 1、 D是直角是直角 2、D大于直角大于直角 3、D小于直角小于直角xn + yn = znxn + yn = znxn

27、 + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 勒让德则研究三角形的内角之和勒让德则研究三角形的内角之和 否定了三角形内角和大于二直角，否定了三角形内角和大于二直角， 由三角形内角和等于二直角证明由三角形内角和等于二直角证明了第了第V公设成立，公设成立， 但也没能够证明三内角和小于二但也没能够证明三内角和小于二直角的三角形不存在。直角的三角形不存在。xn + yn = znxn + yn = znxn +

28、yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 高斯高斯 波尔约波尔约 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基I IC CD DB BA AE E 平行公理：平行公理：有这样的直线有这样的直线a和不在其上和不在其上一点一点A，过，过A至少两条直线与至少两条直线与a共面不相共面不相交。交。A Aa axn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn +

29、yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn。，记为平行于则称相交，均与射线内部任一之同侧且不相交，但在直线与若共面射线定义CEBACEBACEBDCABBCCEBA/1.C CD DE EA AB Bxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=

30、zn 四、形式主义公理化时期四、形式主义公理化时期 希尔伯特的希尔伯特的几何基础几何基础 希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏体系中公理的直观显然性，把初等几何体系中公理的直观显然性，把初等几何中有关基本概念的根本关系和性质抽取中有关基本概念的根本关系和性质抽取出来作为公理，给出了一个自然、简明、出来作为公理，给出了一个自然、简明、全面而又严密的几何公理系统。全面而又严密的几何公理系统。 xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn

31、= znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 与欧氏公理系统不同的是，他对公理体与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体的称为系中基本概念和公理不给予任何具体的称为点、线、面。点、线、面。 在这三个集合中，引进用在这三个集合中，引进用“结合结合”、“顺顺 序序”、“合同合同”、“连续连续”、“平行平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。的五组公理来刻画。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znx

32、n + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 希尔伯特的公理体系希尔伯特的公理体系 基本概念基本概念：基本元素和基本关系：基本元素和基本关系 基本公理基本公理：关联公理、顺序公理、合同公理、：关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理、平行公理连续公理、平行公理基本元素：点、直线、平面基本元素：点、直线、平面基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = zn

33、xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 绝对几何绝对几何：以上公理体系去掉平行公理：以上公理体系去掉平行公理 绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何 绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = z

34、nxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 结合公理结合公理 1 1 对于两个不同的点对于两个不同的点, ,恒有一直线结合其中恒有一直线结合其中的每个点；的每个点； 2 2 对于两个不同的点，至多有一直线结合其对于两个不同的点，至多有一直线结合其中的每个点；中的每个点； 3.1 3.1 每直线上至少有两个点；每直线上至少有两个点； 3.2 3.2 至少有三点不在同一直线上；至少有三点不在同一直线上； 4.1 4.1 对于不在同一直线上的三点，恒有一平对于不在同一直线上的三点，恒有一平面通过它们中的每个点；面通过它们

35、中的每个点； 希尔伯特几何公理体系希尔伯特几何公理体系xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 结合公理结合公理 4.24.2 每个平面上至少有一个点；每个平面上至少有一个点； 5 5 对于不在同一直线上的三点，至多有一平面对于不在同一直线上的三点，至多有一平面通过它们中的每个点；通过它们中的每个点； 6 6 如果直如果直a a上的两个点在平面上的两

36、个点在平面上，则上，则a a上的每个点在上的每个点在上；上； 7 7 如果两个平面有一个公共点，则至少如果两个平面有一个公共点，则至少有另一个公共点；有另一个公共点； 8 8 至少有四个点不在同一平面上。至少有四个点不在同一平面上。 xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 建立在结合建立在结合公理上的结论公理上的结论 定理定理1 1 （1 1）两直

37、线至多有一个公共点；）两直线至多有一个公共点；（2 2）一个平面和不在其上的一直线有一）一个平面和不在其上的一直线有一个公共点；个公共点； （3 3）两个平面或者既无公共点又无公共）两个平面或者既无公共点又无公共线，或者有一条公共直线，它们的所有线，或者有一条公共直线，它们的所有点都在这条直线上。点都在这条直线上。 xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn

38、=zn 定理定理2 过不共线三点恰有一平面；过一直线过不共线三点恰有一平面；过一直线及不在其上的一点恰有一平面及不在其上的一点恰有一平面；过有公共；过有公共点的两直线点的两直线恰有一平面。恰有一平面。 定理定理3 3 每个平面上至少有三个不在同一直每个平面上至少有三个不在同一直线上的点。线上的点。 结合公理结合公理 保证了：保证了： 直线、平面的存在性；直线、平面的存在性； 空间是三维的。空间是三维的。 至少有四个点、六条直线、四个平面。至少有四个点、六条直线、四个平面。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn

39、 + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 顺序公理顺序公理 1 1 若点若点B B在点在点A A与点与点C C之间，则之间，则A A、B B、C C是一条是一条直线上的三个不同的点，且点直线上的三个不同的点，且点B B也在也在C C与与A A之间。之间。 2 2 对于任意两点对于任意两点A A和和B B，直线，直线ABAB上至少有一点上至少有一点C C，使得，使得B B在在A A和和C C之间。之间。 3 3在一直线上任意三点里，至多有一点在其在一直线上任意三点里，至多有

40、一点在其余两点之间。余两点之间。 xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 顺序公理顺序公理 定义定义2 2 直线上无序两点直线上无序两点A A、B B间的集合叫线段。间的集合叫线段。 A A、B B之间所有点的的集合叫开线段。记（之间所有点的的集合叫开线段。记（ABAB） 定义定义3 3 不共线的点不共线的点A A、B B、C C和三开线段（和三开

41、线段（ABAB）、）、（BCBC）、（）、（ACAC）的集合称为三角形。）的集合称为三角形。 4 4 设设A A、B B、C C不在同一直线上，直线不在同一直线上，直线a a在平面在平面ABCABC上但不过上但不过A A、B B、C C中任意一点，若中任意一点，若a a过过（ABAB），则它必过（），则它必过（ACAC）的点或（）的点或（BCBC）的点。）的点。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=

42、znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 1 1）公理）公理1 13 3是直线上的点的顺是直线上的点的顺序公理，序公理， 4 4是平面顺序公理；是平面顺序公理； 2）2 2保证线段外部有点，保证线段外部有点，3 3断言断言共线三点至多有一点在其余两点之间；共线三点至多有一点在其余两点之间； 线段内部有点，共线三点是必存在线段内部有点，共线三点是必存在一点在其余两点之间的都要途径到巴士一点在其余两点之间的都要途径到巴士公理公理4 4 。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn

43、+ yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 定理定理1 对于任意两点对于任意两点A、C ，直线，直线AC上至少有一点上至少有一点F在在 A、C之间。之间。 顺序公理及重要结论顺序公理及重要结论 定理定理2 在一直线上的三点中，必有且只有在一直线上的三点中，必有且只有一点在其余两点之间。一点在其余两点之间。 定理定理3 直线直线a与与ABC共面而不过其顶点，共面而不过其顶点，若若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交第交其一边，则必交其另一边，但不得再交第三边。三边。 xn + yn = znxn +

44、 yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn证明）证明） 由由3.2 知直线知直线AC外有点外有点B，由，由1 、2 和和2知直线知直线CB上有点上有点P，且，且B在在P和和C之间，之间，同理直线同理直线A P外有点外有点Q，使，使P在在A和和Q之间。由之间。由4直线直线QB在平面在平面APC上，但不过上，但不过A、P、C中中任意一点，且任意一点，且QB过（过（PC），则它必过（），则

45、它必过（AC）的点或（的点或（AP）的点。若）的点。若QB过（过（AP）的点，由）的点，由1 、2知知Q在在A和和P之间，与使之间，与使P在在A和和Q之间之间矛盾（矛盾（3）。所以）。所以QB必过（必过（AC）的点）的点F。即。即直线直线AC上至少有一点上至少有一点F在在 A、C之间。之间。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 定理定理4 线段线

46、段AB内部的点有无穷多个，线段内部的点有无穷多个，线段AB外部的点有无穷多个。外部的点有无穷多个。 定理定理5 直线直线a上任意一点上任意一点O,把把a上所有点分上所有点分成两类，使得点成两类，使得点O在异类两点之间，而不在同在异类两点之间，而不在同类两点之间。类两点之间。 顺序公理及重要结论顺序公理及重要结论 定理定理6 平面平面a上任意直线上任意直线a，把平面，把平面a上不属上不属于于a的所有点分成两类，在直线的所有点分成两类，在直线a的同侧任意两的同侧任意两点属于同一类，在直线点属于同一类，在直线a的异侧任意两点属于不的异侧任意两点属于不同类。同类。 xn + yn = znxn + y

47、n = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 在顺序公理基础上在顺序公理基础上 对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和空间也做了相应的划分。空间也做了相应的划分。 如，任意一个平面如，任意一个平面a把空间内不在把空间内不在a上的所有上的所有点分成两类，属于不同类的两点连成的线段点分成两类，属于不同类的两点连成的线段一定与一定与a有交点，而属于同一类的两

48、点连成的有交点，而属于同一类的两点连成的线段与线段与a无交点。无交点。 还给出折线，多边形，多边形的内部、外部还给出折线，多边形，多边形的内部、外部等概念。等概念。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 合同公理合同公理 1 1 设设A A、B B是直线是直线a a上两点，上两点，AA是同一直线或是同一直线或另一直线另一直线aa上一点，则在上一点，

49、则在aa上上AA的已知一侧恒的已知一侧恒有一点有一点BB，使线段，使线段ABAB合同于合同于ABAB。 2 2 若两线段都合同于第三线段，则这两线段若两线段都合同于第三线段，则这两线段也合同。也合同。 3 3 开线段（开线段（ABAB）、）、(BC(BC）均在直线）均在直线a a上而无公上而无公共点，开线段（共点，开线段（ABAB）、）、(BC(BC）均在同一直）均在同一直线或另一直线线或另一直线aa上，也无公共点，上，也无公共点， 若若ABAB ABAB， BCBC BCBC则则ACAC ACACxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = zn

50、xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 合同公理合同公理 4.1 4.1 已知平面已知平面上的一角上的一角（k,h），平面），平面的一直线的一直线aa的一侧，以及的一侧，以及aa上以点上以点OO为原为原点的一条射线点的一条射线hh，则，则aa上恰有一射线上恰有一射线kk， 使使（k,h）合同于）合同于（k,h） ，且，且kk在在aa的的已知一侧。已知一侧。 4.2 4.2 （k,h）（h, k）。 5 5 对于两个三角形对于两个三角形ABCA

51、BC和和ABCABC。 若若ABAB ABAB， ACAC ACAC，BAC BAC 则则ABCBCABCABCxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理定理1 线段移法的唯一性。线段移法的唯一性。 定理定理2 （减线定理）设点（减线定理）设点B在点在点A、C之间，点之间，点B 、C在直线在直线A B上上A 的

52、同侧，的同侧，且且AB AB， AC AC则设点则设点B在点在点A、C之间且之间且BC BC 三角形全等的判定定理。三角形全等的判定定理。 （1）边角边；）边角边； （2）角边角；）角边角； （3）边边边）边边边xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理：（角的可加、减性定理）设定理：（角的可加、减性定理）设h

53、、l、k和和h、l、k分别是从分别是从O和和O点出发点出发的三条射线，每一组的三条射线都在同一的三条射线，每一组的三条射线都在同一个平面上，并且个平面上，并且h、l、k中有一条在其它中有一条在其它两条之间时，射线两条之间时，射线h、l、k中也对应有中也对应有同样的关系。同样的关系。若若( h,l) (h,l ), (l,k) (l, k),则则 ( h,k) (h,k ).xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=zn

54、xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理：三角形的每一个外角都大于其任意定理：三角形的每一个外角都大于其任意一个不相邻的内角。一个不相邻的内角。 证明：设证明：设CAD是是ABC的一个外角，的一个外角， 下证下证CAD ACB ，CAD ABC 。ABDCE 假假设设CAD ACB ，在直线，在直线AB上取点上取点D，使，使ADBC，且，且A在在B、D之间。之间。 设设E为直线为直线BC上的一点，上的一点， 且且C在在B、E之间，之间， 有有ACE CAB， 由公理知由公理知ACD CAB。xn + yn = znxn + yn

55、 = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znABDCE 假设假设CADCD，ABCD.xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn合同公理及重要结论合

56、同公理及重要结论 定理定理: 三角形合同的角角边定理三角形合同的角角边定理. 定理定理: 三角形中较大的边所对角较大三角形中较大的边所对角较大,反之反之亦然亦然. 定理定理:每条线段有且只有一个中点每条线段有且只有一个中点; 每个角有且只有一条角平分线每个角有且只有一条角平分线. 定理定理:在一平面上在一平面上,通过已知点通过已知点A可作直线可作直线a的的一条且只有一条垂线一条且只有一条垂线. 任何三角形至少有两个锐角任何三角形至少有两个锐角; 垂线短于斜线垂线短于斜线; 等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一.xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + y

57、n = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 连续公理连续公理 VV1 1 设设ABAB和和CDCD是任意的两条线段，则在是任意的两条线段，则在ABAB上上存在有限多个点存在有限多个点A A1 1、A A2 2、A An n，使得，使得A A1 1在在A A和和A A2 2 之间，之间， A A2 2在在A A1 1和和A A3 3之间，之间，A An-1n-1在在A An-2n-2和和B B之间，之间， B B在在A An-1n-1在

58、在A An n和和B B之间，并且线段之间，并且线段A A1 1A A2 2 A A2 2A A3 3 A An-1n-1 A An n都合同于线段都合同于线段CD。 VV2 2 直线上所成的点集，连同其顺序关系和合直线上所成的点集，连同其顺序关系和合同关系，不能再行扩充，使得扩充后，仍满足同关系，不能再行扩充，使得扩充后，仍满足公理公理、和和VV1 1 。 xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=z

59、nxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 连续公理连续公理 VV2 2 设任意直线设任意直线a a上有一个由线段上有一个由线段A A1 1B B1 1 ，A A2 2B B2 2 ，所组成的无穷序列，其中后面的每一，所组成的无穷序列，其中后面的每一个线段都落个线段都落在前一个线段内部；又设对于预先在前一个线段内部；又设对于预先给定的线段都可以找到自然数给定的线段都可以找到自然数n n使得线段使得线段A An nB Bn n，那么在直线那么在直线a a上存在着一个点上存在着一个点P P落在年有线段内落在年有线段内部。部。xn + yn = znxn + yn = znxn + yn =

60、 znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 戴德金分割戴德金分割 设线段设线段ABAB及其内部的所有点能被分成两类，且具及其内部的所有点能被分成两类，且具有下列性质。有下列性质。 （1）每点恰属于一类，）每点恰属于一类，A属于第一类，属于第一类，B属于第二属于第二类；类； （2）第一类中异于）第一类中异于A的每个点，在的每个点，在A和第二类点之和第二类点之间间。 则必存在一点则必存在一点C C，使，使A A、C C间