2008年考研数学数学二试题答案

1、2021 年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题： (此题共 8小题，每题 4 分，共 32分. 每题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )设f (x) x2(x 1)(x 2)，贝y f (x)的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2.(D) 3【答案 】应选 (D).【详解 】 f (x) 4x3 3x2 4x x(4x2 3x 4) 令f (x)0,可得f (x)有三个零点故应选(D).a曲线方程为y f(x)，函数在区间0, a上有连续导数，那么定积分0xf(x)dx在几何上表示【 】(A)曲边梯形ABCD的面积.(B)梯形AB

2、CD的面积.(C) 曲边三角形 ACD 面积(D) 三角形 ACD 面积【答案 】 应选 (C).【详解 】a'0 xf '(x)dxa0 xdf(x)aaf (a)0 f(x)dx,其中af(a)是矩形面积，a0 f (x)dxa:为曲边梯形的面积，所以 xf (x)dx为曲边三角形 ACD的面积故应选 (C).(3)在以下微分方程中,以yC1exC2 cos2x C3 sin2x( C1,C2,C3为任意的常数)为通解的是【】(A)y y 4y4y0.(B) y y 4y 4y 0.(C)y y 4y4y0.(D) y y 4y 4y 0.【答案 】应选 (D).【详解 】

3、由 y C1exC2 cos2xC3sin2x, 可知其特征根为1 1,2,32i,故对应的特征值方程为( 1)(2i)(22i) ( 1)( 2 4)342434244所以所求微分方程为yy4y 4y 0 应选 (D).判定函数f (x)|Xln - , (X 0)间断点的情况【 1|】(A)有一个可去间断点,(C)有两个无穷间断点【答案】应选(A).一个跳跃间断点.(B)有一跳跃间断点，一个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.(5)设函数f (x)在()内单调有界,Xn为数列，以下命题正确的选项是【】(A)假设Xn收敛，那么 f (Xn)收敛(B)假设Xn单调，那么 f(Xn)收敛(C)假

4、设 f(Xn)收敛，那么Xn收敛.(D)假设 f(Xn)单调，那么Xn收敛.【答案】应选(B).【详解】假设假设Xn单调，那么由函数f (X)在()内单调有界知，假设 f (Xn)单调有界,因此假设 f (Xn)收敛.故应选(B).设函数f(x)连续,y2 1，2u ,u假设 F(u,v)f(u2 v2)D ； u2dudv,2v【 】(A)vf(u2)(B)vf(u)v(C)uf(u2)v(D) f (u)u应选(A).【答案】【详解】利用极坐标，得2 2F(u,v) f (u L)dudv2 2d 、；uvvdv0皿rdr1f (r2)dr,匸 vf (u2) 故应选(A). u(7)设A

5、为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.A30 ,那么以下结论正确的选项是【】.(A) E A不可逆，那么E A不可逆.(C) E A可逆，那么E A可逆.【答案】应选(C).(B) E(D) EA不可逆，那么E A可逆. A可逆，那么E A不可逆.【详解】(E A)(E(EA)(EA A2)E A3A均可逆故应选(C).(8)设 A(A)那么在实数域上，与 A合同矩阵为【2 1(B) 1 22(C) 1】(D)【答案】应选(D).【详解】1)2 41)(3) 0那么!1, 23，记 D，那么1)2 43 (1)(3)0那么11, 23，正负惯性指数相同应选D.、填空题：(9 14小题，每题4分，共

6、24分.把答案填在题中横线上.)1 cosxf(x)小(9)函数f (x)连续，且lim x1，贝V f (0)x 0 (ex 1)f (x)【答案】应填2 (10) 微分方程(y x2e X)dx xdy 0的通解是 .【答案】应填y x(C e x) (11) 曲线sin(xy) In(y x) x在点(0,1)的切线方程为 【答案】应填y x1【详解】(12)曲线2y (x 5)x3的拐点坐标为【答案】(1, 6)【详解】(13)设 zxy I那么-zxx(1,2)【答案】(In 2 1) 2(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3, 假设行列式|2A|48，贝U 【答案】应填1 三、解答题

7、(15 23小题，共94分)(15)(此题总分值9分)求极限limx 0sin xsin(sin x) sin x4x【详解1】sin x limx 0sin (sin x) sin xsin x limx 0sin (sin x)3x【详解2】cosx=limx 0cos(sin x)cos x3x1 lim 一 x 0cos(sin x)3x2sin(sin x)cos x 亠 lim(或x 0 6xsin x limx 0sin(sin x) sin x4x2(si nx)23x2，或sin3tI 22-sin x o(sin x)3xsin x limx 0sin(sin x) sin

8、 x4sin x叫 ItOstsin17(16)(此题总分值10分)设函数yy(x)由参数方程x(t)t20 ln(1 u)du确定，其中 xx(t)是初值问题dx dt2te x0的解,d2ydx2【详解1】由exdx 2tdt，积分得ex t2由条件xt0 0，得 C 1，即 et2x ln(1 t2).x ln(1 tcos 2t 8)方程组t2两端同时对t求导得y 0 ln(1u)dudx 2t dt1 t2dy2tl n(1 t2)dtdy 所以 dy dt (I t2)ln(1 t2),dx dx d?d (1 t2)ln(1 t2)2 2d (1 t )ln(1t )dt dxd

9、xdt22tln(1t ) 2t2t1t22(1 t )ln(117 (此题总分值9分)计算1 x2 arcs in xdx -x2【详解1】由于limx 1x2 arcs in x厂x厂 2 -1 x arcsin xdx是反常积分.2x0 X1令 arcs in x t,x si nt1 x2 arcs in xdx2tsi n2tdt0cos2tt22td sin 2t0t sin 2t16o2sin2tdt1616【详解2】1 x2 arcs ino x2d(arcsin x)21 2 2x (arcsin x) 2x(arcsin x) dxx(arcsin x)1 2dx令 arc

10、s in x t，有 xi osint, t所以x(arcsin x)2dx o21 sin 2tdt0(t2cos2t42 02 tcos2tdt)161 x2 arcs in x0 ：厂x2dx216(18)(此题总分值11分)计算 maxxy,1dxdy，其中 DD(x, y),0 x 2,0 y 2【详解】将区域D分成如下列图得两个子区域D1, D2和D3 .于是max xy,1dxdyDmax xy,1dxdyD1max xy,1dxdyD2max xy,1dxdyD32 21 dx 1xydy2 Xxydxdy 1dxdy 1dxdyD1D2D312 -1dx xdy021519I

11、n 21 2ln 2ln 244设f (x)是区间0,)上具有连续导数的单调增加函数，且f (0)1 .对任意的(19)(此题总分值11分)t 0,)，直线x 0,x t，曲线y f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周 生成一旋转体，假设该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f (x)的表达式.【详解】根据题意，因为所以2 o f2(x)dx 2° f(x). 1 f 2(x)dx 上式两边同时对t求导得f2(t) f(t)J f2(t) 解得 ln(y . y2 1) t G , y、寸 1Cel由 y(0)1，得 C 1 所以 y x y2 1et 或 y

12、f(x) 1 (et et) (20)(此题总分值11分)(I) 证明积分中值定理：假设函数f (x)在闭区间a,b上连续，那么至少存在一点a,b,b使得 f (x)dx f ( )(b a);a3(II) 假设函数(x)具有二阶导数，且满足(2)(1) ,(2)2 (x)dx，那么至少存在一点 (1,3)，使得()0 【证法1】假设函数f(x)在闭区间a,b上连续，那么必存在最大值M和最小值m 即m f(x) M , x a,b于是有bm(b a) f (x)dx M (b a) a即1 b mf(x)dx Mb a a根据闭区间上连续函数的介值定理，在a,b上至少存在一点a,b，使得f()

13、1 b b a af(x)dx因此而的证.(II)存在32,3，使得2(x)dx()3由(2)2 (x)dx (),知 (2,31)存在存在00 .2 1()，利用微分中值定理，存在(2,)，使得(1,3)，使得1)(21)(此题总分值11分)求函数u2z在约束条件2y和x y z 4下的最大值和最小值.F(x, y,z) x22y2 z(x22 y令Fx2x2 xFy2y2 yFz2z0x22 yz 0x yz4 0解之得(为，丫1,乙)(1,1,2),(X2,y2,Z2)【详解2】由题意知，u4 x4 y2x2yFx 4x34xy22x(12x)令 Fy 4y34x2y2y(12y)x y

14、 42 2x y0【详解1】作拉格朗日函数z)002, 2,8),故所求得最大值为(200x2y2在条件x y x2(X y z 4) 72,最小值为6 y24下的最值.解之得(为畀1,乙)(1,1,2),(x2,y2,z2)(2, 2,8),故所求得最大值为72,最小值为6.Fx2x2x0Fy2y2y0Fz2z0x22yz0xy z40(22)(此题总分值12分).设n元线性方程组 Ax b，其中2a 1a2 2a 1a2 2a 1 AO Oa2X1X22a 1a2 2aXnb1 b2 M bn(I)证明行列式| A| (n 1)an ；(II) 当a为何值时，该方程组有惟一解，并求x1 .

15、(III) 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.【详解】(I)【证法1】数学归纳法.记 Dn | A|2a2 a12a 1a2 2a 1O O2a2a2 a2a以下用数学归纳 法证明Dn (n 1)an .当n 1时，D1 2a，结论成立.当n 2时，D22a 1 a2 2a3a2，结论成立.假设结论对小于n的情况成立.将 Dn按第一行展开得2aDn i2a 1a2 2a 1a2 2a 12a 12a2aDn 1 a2Dn 2n 12n 22ana a (n 1)a(n 1)an故 A (n 1)an.此题(1 ) 也可用递推法2由 Dn L 2aDn 1 a Dn 2 得，Dn a

16、Dn 1 a(Dn 1 aDn 2) Ln 2n 2na (D2 a D1) a .于是 Dn(n 1)an(I)【证法2】消元法记| A|2a2 a12a 1a2 2a 1O Oa22a2 a2a2a 13a212 a2a1OOO2 a2a2 a01 r2-ar12 2 112a2a2r3-ar23 24a32a2a2a2a 1 a2 2arn3a22a2an arn(n 1)an.(ll)【详解】当0时,方程组系数行列式Dn0，故方程组有惟一解由克莱姆法那么,1 12a 10 2a 1a2 2a 1a2 2a 1a2 2a 1O O OO O Oa2 2a 1a2 2a 1a2 2ana2 2a将Dn得第一列换成得行列式为b，所以,X1n 1Dn 1Dnn 1Dn 1 na(Ill)【详解】(n 1)a当a 0时，方程组为0 1x1101x200OMMO1xn100xn0此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为 n 1 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为x OIL 0 T k 10 L 0 T，其中k为任意常数.(23) (此题总分值 10 分 )设A为3阶矩阵，仆2为A的分别属于特征值 1, 1的特征向量，向量 3满足32 1 ，(1)证明1,2 ,3 线性无关；(II)令 P( 1, 2, 3)，求 P AP 【