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1、1此幻灯片可在网址http:/上下载第二十二讲 复习2(1)求导公式( )0c (c 是常数) 1()xx (是实数) (e )exx ()ln(0,1)1(log)(0,1)ln(sin )cos(cos )sinxxaaaaaaxaaxaxxxx 322221(arcsin )11(arccos )11(arctan )11(arccot )1xxxxxxxx 4复合函数求导法则：设u=j(x)在x是可导，y=f(u)在对应点u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x)处可导，且ddd( )( )dddyyuf uxxuxj5概率论中用到导数的地方：1,连续随机变量x的分布函数f(x)与

2、概率密度函数f(x)有关系：( )( )f xf x2,在求解最大似然估计时，要求似然函数l(q)的最大值，需要求l对参数q的导数或者偏导.6基本积分公式1dd(1)11dln|dlne dexxxxxxcxxxcxxcxaaxcaxc 7222231ede1ede22edesin dcoscos dsinxxxxxxxcxxxcxxxxcx xxcx xxc 8积分上限的函数的有关性质 (1) 可导性：若 f(x)在a,b上连续，则( )( )dxaf xf tt在a,b上可导，( )( )d( )xaf xf ttf x. (2) 原函数存在定理：若 f(x)在a,b上连续，则( )( )

3、dxaf xf tt是 f(x)在a,b上的一个原函数. 9定积分的计算法 (1)牛顿-莱布尼兹公式： 设 f(x)在a,b上连续，且( )( )f xf x则 ( )d( )( )baf xxf bf a (2)换元法： 设f(x)在a,b上连续， x=j(t)在,上有连续的导数，且当 t 从变到时, j(t)从j()=a 单调地变到j()=b，则 ( )d( ( )( )dbaf xxftttjj 10(3) 分部积分法：设u(x),v(x)在a,b上有连续的导数，则ddbbbaaau vuvv u11概率论中用到积分的地方：如果随机变量x的概率密度函数为f(x), 则它的分布函数为( )

4、( )dxf xf tt而x落在区间a,b或a,b)或(a,b或(a,b)的概率为( )dbaf xx还有2222()( )d()( )d()() ()e xxf xxe xx f xxd xe xe x12还有 ( )( ) ( )dexx f xxjj13习题4-1 6. 设随机变量x的分布函数求e(x), d(x).解: 首先求出x的概率密度函数331,( )0.0,ax af xaxxa其中343,( )( )0,.a xx af xf xxa14则343,( )0,.a xx af xxa34333232()( )d3d13d33 1130322aaae xxf xxx a xxax

5、xaxaaa 15计算e(x2)343,3( )()20,.a xx af xe xaxa2223432312()( )d3d3d33aaae xx f xxxa xxaxxaxa222229()() ()3434d xe xe xaaa16二重积分计算法1.若d为矩形区域r：axb,cyd, 则( , )d dd( , )dd( , )dbdacrdbcaf x yxyxf x yyyf x yx172. 若区域d是由两条直线x=a,x=b及两条曲线y=j1(x),y=j2(x)j1(x)j2(x),axb所围成，则21( )( )( , )d dd( , )dbxaxdf x yxyxf

6、x yyjj若区域d是由两条直线y=c,y=d及两条曲线x=y1(y),x=y2(y)y1(y)y2(y),cyd所围成，则21d( )( )( , )d dd( , )dycydf x yxyyf x yxyy18经常遇到的题就是j1(x),j2(x)中有一个是常数, 另一个是直线函数, 经常遇到的概率论中的例子如下面一些图形表示:21( )( )( , )d dd( , )dbxaxdf x yxyxf x yyjj1920二重积分在概率论中的用处：假设随机变量(x,y)的联合概率密度为f(x,y), 则(x,y)落在任何区域里的概率为( , )d ddf x yxy此外还有2222()(

7、 , )d d( )( , )d d()( , )d d()( , )d de xxf x yxye yyf x yxye xx f x yxye yy f x yxy 212222()( , )d d (, )( , ) ( , )d d()() ()( )() ( )cov(, )()() ( )cov(, )()( )xye xyxyf x yxyex yx y f x yxyd xe xe xd ye ye yx ye xye x e yx yd xd yjj 222222()() ()( )() ( )cov(, )()() ( )cov(, )()( )xyd xe xe xd y

8、e ye yx ye xye x e yx yd xd y23习题习题4-3 3. 设二维随机变量(x,y)在由x轴, y轴及直线x+y2=0所围成的区域g上服从均匀分布, 求x与y的相关系数xy.解解 如图所示, g的面积为2, 所以概率密度函数在此区域内取常数1/2, 即1,01,02,( , )20,.xyxf x y其它24由x轴, y轴及直线x+y-2=0所围成的区域g, 因此可以确定积分限, 这是最重要的!y=2xxyo2200()ddxyx 2522001( , )d ddd12xf x yxyyx 22001dd2xyx 2()3e xx222()3e xx2( )3e yy2

9、22()3e yy1()3e xyxy26则222222(),( ),(),()33331()3e xe ye xe ye xy141cov(, )()() ( )399x ye xye x e y 22242()() ()399d xe xe x22242( )() ( )399d ye ye y27最后得12cov(, ),()( )99x yd xd y cov(, )()( )11922299xyx yd x d y 28样本均值和样本方差的计算221111,()1nniiiixx sxxnn样本方差的简便算法:22211()1niisxnxn一些科学型计算器可以统计样本均值和样本标准

10、差.29第一步第一步:先按这两个键进入stat状态第二步第二步:然后每按一个数就按data键第三步第三步:然后按x和s键可查看样本均值和样本标准差30第一步:按mode,2键进入sd状态,并按shift,clr,1,=键清零第二步:每按一个数字后按dt键第三步:按shift,2,1,=键得样本均值, 按shift,2,3,=键得样本标准差31各种科学型计算器计算样本标准差和样本均值的操作办法各不相同, 可在百度上将计算器的型号输入查找, 就可以找到网上的说明书, 主要是背诵并练习几次快速计算样本标准差和样本均值的技术, 这样考试的时候可以节省计算的时间.尤其要注意当计算样本标准差的时候, 有的

11、计算器是有除以n和除以n1两种的, 我们需要计算的是后者.32最大似然估计法对离散型总体, 似然函数为1( )( , )niilp xqq对连续型总体, 似然函数为1( )( , )niilf xqq求使lnl(q)最大的q值就是q的最大似然估计.33对数的性质:如果a=eb, 则ln a = bln ab = ln a + ln bln ab = b ln a34最大似然估计法的一个经验之谈:写出似然函数后不要先整理再取对数再求导再令导数等于零, 而是写出似然函数后先取对数再求导再令导数等于零这个时候再整理.35例如, 第156页书上例5, 假设总体的分布为参数是l的指数分布, 要求对l的最

12、大似然估计, 则总体的概率密度为因此似然函数为这个时候书上的标准例子经常就进一步写成:我把这一步叫整理并认为是没有必要做的.( )e(0)xf xxll11( )einnxiiilf xll11eeniiinxxnillll36建议的做法, 在得到之后, 不整理立即就取对数得不需要进一步整理, 而是立即求lnl的导数11( )einnxiiilf xll11lnlne(ln)innxiiilxllll1ln1niidlxdll37然后令此导数等于0, 给出似然方程并整理:最后得到1ln1niidlxdll10niinxl11niinxxl38习题7-1 5. 设总体x具有概率密度(1) 求q的

13、矩估计, (2) 求q的极大似然估计.解: (1) 总体一阶原点矩为1,01,( )(0).0,xxf xqqq其它11100110()dd111e xx xxxxxqqqqqqqqq39令它等于一阶样本原点矩a1, 得方程()1e xqq1111111,1(1),11aaaaaaxaxqqqqqq40(2) 求q的极大似然估计.似然函数不整理直接取对数得1,01,( )(0).0,xxf xqqq其它11niilxqq1lnln(1)lnniilxqq41求导得令它等于0得似然方程 解得1lnln(1)lnniilxqq11dln1lnlndnniiiilnxxqqq1ln0niinxq1l

14、nniinxq 42无偏估计：有效性 设 和 是q的两个无偏估计量, 如果则称 较 有效.( )eqq1q2q1q2q12( )()ddqq43单正态总体的抽样分布2222( ,/ );(0,1);/1(1);xxnnnnnsn 相互独立与2sx (1)/xt nsn44常用统计分布设x1,x2,xn是取自总体n(0,1)的样本, 则称统计量222212nxxx服从自由度为n的2分布, 记为22(n).e(2)=n, d(2)=2n.45设xn(0,1), y2(n), 且x与y相互独立, 则称/xty n服从自由度为n的t分布, 记为tt(n).46设x2(m), y2(n), 且x与y相互

15、独立, 则称/x mnxfy nmy服从自由度为(m,n)的f分布, 记为ff(m,n),性质, 若xt(n), 则x2f(1,n);若ff(m,n)则11( ,),1( , )( ,)f n mff m nfn m47对单正态总体xn(,2)作对均值的区间估计的公式(显著性水平):当2已知时:当2未知时:22,xuxunn22(1),(1)ssxtnxtnnn48单正态总体的假设检验(xn(,2)检验假设h0:=0,h1:0 , 如2未知, 接受域:0/2(1)/xtnsn如2已知, 则接受域为:0/2/xun49数学期望(均值)离散型:1()iiie xx p连续型:()( )de xxf

16、 xx50随机变量函数的数学期望(设y=g(x)离散型:1( ) ()( )iiie ye g xg x p连续型:( )( ) ( )de yg x f xx51二维随机变量函数的数学期望离散型:11 (, )( ,)ijijjie g x yg x yp连续型: (, )( , ) ( , )d de g x yg x y f x yxy 52数学期望的性质e(c)=c;e(cx)=ce(x)e(x+y)=e(x)+e(y)如x,y独立, e(xy)=e(x)e(y)53方差d(x)=exe(x)2=e(x2)e(x)2协方差cov(x,y)=exe(x)ye(y)=e(xy)e(x)e(

17、y)相关系数cov(, )()( )xyx yd x d y54性质:cov(x,y)=0称为x,y不相关.独立一定不相关,不相关不一定独立.d(c)=0; d(cx)=c2d(x);d(xy)=d(x)+d(y)2cov(x,y);特别, 当x与y独立或者不相关, 必有d(xy)=d(x)+d(y)cov(x,x)=d(x); cov(x,y)=cov(y,x);cov(ax,by)=abcov(x,y);cov(c,x)=0;cov(x1+x2,y)=cov(x1,y)+cov(x2,y);|xy|155切比雪夫不等式22()|()|()|()| 1d xpxe xd xpxe x56常用

18、离散型分布 分布 参数 分布律 数学期望 方差 0-1 分布 0p1 px=k=pk(1p)1k k=0,1 p p(1p) 二项 分布 n1 0p0 !0,1,kep xkkkll ll 57常用连续型分布 分布 参数 概率密度 数学期望 方差 均匀 分布 a0 22()21( )2xf xe 2 指数 分布 q0 /1,0( )0,xexf xqq其它 qq2 58n维正态分布的几个重要性质1. n维正态变量的每一个分量都是正态变量; 如果有n个变量都是正态变量且相互独立, 则它们是n维正态变量.2. n维正态变量的任意线性组合均服从一维正态分布.3. n维正态变量线性变换为k维变量,则这k维变量服从k维正态分布.4. n维正态变量两两不相关等价于它们两两独立.59随机变量的分布函数x是一个随机变量, 称f(x)=pxx (x0或恒有g(x)0, i=1,2, 则对任一事件b, 有p(b)=p(a1)p(b|a1)+p(an)p(b|an)+特别地, 对事件a及它的逆组成的完备事件组, 有( )( ) (|)( ) (|)p bp a p b ap a p b a74定理定理2 设a1,a2,an,是一完备事件组, 则对任一事件b, p(b)0, 有()() (|)(|)( )() (|)1,2,(4.6)iiii