甘肃省某知名中学高三数学冲刺诊断考试试题 理含解析2

1、西北师大附中2018届高三冲刺诊断考试数学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）.1. 设复数满足，则 （ ）a. b. c. d. 2【答案】c【解析】复数满足=故选2. 下列推理是归纳推理的是 （ ）a. 为定点，动点满足 ，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；b. 由求出猜想出数列的前项和的表达式；c. 由圆的面积，猜想出椭圆的面积；d. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇【答案】b【解析】试题分析：解：a选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求 b选项根据前3个s1，s2，s3的值，猜想出sn的表达式，属于归纳推理，符合要求 c选项由圆x2+y

2、2=r2的面积s=r2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积s=ab，用的是类比推理，不符合要求 d选项用的是演绎推理，不符合要求故选b考点：归纳推理、类比推理、演绎推理点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题3. 已知向量ba=(12,32),bc=(32,12)，则abc等于 （ ）a. 30° b. 45° c. 60° d. 120°【答案】a【解析】因为向量ba=(12,32),bc=(32,12),所以cosabc=babc|ba|bc|=12×32+32×121×1

3、 =32，所以abc=30°，本题选择a选项.点睛：（1）平面向量与b的数量积为ab|a|b|cos，其中是与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180；（2）由向量的数量积的性质知|a|=a·a，cos=a·b|a|b|，a·b0ab，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题4. 若直线l：axby10始终平分圆m：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为 （ ）a. b. 5 c. 2 d. 10【答案】b【解析】分析：由圆的方程得到圆心坐标(2,1)，代入直线的方程得2a+b1=0，再由表达式(a

4、2)2+(b2)2的几何意义，即可求解答案详解：由直线ax+by+1=0始终平分圆m的周长，则直线必过圆m的圆心，由圆的方程可得圆m的圆心坐标m(2,1)，代入直线ax+by+1=0的方程可得2a+b1=0，又由(a2)2+(b2)2表示点(2,2)到直线2a+b1=0的距离的平方，由点到直线的距离公式得d=2×2+2×115=5，所以(a2)2+(b2)2的最小值为d2=(5)2=5，故选b点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把(a2)2+(b2)2转化为点(2,2)到直线2a+b1=0的距离的平方是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能

5、力5. 第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）a. 540 b. 300 c. 180 d. 150【答案】d【解析】分析：将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果详解：将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分成1,1,3时，有c53a33种分法；分成2,2,1时，有c53c32a22a33种分法,由分类计数原理得，共有c53a33+c53c32a22a33=150种不同

6、的分法，故选d点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式6. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】试题分析：四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥，a与c中

7、俯视图正好旋转180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故a，c表示同一棱锥，设a中观察的正方向为标准正方向，以c表示从后面观察该棱锥，b与d中俯视图正好旋转180，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故b，d中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据b中正视图与a中侧视图相同，侧视图与c中正视图相同，可判断b是从左边观察该棱锥，故选d考点：三视图.7. 将函数y=sin(2x3) 图象上的点p(4,t) 向左平移s(s0)个单位长度得到点p.若p位于函数ysin2x的图象上，则 （ ）a. t12，s

8、的最小值为6 b. t32，s的最小值为6c. t12，s的最小值为3 d. t32，s的最小值为3【答案】a【解析】试题分析：由题意得，t=sin(2×43)=12，当s最小时，p'所对应的点为(12,12)，此时smin=4-12=6，故选a.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意：平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.视频8. 某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为 （

9、 ）a. 15，60) b. (15，60c. 12，48) d. (12，48【答案】b【解析】分析：执行程序框图，计算前几次循环，根据题设条件，列出不等式，即可求解结果详解：执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：满足x>3，k=2,x=x32；第二循环：满足x>3，k=3,x=x3233=x693，要使得输出的k的值为3，则x32>3且x6933，解得15<x60，故选b点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，

10、不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.9. 古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为 （ ）a. 10 b. 9 c. 8 d. 7【答案】c【解析】分析：由等比数列的前n项和公式求出女子每天分别织布531尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天详解：设该女第

11、一天织布x尺，则x(125)12=5，解得x=531，所以前n织布的尺数为531(2n1)，由531(2n1)30，得2n187，解得n的最小值为8点睛：本题主要考查了等比数列在生茶生活中的实际应用，试题比较基础属于基础题，解题时要认真审题，熟记等比数列的通项公式和前n项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力10. 已知小李每次打靶命中靶心的概率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机摸拟产生了如

12、下20组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为 （ ）a. 025 b. 030 c. 035 d. 040【答案】b【解析】利用古典概型的概率计算公式，即可求出小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为0.30，故选b.11. 过双曲线x2a2y2b2=1b>a>0的左焦点f(c,0)(c&

13、gt;0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，若oe=12of+op（o是坐标原点），则双曲线的离心率为 （ ）a. 52 b. 3 c. 5 d. 62【答案】c【解析】分析：由题意知ef=b,pf=2b,pf=2a，再由pfpf=2a，知b=2a，由此能求出双曲线的离心率详解：因为of=c,oe=a，所以ef=b，因为oe=12of+op，所以pf=2b,pf=2a，因为pfpf=2a，所以b=2a，所以e=1+b2a2=5，故选c点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c ，代入公式e=c

14、a；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)12. 定义在r上的函数f(x)满足:f(x)+f(x)>1,f(1)=3,f(x)是f(x)的导函数, 则不等式f(x)>1+2ex1的解集为 ( )a. (1,+) b. (,1) c. (,0)(1,+) d. (0,+)【答案】a【解析】分析：设gx=ex1fxex1，得到函数gx>0，即函数gx为单调递增函数，不等式转化为gx>g1，即可不等式的解集详解：设gx=ex1fxex1，则gx=ex1fx+ex1fxex1=

15、ex1(fx+fx1)，又由fx+fx>1，则fx+fx1>0，所以gx>0，所以函数gx为单调递增函数，又由f1=3，所以g1=e0f1e0=2，由不等式f(x)>1+2ex1，即ex1f(x)ex1>2，即gx>g1，所以不等式的解集为1,+，故选a点睛：本题主要考查了导数的应用和不等式的求解，其中解答中根据所求不等式，构造新函数，利用导数得到函数的单调性，利用单调性求解不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力二、填空题（每小题5分，共20分）.13. 已知2xy0x3y+50，且2x+y2的最大值为loga3，则a=_

16、.【答案】3. 【解析】此题考查线性规划的应用、指数函数的性质、对数式与指数式的互化；此不等式所表示的平面区域如下，只要求出x+y2的最大值即可，当l0平移到a时x+y2最大，即x+y212x+y222=logaa=314. 若(12x)2018=a0+a1x+a2018x2018(xr),则a12+a222+a201822018的值为_.【答案】1.【解析】分析：在已知等式红分别取x=0,x=12，联立即可求得a12+a222+a201822018的值详解：在(12x)2018=a0+a1x+a2018x2018(xr)中，令x=0时，可得(12×0)2018=a0，即a0=1，令

17、x=12时，可得(12×12)2018=a0+a12+a222+a201822018，即a0+a12+a222+a201822018=0，又由a0=1，所以a12+a222+a201822018=1点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，在解决二项式的系数问题试题，常采用赋值法求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力15. 在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac60°，abac2，pa2，则三棱锥pabc外接球的表面积为_.【答案】20.【解析】分析：求出bc，可得abc外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥pabc的外接球的表面积详解：因为ab

18、=ac=23,bac=600，所以由余弦定理可得bc=23，设abc外接圆的半径为，则2r=2332=4，所以r=2，设球心o到平面abc的距离为d，则由勾股定理可得r2=d2+22=22+(2d)2，所以d=1,r=5，所以三棱锥pabc的外接球的表面积为s=4r2=4×5=20点睛：本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据组合体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力16. 若关于x的方程xx+4=kx2有四个不同的实数解,则实数k的取值范围是_【答案】14,+.【解析】试题分析：易知方程|x|x+4=kx2有一根

19、为0，当x0时，原方程化为1x+4=k|x|，则该方程有3个不同实数解.作出函数y=1x+4的图像，因为方程1x+4=k|x|有3个不同实数解，易知k0.由图可知k<0时，方程1x+4=k|x|只有1个实数解.所以k>0.由图易知当x>0时，方程1x+4=k|x|总有一个根；当x<0时，由1x+4=k|x|得1x+4=kxkx2+4kx+1=0，令=16k24k=0k=14,(k0).所以k=14时，在x<0的范围内，方程1x+4=k|x|有两个相等的实数根.由图可知，若要方程1x+4=k|x|有3个不同实数解，则k>14.即实数k的取值范围是（14，+）.

20、考点：方程的根与函数的零点、函数的图像三、解答题：本大题共5小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知函数fx=2cos2x+sin(2x6)（1）求函数fx的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知abc中，角a、b、c的对边分别为a，b，c，若fa=32,b+c=2，求实数a的取值范围.【答案】(1)2, xx|x=k+6.(2) a1,2).【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得f(x)=sin(2x+6)+1,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果 (2)由f(a)=32，求得a=3，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范

21、围详解：（1）f(x)=2cos2x+sin(2x-6)=12cos2x+32sin2x+1=sin(2x+6)+1,2k-22x+62k+2，可得f(x)递增区间为k-3,k+6(kz),函数f(x)最大值为2，当且仅当sin(2x+6)=1，即2x+6=2k+2，即x=k+6(kz)取到xx|x=k+6.(2)由f(a)=sin(2a+6)+1=32，化简得sin(2a+6)=12,a(0,)2a+6=56 a=3,在abc中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+1)2-3bc,由b+c=2，知bc1,即a21,当b=c=1时，取等号,又由b+c>a得a<2,所以a1

22、,2).点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习

23、成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150的学生人数为x，求x的分布列和数学期望.附：k2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】(1)820.(2) 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(3)分布列见解析，1.【解析】试

24、题分析：（）由频率分布直方图可知，当前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列时，以下的频率为，故全年级视力在以下的人数约为；.（）由，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（）依题x可取0，1，2，3，则p(x=0)=c63c93=2084，p(x=1)=c62c31c93=4584，p(x=2)=c61c32c93=1884，p(x=3)=c33c93=184，所以x的数学期望e(x)=0×2084+1×4584+2×1884+3×184=1.试题解析：（）设各组的频率为fi(i=1,2,3,4,5,6)，依题意，前三

25、组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故f1=0.15×0.2=0.03，f2=0.45×0.2=0.09，f3=f22f1=0.27所以由(f3+f6)·42=1(0.03+0.09)得f6=0.17，所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830()k2=100×(41×1832×9)250×50×73×27=300734.110>3.841因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.（）依题

26、意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人，x可取0，1，2，3，p(x=0)=c63c93=2084，p(x=1)=c62c31c93=4584，p(x=2)=c61c32c93=1884，p(x=3)=c33c93=184x的分布列为x0123p208445841884184x的数学期望e(x)=0×2084+1×4584+2×1884+3×184=1考点：频率分布直方图、独立性检验、分布列与数学期望19. 如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，底面abcd是直角梯形，abad,ab/cd,ab=2ad=2cd=2,e是pb

27、上的中点.（1）求证：平面eac平面pbc；（2）若二面角pace的余弦值为63，求直线pa与平面eac所成角的正弦值【答案】(1)见解析.(2) 23.【解析】试题分析：（1）欲证平面eac平面pbc，只要证ac平面pbc即可；（2）设cp=a，取ab中点f，以点c为原点，分别以cf,cd为x,y轴，建立空间直角坐标系cxyz，求向量pa与平面eac的法向量的夹角即可试题解析：（1）证明：pc平面abcd，ac平面abcd，acpc，ab=2，ad=cd=1，ac=bc=2，ac2+bc2=ab2，acbc，又bcpc=c，ac平面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc（2）解：设cp

28、=a，取ab中点f，以点c为原点，分别以cf,cd为x,y轴，建立空间直角坐标系cxyz，则c(0,0,0)，a(1,1,0)，b(1,1,0)，p(0,0,a)，e(12,12,a2)，则ca=(1,1,0)，cp=(0,0,a)，ce=(12,12,a2)，取m=(1,1,0)，则mca=mcp=0，即m为面pac的一个法向量设n=(x,y,z)为面eac的法向量，则ncance=0，即x+y=0,xy+az=0,取x=a，则y=a，z=2，则n=(a,a,2)，依题意得|cos<m,n>|=mn|m|n|=aa2+2=63，取a=2，于是n=(2,2,2)，pa=(1,1,2

29、)，设直线pa与平面eac所成角为，则sin=|cos<pa,n>|=|pan|pa|n|=23，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为23考点：1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力属于中档题20. 已知椭圆c：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,过右焦点f且斜率为1的直线交椭圆c于a,b两点, n为弦ab的中点,o

30、为坐标原点. (1)求直线on的斜率kon； (2)求证:对于椭圆2上的任意一点m,都存在0,2),使得om=cosoa+sinob成立.【答案】(1) 13.(2)见解析.【解析】分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由ca=63，可得a2=3b2，从而椭圆c的方程可化为x2+3y2=3b2，右焦点f(2b,0)，直线ab所在的直线方程为y=x-2b，与椭圆方程联立化为4x2-62x+3b2=0，在利用中点公式与斜率公式即可求出；（2）利用平面向量的基本定理，根与系数的关系，点与椭圆的位置关系，即可得到证明详解： (1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有.从而椭圆c的方程可化为: 知右焦点f的

31、坐标为(),据题意有ab所在的直线方程为:. 由,有:. 设,弦ab的中点,由及韦达定理有: 所以kon=y0x0=-13,即为所求. (2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故. 又因为点在椭圆c上,所以有整理可得:. 由有:.所以 又点a,b在椭圆c上,故有 . 将,代入可得:. 所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.所以存在0,2),使得.也就是:对于椭圆c上任意一点 ,总存在0,2),使得等式om=cosoa+sinob成立.点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其

32、几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知函数f(x)=lnx1x，g(x)=ax+b（1） 若函数h(x)=f(x)g(x)在(0,+)上单调递增，求实数的取值范围；（2） 若直线y=ax+b是函数f(x)=lnx1x图象的切线，求a+b的最小值；【答案】(1) (,0.(2)-1.【解析】分析：（1）由题意得h(x)=f(x)g(x)，求其导函数，由hx0恒成立得到a1x

33、+1x2，然后利用配方法求得最值，即可得到答案；（2）设切点坐标(x0,lnx01x0)，求得切线的方程，由直线gx=ax+b是函数fx的切线，得到a=1x0+1x02=t+t2,b=lnx02x01，利用导数，即可求得a+b的最小值详解：（1） h(x)=f(x)-g(x) =lnx-1x-ax-b,则h'(x)=1x+1x2-a， h(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上单调递增，对x>0，都有h'(x)=1x+1x2-a0， 即对x>0，都有a1x+1x2，1x+1x2>0，a0，故实数的取值范围是(-,0 （2）设切点(x0,lnx0-1x0)，则切

34、线方程为y-(lnx0-1x0)=(1x0+1x02)(x-x0)，即y=(1x0+1x02)x-(1x0+1x02)x0+(lnx0-1x0)，亦即y=(1x0+1x02)x+(lnx0-2x0-1)，令1x0=t>0，由题意得a=1x0+1x02=t+t2,b=lnx0-2x0-1=-lnt-2t-1，令a+b=(t)=-lnt+t2-t-1，则'(t)=-1t+2t-1=(2t+1)(t-1)t， 当t(0,1)时 ，'(t)<0，(t)在(0,1)上单调递减；当t(1,+)时，'(t)>0，(t)在(1,+)上单调递增，a+b=(t)(1)=-

35、1，故a+b的最小值为-1 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xoy中，直线的参数方程是x=22ty=22t+42 (是参数)，以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程=2cos+4.(1) 判断直线与曲线c的位置关系；(2) 设m为曲线c上任意一点，求x+y的取值范围.【答案】(1) 直线与曲线c相离.(2) 2,2.【解析】试题