基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)课件

1、1.2.2 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则及导数的运算法则（第一课时）教学目标教学目标 初步掌握导数的四则运算法则，并能运用教学重点教学重点：初步运用导数的四则运算法则教学难点教学难点：商的导数的运用与复合函数的导数我们今后可以直接使用下列的八个公式一、基本初等函数的导数公式1( ),( )0;( ),( );( )sin,( )cos;( )cos,( )sin;( ),( )ln(0);( ),( );1( )log,( )(01.3.5.7.2.4.6.8,1)n.;lxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxe

2、fxxfxaaxa 公式公若则若则若则若则若则若则式公式若公式公式公式公且公式则式若1( )ln,( );fxxfxx则例例1:假设某国家在假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为年期间的年均通货膨胀率为5%，物价，物价p（单位：元）与时间（单位：元）与时间t （单位：年）（单位：年）有如下函数关系有如下函数关系其中其中 为为t=0时的物价。假定某种商品的时的物价。假定某种商品的 =1，那么在第那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到大约是多少（精确到0.01）？）？0p(1 5%) ,t0p(t)=p0p见书P14解：解：根据基本初等函数

3、导数公式表，有根据基本初等函数导数公式表，有05. 1ln05. 1)( ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10( 10年元 p因此，在第因此，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的年的速度上涨。速度上涨。思考：思考：如果上式中某种商品的，那么在第如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(1 5%) ,t0p(t)=p解：解：根据基本初等函数导数公式表，有根据基本初等函数导数公式表，有05p 05p见书P15( )5 1.05 ln1.050.4tp t （元

4、、年）0.4元答：答：这种商品的价格上涨的速度大约是每年这种商品的价格上涨的速度大约是每年2()fxx设，xxg)(结论：结论： .)()()(22xxxx)()( )()(xgxfxgxf猜想：猜想：练习练习：利用导数定义求利用导数定义求 的导数的导数. . xxy22()21xxx2( )( )f xg xxx则证明证明:( )( )( )( ).f xg xfxgx证明：令证明：令 ).()(xgxfy )()()()(xgxfxxgxxfy xxgxxgxfxxfxy)()()()()()()()(xgxxgxfxxfxxgxxgxxfxxf)()()()( )( )( )( )yfx

5、g xfxgxx x0lim 法则法则1:1: 两个函数的两个函数的和（或差）的和（或差）的导数导数，等于这两个函数的，等于这两个函数的导数的和导数的和（或差）（或差），即：，即：).()( )()(xgxfxgxf法则法则1 1的特例的特例: :).( )(为常数CxfCxCf一个常数与一个函数一个常数与一个函数乘乘积积的的导数导数，等于，等于这个常数与这个函数的这个常数与这个函数的导数导数的的乘积乘积。法则法则2:2:两个函数的两个函数的积的导数积的导数，等于，等于第一个函数的导数第一个函数的导数乘乘以第二个函数以第二个函数加加上第一个函数上第一个函数乘乘以第二个函数以第二个函数的导数的导

6、数).()()()( )()(xgxfxgxfxgxf“一导一保留，中间一导一保留，中间”法则法则3 3: :两个函数的两个函数的商的导数商的导数，等于分子，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方分子的积，再除以分母的平方, ,即：即： )()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中“一导一保留，中间一导一保留，中间”二、导数的运算法则：二、导数的运算法则：法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的导数的和导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f

7、xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g x

8、f x g xg xg xg x见书P15例例2:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数求函数y=x-2x+3的导数。的导数。解：解：因为因为y=(x-2x+3) = (x) -(2x) +(3) =3x-2函数函数y=x-2x+3的导数是的导数是y=3x-2( )( )cf xcfx，c为常数推广：推广：af(x)bg(x) =af (x) bg (x) .,.1%:528480100 .100,:1 90%;2 98%.3xc xxx日常生活中的饮用水通常是经过净化的 随着水纯净度的提高 所需净化费用不断增加已知将 吨水净化到纯净度为时所

9、需费用 单位 元 为求净化到下纯度时 所需净化费用的瞬时变化率例 ：见书P15-16解：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数)1005284()( xxc2)100()100(5284)100(5284xxx2)100() 1(5284)100(0 xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90( ) 1 (2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨1321)98100(5284)98( )2(2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，

10、费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨ln2?yx思考如何求函数的导数呢22 ,ln .ln2l22,.nuxxyuyxyuuxxyux 若设则从而可以看成是由和经过得到的 即 可以通过表示复合中间变量自变量为的函数 ,ln2 .yuyf uuxug xyf uf g xx如果把 与 的关系记作和 的关系记作那么这个过程为复合可表示22,2323,.yxyuux我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过得到的 例如 函数由和复合 而成合等等复见书P16 .),(,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对

11、于两个函数一般地复合函数 .,xuxuyyxguufyxgfy导数间的关系为的的导数和函数复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy.2333123ln,23ln23ln,xuxuuyyxxuuuyxxyxux即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得三、复合函数的导数：xyyx表示 对 的导数由外及里 20.051123;2;3sin4,.xyxyeyx 求下列函数的导数其中：均为常数例 .3232122的复合函数和可以看作函数函数解xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy 232 xu.1284xu .105. 02105. 0的复合函数和可以看作函数函数xuey

12、eyux由复合函数求导法则有xuxuyy 105. 0 xeu.05. 005. 0105. 0 xuee见书P17由外及里 .sinsin3的复合函数和可以看作函数函数xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy sinxu.coscosxu三、函数求导的基本步骤：三、函数求导的基本步骤：1.分析函数的分析函数的结构和特征结构和特征;2.选择恰当的选择恰当的求导法则求导法则和和导数公式导数公式;3.整理得到结果整理得到结果.由外及里见课练习：本P18小结：一、基本初等函数的导数公式表1( ),( )0;( ),( );( )sin,( )cos;( )cos,( )sin;( ),( )ln

13、(0);( ),( );1( )log1.3.5.7.2.4.6.,( )(0,1);l.n8nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 若则若则若公式公式公式则若则若则若则若则且公式公式公式公式式公若1( )ln,( );fxxfxx则1. ( )( )( )( )f xg xf xg x2. ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x2( )( ) ( )( )( )3. ( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x二、导数运算法则2 . ( )( )cf xcfx .),(,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可