复变函数第四章(2)泰勒级数课件

1、4.3 泰勒级数 上节看到，一个幂级数在其收敛圆内具有解析的和函数，即，它在收敛圆内代表一个解析函数。 反过来，对于圆内解析的函数是否可以展开为级数呢？定理4.7内内解析，则在在圆盘设函数DRzzDzf 0:)( 00nnnzzczf)()(),(!)()()(0101211zfndszssficnCnn 成立，其中210101,: nRRzzC的泰勒级数在0zzf)(泰勒展开式RD0z1C1R证明思路：0zC1CzR1R围成的闭区域内解析，在曲线函数1)(CzfdszssfizfC 121)()(（柯西积分公式）nCnnzzdszssfi)()()(0010121 nnnzzzs)()(00

2、101 0000011111zszzzszzzszs )()()(）zRzzdszssfiNnCNnn()()()( 01010121s. 1110 zzznn根据定理前提条件,知）zRzzdszssfiNnCnNn()()()( 01010121）（zRzznzfNnNnn)(!)(0100)(高阶导数公式）定理:.5(3 )(zRN其中nCNnnzzdszssfi)()()(010121 ),()( NzRN0可以证明.)(!)()(000)(nnnzznzfzf（2） 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近

3、一个奇点a 的距离, 即R=|az0|. 注：（1）泰勒展开式的唯一性。【定理4.8】(采用反证 法证明）（1）直接展开法 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展开成幂级数。的泰勒展开式在处解析，计算在00zzfzzf)()(例1：处的泰勒展开式在函数0 zez,)()(210 neeznz10 znze)()(!)()(nnecznzn10 !nzzzenz212在复平面上处处解析，因为ze R收敛半径 z类似地，3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzz

4、znzzzzzn 处的泰勒展开式在0zcos,sin zz11112 zzzzzn解：（二）间接展开法 借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn 处的泰勒展开式在：例0zsin z2处的泰勒展开式在：函数例013 zzez, 1 z函数有一奇点。收敛半径1 R内解析，函数在1 z !nzzzenz21211112 zzzzzn两式相乘得， nzznzze)!()!(1211111

5、11111 z解：（方法二 待定系数法） 01nnnzzcze为假设所求的泰勒展开式那么， 01nnnzzcze)( 11nnnz! 110nnnnzccc)(同次幂系数相等，10 c! nccnn11 nzznzze)!()!(12111111111处的泰勒展开式。在（：求函数例0z) 2114z解 由于函数有一奇点z1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数. 211( 1),| 1.1nnzzzzz 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算相应的泰勒展开式。处的泰勒展开式。在：求函数例0zz)n(1)( Lzf5 ln(1+z)在从1向左沿负实轴剪开的平面内

6、是解析的, 1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.1OR=1xy解：)ln(1)(zzLn 的主值为10001dd( 1)d,1zzznnz231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn 即 01111nnnzzz)()ln(逐项积分得ikzzLn211 )ln()( 11322132nzzzziknn)(1 z而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数211z1z2+z4它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题,

7、一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式242211( 1)1nnxxxx 的成立必须受|x|1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的且可导的.4.4 罗朗级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在z0 的邻域内就不能用zz0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.的去心邻域内围绕为其中计算积分01 zcdzecz,曲线。的任意一条正向简单闭0 z例：处不解析。

8、在0z ze1行计算。则可代入积分运算中进，内对应的幂级数表达式在若知道z 01ze !nzzzenz212 z nzznzzze!1312111321 z0dzzzdzzndzecncncz! 2111)1(!1201 i24.4.1 罗朗级数的概念定义4.6的级数称为罗朗级数。形如nnnzzc)(0 nnnzzc)(0 )()(101nnnzzc )()(200nnnzzc 收敛。收敛，则称罗朗级数在）同时在）（若级数（zz21则（令10 )zz,)(101nnnnnnczzcnnnc1R的收敛半径为:)(01nnnzzc时收敛，Rzz10 .时发散Rzz10 ,RR11 若令为2Rnnn

9、zzc)(00的收敛半径，2:RR 1若则.内收敛在201RzzR nnnzzc)(0.为收敛圆环此时，称圆环201RzzR 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?94.定理上解析，：在圆环域设201RzzRDzf )(,)()(0nnnzzczf其中),(,)()(102110 ndzzzzficcnn的任意实数。是满足是正向圆周210RRzz

10、C ,内则在D2R1R0zz上的罗朗展开式。在圆环域201RzzRzf )(注:(1)罗朗级数在形式上与泰勒级数类似,它的证明也是类似的.阶导数公式的条件。上的积分不满足应用高此时上有奇点，一般在圆域因为CRz-zzf10 )(2)一般地,即使正幂项的系数也不能利用高阶导数形式表示.),)()(上无奇点（处处解析在特例，如果103Rzzzf 上解析。在圆域结合定理的前提条件，20Rzzzf )(此时,罗朗级数退化为泰勒级数。),(,)()()(21021211010 ndzfidzficnCcnn),(,!)()()()(21021010 nnzfdzficncnn柯西基本定理高阶导数公式（4

11、）唯一性罗朗展式唯一。在该圆环内的内解析，那么在若)()(zfRzzRzf201 133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 内展开为罗朗级数。在：将函数例 z)(0613zezzf解：因为内展开为罗朗级数。与在圆环：将函数例 z-iz-iizzzf110172)()(解：讨论的圆环域以 i圆心，n-nnizc)( 为：所求解的罗朗级数形式211zizzf )(.)(内在iiz 01)(iziz 11iizi 11111112 zzzzzn 011nnniizi)()(nnnizii)( 01)(zz112 ）此时，

12、1 iiz(112111 nnnizniizz)()(所以，211zizzf )(211 nnnizni)( 132nnnizin)()(10 iz111 nnnizni)(.)(内在 iz12)(iziz 11iizi 11111112 zzzzzn（但iiz 1不能得到相应的级数形式。）)(iziz 11)(iziiz 111)(1 izi此时，nnniziiz)()( 011103 nnnizi)(2032111 nnnizinzz)()()(所以，211zizzf )(3031 nnnizin)()( iz1级数。的解析邻域内展为罗朗在点将函数例 zzzzzzf,)()(0221830

13、-2解： zzzzf,)(02点在扩充复平面上不解析2202 )(的解析邻域：z-z200 zz的解析邻域： zz2的解析邻域：内在2201 )()(zn-nnzc)(2 为：所求解的罗朗级数形式zzzf1213 )()()()(2211 zz221121 )(z)(122 z此时， 02221nnz)(所以，zzzf1213 )()(301221 nnnz)(220 )(z内在202 z)(n-nnzc)( 为：所求解的罗朗级数形式zzzf1213 )()(22121)()( zz323221)()( zz)()(2121213 zz2112121zz )(12 z此时，nnnz)()( 02121)()(2121213 zz2212141 nnnznn)()(zzzf1213 )