导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

1、.word 格式 .导数习题题型十七 ：含参数导数问题的 分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 求导后 ，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根 （或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系 ，从而引起讨论 。 已知函数 f (x)1x 31(a2)x22ax （a>0 ） ,求函数的单调区间32f (x)x(a2) x2a( xa)( x 2)例 1已知函数 f ( x)x2a(a2) ln x （ a>0 ）求函数的单调区间xf(x)x2(a2)x2a( x2)( xa)x2x2 例 3 已知函数 fx2axa21xR，

2、其中 aR 。x21（） 当 a1时，求曲线 yfx在点 2, f2处的切线方程 ；（） 当 a0 时，求函数 fx的单调区间与极值 。解：（） 当 a1时，曲线 yfx在点 2, f 2处的切线方程为 6x25 y 320 。（） 由于 a0 ，所以 fx2a(x21)2,由 f 'x0，得 x11, x2 a 。 这两个实根都在定x21a2ax212x2axa212axax1f 'axx22x22义域 R 内，但不知它们之间11的大小 。因此 ，需对参数 a 的取值分 a0 和a0 两种情况进行讨论。(1)当 a0 时，则 x1x2 。 易得 fx在区间,1， a,内为减函

3、数 ，a在区间1 ,a为增函数 。 故函数 fx在 x11处取得极小值f1a2 ；aaa函数 fx在 x2a 处取得极大值fa1 。（ 1）当 a0 时，则 x1x2 。 易得 fx在区间 (, a) ， (1 ,) 内为增函数 ，在区间a( a,1) 为减函数 。 故函数 fx在 x11 处取得极小值f1a2 ；函数f x 在aaa.专业资料 . 学习参考.word 格式 .x2a 处取得极大值fa1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此 ，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然 ，在具体解题中 ，可

4、能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握 。 ( 区间确定零点不确定的典例)例 4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交a 元（ 3a5）的管理费 ，预计当每件产品的售价为x 元（ 9x11 ）时，一年的销售量为（ 12-x ） 2 万件 .（ 1 ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（ 2 ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出 L 的最大值Q（ a） .解 （ 1）分公司一年的利润 L（万元）与售价 x 的函数关系式为 ：L=(x-3-a)(12-x)2,x 9,11 .(2)L

5、(x)=(12-x) 2 -2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令 L=0 得 x=6+ 2 a 或 x=12 （不合题意 ，舍去 ） .33a5,86+ 2 a28 .33在 x=6+2 a 两侧 L的值由正变负 .3yL (x)x 18 2a3X=12L (x)912x所以 当 86+ 2 a 9 即 3a 9 时，32Lmax =L(9)=(9-3-a)(12-9)2 =9(6-a).0 当 9 6+ 2 a28 即 9 a5 时，332Lmax =L(6+ 2 a)=(6+2 a-3-a) 12-(6+2 a) 2=4(3-1 a)3.所以 Q(a)=9(6

6、a),3 a9 ,19233334( 335.a) ,a32答若 3a 9 ，则当每件售价为9元时 ，分公司一年的利润L 最大，最大值Q（ a ） =9(6-a) （万2元）；若 9 a5 ，则当每件售价为(6+ 2 a)元时 ，分公司一年的利润L 最大，最大值 Q(a)=4 （ 3- 1 a）233.专业资料 . 学习参考.word 格式 .3(万元 ).（ 导函数零点确定 ，但区间端点不确定引起讨论的典例）例 2 、已知 f xx ln x, g xx3ax2x2().求函数 fx 的单调区间 ;().求函数 f x 在 t ,t2t0上的最小值 ;()对一切的 x0, 2fxg'

7、 x2恒成立 ,求实数 a 的取值范围 .解： () f ' ( x)ln x1,令 f 'x0,解得 0x1,f x 的单调递减区间是0, 1;ee令 f 'x0, 解得 x1, f ( x)的单调递增是（e，），e()()0<t<t+2<1 ， t 无解 ； ()0<t<1<t+2 ，即 0<t<1 时， f ( x) min f (1)1；eeeee1t2 ，即 t12单调递增 ， f ( x) minf ( t)tlnt9 分()t时， f ( x)在 t,tee-10t1eef ( x) min，1tlntte(

8、)由题意 :2 xln x3x22ax1 2在x0,上恒成立 即 2x ln x3x 22ax1,可得 aln x3 x1（分离参数 ） ,设 h xln x3x1,22 x22x则 h 'x131x 1 3x 112 分x22x 22x 2令 h ' x0 ,得 x1, x1 (舍 )3当 0x1 时 , h' x0;当 x1时 , h' x0当 x1时 , h x 取得最大值 , h x max =-213 分 .a2.二求导后 ，导函数为零有实根 （或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论 。( 用导数解决函数问题若

9、求导后研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零 、小于零分类 ；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按 0、 =0 、 0 ；在 0 时，求导函数的零点再根据.专业资料 . 学习参考.word 格式 .零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。 ) 1 已知函数 f (x)a x31 x2(1a)x ，求函数的单调区间32f (x) ax2x(1a)(1x)(ax 1 a)例 2已知函数 f (x)(1a) ln xa x 2 （ a>0 ） ,求函数的单调区间2f (x)ax2x(1a)( x1)(ax 1 a)

10、xx 例 3已知 a 是实数 ，函数 fxx xa（） 求函数 fx 的单调区间 ；（） 设 g a 为 fx 在区间0,2 上的最小值 。（ i ）写出 g a 的表达式 ；（ ii ）求 a 的取值范围 ，使得 6ga2 。3xaxa3x3解：（）函数的定义域为 0,， f'axxx2xx 0 ， 由22 xf ' ( x) 0 得 xa 。 考虑 a 是否落在导函数f '(x) 的定义域0,内，需对参数 a 的取值分 a 03 3及 a 0 两种情况进行讨论 。（ 1 ）当 a0 时，则 f ' ( x)0在 0,上恒成立 ，所以 fx 的单调递增区间为0

11、,（ 2 ） 当 a0 时，由 f ' ( x)0 ，得 xa ；由 f ' ( x)0 ，得 0 xa 。33因此 ，当 a 0 时， fx的单调递减区间为 0,ax 的单调递增区间为a， f,33。（）（ i ）由第 （） 问的结论可知 ：（ 1）当 a0时 ， fx在 0,上 单 调 递 增 ， 从 而 f x在 0,2 上单调递增，所以g af 00 。（ 2）当 a0时， fx 在 0, a上单调递减 ，在 a ,上单调递增 ，所以：33 当 a0, 2，即 0a6 时， fx 在 0, a 上单调递减 ，在a ,2 上单调递增 ，333.专业资料 . 学习参考.wo

12、rd 格式 .所以 gaf a2aa2a 3a。3339 当 a2,，即 a6 时， fx 在 0,2上单调递减 ，所以 g a f 22 2 a 。30,a0g a2aa ,0a6综上所述 ，332 2a , a 6（ ii ）令6 g a2 。 若 a0，无解； 若 0a 6 ，由 62aa6 ；32 解得 3 a3 若 a6，由 62 2a2 解得 6 a 2 3 2 。综上所述 ， a 的取值范围为 3a23 2 。三 .求导后 ，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定 ，而引起的讨论 。 例 1 已知函数 f (x)1 ax2x 求函数的单调区间2f ( x) a

13、x 1 例 2 已知函数 f ( x)ln xax 求函数的单调区间f ( x)1af (x)ax1xx例3设 kR ，函数 f (x)1, x 1, F (x) f ( x) kx, x R ，1 xx1, x1试讨论函数 F ( x) 的单调性 。11解： f ( x)1, x, F ( x)f ( x)kx, xRxx 1, x 1.专业资料 . 学习参考.word 格式 .1k 121x, x1kx, x1,1 x2F (x)f ( x) kx 1 x, F '( x)。12kx1x1 kx, x112 x1, x考虑导函数 F '( x)0 是否有实根 ，从而需要对参

14、数k 的取值进行讨论 。1k 12（一） 若 xx。 由于当 k0时， F '( x)0无实根 ，而当 k0 时，1 ，则 F '(x)1 x2F '( x)0 有实根 ，因此 ，对参数 k分 k0 和 k0两种情况讨论 。（ 1 ）当 k0时， F '(x)0 在 (,1) 上恒成立 ，所以函数 F ( x) 在 (,1) 上为增函数 ；kx11111k 12xk（ 2 ）当 k0时， F '(x)xk。1x221 x由F '( x)0，得 x11, x11，因为 k0 ，所以 x1 1 x2 。1k2k由 F '( x)0，得11x1

15、 ；由 F '( x)0 ，得 x 11。kk因此 ，当 k0 时，函数 F ( x) 在 (,111,1) 上为增函数 。) 上为减函数 ，在 (1kk（二） 若 x1 ，则 F '(x)12kx1 。 由于当 k0 时， F '(x)0 无实根 ，而当 k0 时，2x1F '( x)0 有实根 ，因此 ，对参数 k 分 k0 和 k0 两种情况讨论 。（ 1 ） 当 k0 时， F '( x)0在 1,上恒成立 ，所以函数 F ( x) 在 1,上为减函数 ；kx112kx11（ 2 ） 当 k0 时， F '( x)2k 。2x1x1由 F

16、 '( x)0 ，得 x11；由 F '( x)0 ，得 1 x 11。4k 24k2因此 ，当 k0时，函数 F (x) 在1,11上为减函数 ，在11,上为增函数 。4k24k 2.专业资料 . 学习参考.word 格式 .综上所述 ：（ 1 ）当 k0 时，函数 F ( x) 在 ( ,111) 上为减函数 ，在 (1,1) 上为增函数 ，在 1,kk上为减函数 。（ 2 ）当 k0 时，函数 F ( x) 在 (,1) 上为增函数 ，在 1,上为减函数 。（ 3 ）当 k0 时 ， 函 数 F ( x)在 (,1)上为增函数，在1上为减函数，在1,124k112 ,上为

17、增函数 。4k 19 设 a 0,讨论函数 f （ x） =lnx+a （1-a ） x2-2 （ 1-a ） x 的单调性 。解：函数 f ( x) 的定义域为 (0,2a(1a) x22(1 a) x1). f (x)x,当 a1时 , 方程 2a(1-a)x22(1 a) x10 的判别式12(a1)a1.3 当0a10, f (x) 有两个零点 ，时 ,3x11(a1)(3a 1)1(a1)(3a1)（ 1 ）2a2a(1a)0, x22a(1a)2a且当0xx1或 xx2时, f (x) 0, f (x)在 (0, x1 )与(x2 ,) 内为增函数 ；当 x1xx2时, f (x)

18、0, f ( x)在 (x1, x2 ) 内为减函数 ； 当 1a1时,0, f ( x)0, 所以 f ( x)在 (0,) 内为增函数 ；31 当 a1时 , f( x)0( x0), f (x)在 (0,) 内为增函数 ；x 当 a1时0， x11(3a 1)(a 1)x11(3a1)( a1)2a2a(1a)2a2a(1 a)2(a1)(3a 1)21(3a 1)( a1)13a11a3a12a由102a2a(1a)4a24a 2 (1 a)24a24a 2 (1a)4a2 (1 a)4a2(1 a)1(3a 1)( a 1)>01(3a 1)(a 1)x12a(1 a)x1&l

19、t;02a2a2a(1 a).专业资料 . 学习参考.word 格式 .所以在定义域(0， + )内有唯一零点x1 ，且当 0xx1时 , f ( x)0, f ( x)在 (0, x1 ) 内为增函数 ； 当 xx1 时， f (x)0, f ( x)在 (x1,) 内为减函数 。f ( x) 的单调区间如下表：（其中11a 10 aa133(0, x1 )(x1 , x2 )( x2 ,)(0,)(0, x1 )( x1 ,)1( a 1)(3a 1)1(a 1)(3a 1)x1, x22a）2a2a(1 a)2a(1 a)因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。例已知函数 f(x)=1n

20、x ， g(x)= 1 x2a (a 为常数 )，若直线 l 与 y=f(x) 和 y=g(x) 的图象都相切 ，且 l 与 y=f(x) 的2图象相切于定点 P（ 1，f（1）（ 1）求直线 l 的方程及 a 的值；（ 2）当 k R时， 讨论关于 x 的方程 f(x2+1)-g(x)=k 的实数解的个数 1解：（ 1 ） f (x)=， f 1（） =1k1=1, 又切点为 P（ 1， f（1）， 即（1， 0）l的解析式为 y=x-1 ，xy=x-1l与 y=g(x) 相切，由y=1 x2a ,消去 y 得 x2-2x+2a+2=0, =（-2 ）2-4 （2a+2 ）=0 ，得 a=-

21、 121 x212（ 2）令 h（ x）=f(x 2+1)-g(x)=1n(x2+1)x( x1)( x 1)222x-x=-，则 x1或 0x 1时 ，h (x) 0, h( x) 为增函数， h (x)=21x21 x-1 x 0 或 x 1 时，1故 x= ±1时， h（x）取极大值 1n2 ， x=0 时， h（ x）取极小值。2.专业资料 . 学习参考.word 格式 .因此当k （1n2 ， +），原方程一解 ；当 k=1n2时，原方程有两解 ；当 1k1n2 时，原方程有四112时，原方程有三解 ；当 k解；当 k=时，原方程有两解225.求参数的范围时由于不能分离出参

22、数而引起的对参数进行的讨论例 1 ：（ 此为不能分离出参数a 的例题 ）已知 f (x) x36ax 29a2 x （ a R ）当 a 0时 ， 若对x0,3有 f ( x)4 恒成立 ，求实数 a 的取值范围 .解：因为 f(x)=x3 -6ax 2 +9a 2x ， x 3-6ax 2+9a 2 x-4 0所以 f'(x)=3x 2 -12ax+9a 2 = （ 3x-3a） (x 3a) ,在, a上 fx>0f x 是增函数 ，在 a,3a 上 fx <0 f x 是减函数 ，在 3a,上 fx >0 f x是增函数 。所以函数在 x=a时， f x 极大f

23、 a ，所以函数在 x=a 时， f x 极小f 3a因对x0,3有 f ( x)4 恒成立 ， 求实数 a 的取值范围 .极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下 ：a>0 当两个极值点都在指定区间0,3 内时 。即 0<3a 3，也就是 0<a<1时，（当 a>0时为什么分为0<a<3 ，与 a 3两类。 要讲清楚 ）在 0,a 上 fx >0fx 是增函数 ，在 a,3a 上 f x <0f x 是减函数 ，在 3a,上 f x >0 f x 是增函数 。 所以函数在 x=a 时， fx 极大f a，所以函数在 x=

24、a 时， f x 极小f 3af x maxmax fa , f3fx minminf0 , f 3ax0,3 有 f (x)4恒成立，0a10a 1a 36a39a 340等价于a40f2754a27a240f3400a1解得 a1即 0<a 1123a 12399.专业资料 . 学习参考.word 格式 . 当两个极值点有一个在指定区间0,3 内时 。 即 0<a 3 ，且 3a>3 时，也就是 1<a 3时，（当 a>0时为什么分为0<a<3 ，与 a 3两类。 要讲清楚 ）在 0,a 上 fx >0fx 是增函数 ，在 a,3上 fx&l

25、t;0 f x 是减函数 ， 所以函数在 x=a时，f x 极大f a ，f x maxf af x minmin f 0 , f 3x 0,3 有 f (x)41a3解得 1a 1 23恒成立 ，等价于40f a9 当两个极值点都不在在指定区间0,3 内时 。 即 a>3 时， （当 a>0时为什么分为0<a<3 ，与 a 3两类。要讲清楚 ）在 0,3上 fx >0f x 是增函数 ，f x maxf 34a34 10840与 f x4 0矛盾 。综上：对x0,3 有 f ( x) 4 恒成立时 ，实数 a 的取值范围是 0a123.9例 4 设函数 fxx2

26、b lnx1，其中 b 0 ，求函数f x的极值点 。解：由题意可得 fx的定义域为1,， f 'x2xb12 x2x2xb ， f ' x的分母 x1 在x1定义域1,上恒为正 ，方程2x22xb 0 是否有实根 ，需要对参数 b 的取值进行讨论 。（1）当4 8b 0 ， 即 b1 时 ， 方 程 2x22xb 0 无 实 根 或 只 有 唯 一 根 x1，所以22g x2x22xb0 , 在1,上恒成立 ， 则 f ' x0 在1,上恒成立 ，所以函数fx 在1,上单调递增 ，从而函数 fx在1,上无极值点 。（2）当48b0 ，即 b1 时，方程 2x22xb0

27、 ，即 f 'x0有两个不相等的实根：2x111 2b , x21 1 2b 。22这两个根是否都在定义域1,内呢？又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论 ：b 0112b112b（）当时，x121, x221， 所 以.专业资料 . 学习参考.word 格式 .x11, x21,。此时 ， f 'x 与 fx 随 x 的变化情况如下表：x1, x2x2x2 ,f 'x0fx递减极小值递增由此表可知 ：当 b0 时， fx 有唯一极小值点112bx22。0 b1x1112b112b（）当时 ，21, x221，所以2x11, x21,。 此时 ， f 'x 与

28、fx 随 x 的变化情况如下表：x1,x1x1x1 , x2x2x2 ,f 'x00fx递增极大值递减极小值递增由 此 表 可 知 ： 当 0 b1时 ， f x有 一 个 极 大 值 点 x1 1 2b 和 一 个 极 小 值 点212112bx22。综上所述 ：（ 1）当 b0 时， fx112b；有唯一极小值点 x2（ 2）当 0b1x 有一个极大值点 x112b112b时， f2和一个极小值点 x2；2（ 3）当 b1x无极值点 。时， f2从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点， 那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂 ，讨论起来也会得心应手、层次分明 ，从而使问题迎刃而解 。.专业资料 . 学习参考.word 格式 .(19)(