复变函数第一章总结及习题课件

1、2一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1. 复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法2. 复变函数以及映射的概念复变函数以及映射的概念1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域2. 映射的概念映射的概念3二、内容提要二、内容提要复数复数复变函数复变函数极限极限连续性连续性代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根复数表示法复数表示法几何表示法几何表示法 向量表示法向量表示法三角及指数表示法三角及指数表示法复球面复球面复平面复平面扩充扩充曲线曲线与区域与区域判别定理判别定理极限极限的计算的计算4 1.1.复数的概念复数的概念. , 为为复复数数或或我我们

2、们称称对对于于任任意意两两实实数数iyxzyixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 记记作作 ; , 0 , 0 称称为为纯纯虚虚数数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我我们们把把它它看看作作实实数数时时当当 . 0,0, 0 zyx 时时当当5, 222111iyxziyxz 设设两两复复数数1) 两复数的和两复数的和).()(212121yyixxzz 2) 两复数的积两复数的积).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3)两复数的商两复数的商.222221122222212121yxyxyxiyx

3、yyxxzz 2. 复数的代数运算复数的代数运算64)共轭复数共轭复数 , zz共共轭轭的的复复数数记记为为与与. , iyxziyxz 则则若若 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. .共轭复数的性质共轭复数的性质;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 7 3. 3.复数的其它表示法复数的其它表示法. . , , , . ),( 面面面面叫叫复复平平这这种种用用来来表表示示复复数数的的平平轴轴叫叫

4、虚虚轴轴或或纵纵轴轴轴轴通通常常把把横横轴轴叫叫实实轴轴或或用用来来表表示示复复数数的的平平面面可可以以一一个个建建立立了了直直角角坐坐标标系系因因此此对对应应成成一一一一与与有有序序实实数数对对复复数数yxyxiyxz . ),( 表表示示面面上上的的点点可可以以用用复复平平复复数数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz （1 1）几何表示法）几何表示法8（2 2）向量表示法）向量表示法., ,来表示来表示也可用向量也可用向量复数复数因此因此平面向量成一一对应平面向量成一一对应的的指向点指向点与从原点与从原点复数复数在复平面上在复平面上OPziyxzz ),(yxP xyxyoiyxz

5、 rz 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z. 22yxrz 记为记为9 模的性质模的性质, zx , zy ,yxz .22zzzz ;) 1 (2121zzzz .)2(2121zzzz 三角不等式三角不等式复数的辐角复数的辐角 ., 0,0而而辐辐角角不不确确定定时时当当 zz.0有有无无穷穷多多个个辐辐角角任任何何一一个个复复数数 z , 1是是其其中中一一个个辐辐角角如如果果 的的全全部部辐辐角角为为那那么么z).( 2Arg1为任意整数为任意整数kkz . Arg , , , 0 zzOPzz记记作作的的辐辐角角称称为为

6、为为终终边边的的角角的的弧弧度度数数的的向向量量以以表表示示以以正正实实轴轴为为始始边边的的情情况况下下在在10.arg , Arg , )0( 000zzz 记记作作的的主主值值称称为为的的把把满满足足的的辐辐角角中中在在 . 0, 0, 0, 0,arctan, 0, 0,2, 0,arctanargyxyxxyyxxxyz辐角的主值辐角的主值0 z)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值11 （3）三角表示法）三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式.（4）指数表示法）指

7、数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 12 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1) 乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz )sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 则有则有13 几何意义几何意义复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, ,

8、辐角相加辐角相加. . , 2倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋旋转转一一个个角角按按逆逆时时针针方方向向先先把把 z . 21zzz 就就表表示示积积所所得得向向量量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z14 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111

9、ierz .)(121212 ierrzz则则,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 则有则有15 2) 幂与根幂与根(a) n次幂次幂:, , nznzzn记记作作次次幂幂的的的的乘乘积积称称为为个个相相同同复复数数. 个个nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有对于任何正整数对于任何正整数.1 , nnzzn 有有为为负负整整数数时时.ArgArg,znzzznnn 因而有因而有16.sincos)sin(cos ninin . , (c)为已知复数为已知复数其中其中的根的根计算方程计算方程zwzwn nkink

10、rzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式.,个顶点个顶点边形的边形的的圆的内接正的圆的内接正为半径为半径个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的在几何上在几何上nnrnznn17 5.复球面与扩充复平面复球面与扩充复平面南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的的球球面面点点取取一一个个与与复复平平面面切切于于原原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为为南南极极为为北北极极我我们们称称SNxyPNOS(1) 复

11、球面复球面18 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作. 因而球面上因而球面上的北极的北极 N 就是复数无穷大的几何表示就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. 复球面的定义复球面的定义19包括无

12、穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .对于复数对于复数来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大. : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )( 加加法法a)(, : )( 减减法法b)0(, : )( 乘乘法法c)0( ,0),( , 0 : )( 除法除法d (2) (2) 扩充复平面的定义扩充复平面的定义20 6.曲线与区域曲线与区域（1 1）邻域

13、）邻域. : )( , 000的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以zzzz . 0 00的去心邻域的去心邻域所确定的点的集合称为所确定的点的集合称为不等式不等式zzz （2 2）内点）内点. , , . , 000的内点的内点称为称为那末那末于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设GzGzGzG21 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为称为开集开集. .(4) (4) 区域区域 如果平

14、面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, , 则称则称它为一个区域它为一个区域. . (a) D是一个是一个开集开集； (b) D是是连通的连通的, ,即即D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全属于属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.(3) (3) 开集开集22(5) (5) 边界点、边界边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点P P 不属不属于于D, 但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这这样的样的P P点我们称为点我们称为D的的边界点边界点. (7) (7)有界区域和无界区域有界区域和无

15、界区域. , , 0, , 界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . (6) 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域. 闭区域闭区域 23. )( )( , )()( :的的起起点点和和终终点点分分别别称称为为与与为为一一条条连连续续曲曲线线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的的重重点点称称为为曲曲

16、线线点点时时而而有有当当与与的的对对于于满满足足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔当曲线当曲线).). , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC (8) (8) 简单曲线简单曲线24(9) (9) 光滑曲线光滑曲线.0, )( )( , , )( )( , 22称称这这曲曲线线为为光光滑滑的的那那末末有有的的每每一一个个值值且且对对于于都都是是连连续续的的和和上上如如果果在在 tytxttytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组

17、成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成三个互不相交的点集三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质25(10) (10) 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单

18、连通域就是无洞、无割痕的域的域.26 7. 复变函数的概念复变函数的概念(1)(1)复变函数的定义复变函数的定义).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 记作记作复变函数复变函数简称简称的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数之对应之对应与与就有一个或几个复数就有一个或几个复数每一个复数每一个复数中的中的对于集合对于集合按这个法则按这个法则个确定的法则存在个确定的法则存在如果有一如果有一的集合的集合是一个复数是一个复数设设: )( 相相当当于于两两个个关关系系式式之之间间的的关关系系自自变变量量与与复复变变函函数数zfwzw ).,(),(yxvvyxu

19、u 27).()( * )( )( , , 或或变变换换的的映映射射函函数数值值集集合合平平面面上上的的一一个个点点集集变变到到定定义义集集合合一一个个点点集集平平面面上上的的把把在在几几何何上上就就可可以以看看作作是是数数那那末末函函的的值值平平面面上上的的点点表表示示函函数数另另一一个个平平面面而而用用的的值值平平面面上上的的点点表表示示自自变变量量如如果果用用GwGzzfwwwzz . , , , , 的的点点集集之之间间的的对对应应关关系系上上必必须须看看成成是是两两个个复复平平面面的的几几何何图图形形表表示示出出来来因因而而无无法法用用同同一一平平面面内内之之间间的的对对应应关关系系

20、和和由由于于它它反反映映了了两两对对变变量量对对于于复复变变函函数数yxvu(2) (2) 映射的定义映射的定义28函数极限的定义函数极限的定义. )( )( 0 , )0()( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称时有时有使得当使得当相应的必有一正数相应的必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记记作作注意注意: :.0的的方方式式是是任任意意的的定定义义中中 zz 8.8.复

21、变函数的极限复变函数的极限29. ),( ),( , ),(),()( 的的极极限限问问题题和和函函数数转转化化为为求求两两个个二二元元实实变变的的极极限限问问题题该该定定理理将将求求复复变变函函数数yxvyxuyxivyxuzf 极限计算的定理极限计算的定理.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的的充充要要条条件件是是那那末末设设30).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzg

22、zfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那么那么设设与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似. 极限运算法则极限运算法则31（1 1）连续的定义）连续的定义 . )( , )( . )( ),()(lim 000内内连连续续在在我我们们说说内内处处处处连连续续在在区区域域如如果果处处连连续续在在那那么么我我们们就就说说如如果果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 处处连连续续的的意意义义是是上上在在曲曲线线函函数数 9.9.复变函数的连续性复变函数的连续性32.)()()(a)000处处仍仍连连续续在在

23、不不为为零零分分母母在在积积、商商的的和和、差差、和和连连续续的的两两个个函函数数在在zzzgzfz . )( , )( )( , )( (b)0000连连续续处处在在那那末末复复合合函函数数连连续续在在函函数数连连续续在在如如果果函函数数zzgfwzghhfwzzgh .) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 连续的充要条件连续的充要条件连续的性质连续的性质33,)(2210nnzazazaazPw 有理整函数有理整函数(多项式多项式) ; 都是连续的都是连续的对复平

24、面内的所有点对复平面内的所有点 z有理分式函数有理分式函数,)()(zQzPw , )( )( 都是多项式都是多项式和和其中其中zQzP 特殊的特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.34三、典型例题三、典型例题求证求证是两个复数是两个复数设设,21zz例1例1.)2);Re(2)12121212221221zzzzzzzzzz )1证证)(2121221zzzzzz )(2121zzzz 21122211zzzzzzzz )(21212212zzzzzz ).Re(2212212zzzz 35),Re(2)1)2212221221zzzzzz 知知由

25、由2122212212zzzzzz 又又2122212zzzz ,2212221zzzz ),Re(2121zzzz 因因为为36)Re(2212221zzzz 所所以以.221221zzzz 即即.,2121zzzz 得得两两边边开开方方 其几何意义是三角形任意一边的长不小于其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值其它两边边长之差的绝对值.,2212221zzzz 37. 11, 1:, 1000 zzzzzz则则若若证证明明设设例例2 2证证则则若若, 1 z,1)1(20202zzz 202zz因为因为)Re(2020220z zzzzz 又又)Re(210202z zzz , 11200 zzzz所以所以. 1100 zzzz即即201z .1202zz ,120z z 38., 0137112的值的值求求已知已知xxxxx 例3例3解解),1)(1(123 xxxx因因为为, 012是一个三次单位根是一个三次单位根故故而而xxx 1,37211 xxxxx从从而而. 0123711 xxxxx所所以以39.1,112的值的值求求次单位根次单位根的的是任意一个不等于是任意一个不等于设