2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

1、2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1已知向量，则下列向量中与同向的单位向量的坐标是（ ）abcd【答案】b【解析】求得，进而可计算得出与同向的单位向量的坐标.【详解】，则，所以，与同向的单位向量的坐标是.故选：b.【点睛】本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题.2直线的倾斜角为（ ）abcd【答案】a【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.【详解】直线的斜率为,故倾斜角的正切值,又,故.故选：a【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.3已知在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，则异面直线与所

2、成角的余弦值为（ ）abcd【答案】b【解析】以为原点，在平面内，过点作的垂线为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】以为原点，在平面内，过点作的垂线为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题得，0，,，2， 设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：b【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4已知直线，若，则实数（ ）a或1b0或1c1d【答案】d【解析】讨论，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当时，的斜率不存在，的斜率为0，此时，不合题意；当时，由可得，解得，故选：d【点睛

3、】本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.5如图，在正四棱柱中，则点到平面的距离为（ ）abcd【答案】b【解析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法，即可求出答案【详解】解：设点到平面的距离为，由题意，的面积，在中，易求得，由余弦定理得，又，即，故选：b【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题6已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）abcd【答案】b【解析】首先根据得到，从而得到，再计算即可.【详解】，因为，解得，即.所以.故选：b【点睛】本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题.7无论a取何实数，直线恒过（ ）a第一象限b

4、第二象限c第三象限d第四象限【答案】a【解析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解；【详解】解：将直线方程化为点斜式为，可知直线恒过定点，因为点在第一象限，所以直线恒过第一象限故选：a【点睛】本题考查直线过定点问题，属于基础题.8已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ）abc或d或【答案】d【解析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程.【详解】由直线，可得与轴，轴分别交于，则的中点为，即中点坐标为，设直线的方程为，即，且与轴交于点，因为直线，及轴围成的三角形

5、面积为6，可得，即，解得或，当时，即点，此时直线的方程为，即；当时，即点，此时，直线的方程为， 综上可得直线的方程为或.故选：d.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、多选题9已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（ ）abcd【答案】abc【解析】求出关于、的表达式，可求得关于、的表达式，可得出、的值，进而可判断出各选项的正误.【详解】如下图所示，为的中点，则，为的中点，则，则，则.故选：abc.【点睛】

6、本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.10下列关于直线的方程，叙述不正确的是（ ）a经过定点的直线都可以用方程表示b经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示c不经过原点的直线都可以用方程表示d经过定点的直线都可以用方程表示【答案】acd【解析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可【详解】解：对于a，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以a错误；对于b，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，所以b正确；对于c，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，所以c错误；对于d，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以d错误，故选：acd【点

7、睛】此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题11已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）a的倾斜角等于b在轴上的截距等于c与直线垂直d上存在与原点距离等于1的点【答案】cd【解析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断a，b，c，对于计算出原点到直的距离即可判断【详解】解：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以，所以a错误；因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以b错误；因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以与直线垂直，所以c正确；因为原点到直线的距

8、离为，所以上存在与原点距离等于1的点，所以d正确，故选：cd【点睛】此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题12如图，在直三棱柱中，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（ ）abcd二面角的余弦值为【答案】bd【解析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据求出，可得，根据空间两点间的距离公式求出，利用法向量求出二面角的余弦值为.【详解】依题意可知，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：设，则，所以， 因为，所以，即，解得或（舍），所以，故选项正确，故选项不正确，因为，所以，故不正确，取平面的一个法向量为，设平

9、面的法向量为，由，即，取，则，所以，显然二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故选项正确.故选：bd【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的向量求法，属于中档题.三、填空题13已知直线与垂直，则_【答案】【解析】由题意得，解出即可【详解】解：直线与垂直，即，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查根据两条直线垂直求参数值，属于基础题14已知点到直线的距离为，则_.【答案】【解析】根据点到直线的距离公式列式可解得结果.【详解】由点到直线的距离公式得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.15设动点p在棱长为1的正方体abcda1

10、b1c1d1的对角线bd1上，记.当apc为钝角时，的取值范围是_【答案】(，1)【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)，则(1,1，1)，得(，)，所以(，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)，显然apc不是平角，所以apc为钝角等价于·<0，即(1)(1)(1)2<0，即(1)(31)<0，解得<<1，因此的取值范围是(，

11、1)四、双空题16已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是_；若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是_.【答案】 【解析】分别画出图象，数形结合可得答案.【详解】由，直线过点与线段相交，如上图，,，则直线的斜率的取值范围是； 由，直线过点与线段相交，如上图，则直线的斜率的取值范围，故答案为： ；.【点睛】本题考查了直线的斜率，斜率的取值范围，属于基础题.五、解答题17已知向量，.（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.【答案】（1）；（2）且.【解析】（1）求出，根据可解得结果；（2）根据可得，除去可得解.【详解】（1）由已知可得，因为，所以，可得.

12、（2）由（1）知，因为向量与所成角为锐角，所以，解得， 又当时，可得实数的范围为且.【点睛】本题考查了空间向量共线问题，考查了空间向量的夹角问题，属于中档题.18在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线bc的斜率，得到bc边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可.【详解】（1）设的直线方程为.将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式为. （2）因为为直线的高，所以，故， 设的直线方程为，将代入，解得，得的直线方程为，代为一般

13、式为.【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题19如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的中点，. （1）求证：直线平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由平面可得出，由勾股定理可得出，进而利用线面垂直的判定定理可证得直线平面；（2）以点为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值.【详解】（1）由题知，那么，可得， 由平面，平面，可得，因此，直线平面；（2）由（1）知，平面，以点为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，如图

14、，可得，则，. 设平面的一个法向量为，那么，即得，令，得，那么，所以直线与平面夹角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20已知直线.（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若直线与轴所成的角为，求的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）根据方程解出横纵截距，然后建立方程求解即可；（2）由条件可得直线的倾斜角为或，然后可求出答案.【详解】（1）由题意令， 令，由，得或，综上，的值为或；（2）直线与轴所成的角为，直线与轴所成的角为或，即直线的倾斜角为或，直线的斜率存在，又直线的斜率为，或，或

15、【点睛】本题考查的是直线的一般式方程的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.21已知在平行六面体中，且.（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.【详解】（1）由题可知，那么，因此，的长为；（2）由题知，则，所以，.【点睛】本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.22如图在四面体中，平面，分别为边的中点，为边上任意一点.（1）证明：平面；（2）当二面角的平面角为时，求的长度.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】(