2022版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何微专题进阶课6简单几何体的外接球与内切球问题学案含解析新人教B版

1、高考复习资料第7章 立体几何简单几何体的外接球与内切球问题简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，重在考查直观想象和逻辑推理两个数学核心素养简单几何体的外接球问题(2020·栖霞模拟)已知p，a，b，c，d是球o的球面上的五个点，四边形abcd为梯形，adbc，abcdad2，bcpa4，pa平面abcd，则球o的体积为()a bc16d16a题目解析：取bc的中点e，连接ae，de，bd.因为adbc且adbcecbe，所以四边形adce，四边形adeb均为平行四边形所以aecd，abde.又cdabbc，所以aedebeec.所以e为四边形abcd

2、的外接圆圆心已知o为外接球的球心，连接oa，oe.由球的性质可知oe平面abcd.作ofpa，垂足为f，所以四边形aeof为矩形，ofae2.设afx，opoar，则4(4x)24x2，解得x2.所以r2.所以球o的体积vr3.1设a，b，c，d是同一个半径为4的球的球面上四点， abc为等边三角形且其面积为9，则三棱锥dabc体积的最大值为()a12b18 c24d54b题目解析：设abc的边长为a，则sabca·asin 60°9，解得a6(负值舍去)abc的外接圆半径r满足2r，得r2，球心到平面abc的距离为2.所以点d到平面abc的最大距离为246，所以三棱锥da

3、bc体积的最大值为×9×618.故选b.2(2020·石家庄3月质检)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pb底面abcd，o为对角线ac与bd的交点若pb1，apb，则三棱锥paob的外接球的体积是_题目解析：因为底面abcd为菱形，o为对角线ac与bd的交点，所以bdac.又pb底面abcd，所以pbac.因为bdpbb，所以ac平面pbd，所以acpo，所以pao为直角三角形又pba是直角三角形，所以公共斜边pa的中点即为球心因为pb1，apb，所以pa22r(r为三棱锥paob外接球的半径)，所以r1，故三棱锥paob的外接球的体积是×

4、;13.简单几何体的内切球问题在一个圆锥内有一个半径为r的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切若该圆锥体积的最小值为，则r()a1 b c2d2b题目解析：几何体的轴截面如图所示设圆锥的底面圆心为o，半径为r，高为h，则oah，rh·r，解得r2.所以圆锥体积vr2h××hr2×.令f(h)r2×(h>r)，则f(h)r2×.由f(h)>0，得h>r；由f(h)<0，得r<h<r.所以f(h)在(r，)上单调递增，在(r，r)上单调递减故f(h)在hr时取得最小值此时vminr2××r，解得r.故选b.1在封闭的直三棱柱abca1b1c1内有一个体积为v的球若abbc，ab6，bc8，aa13，则v的最大值是()a4 b c6 db题目解析：易知ac10.设abc的内切圆的半径为r，则×6×8×(6810)·r，所以r2.因为2r4>3，所以当球与三棱柱的上、下底面相切时，体积最大，最大球的直径2r3，则r，此时球的体积vr3.故选b.2将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为()a b cd2a题目解