2022版新教材高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第3节统计模型学案含解析新人教B版

1、高考复习资料第3节统计模型一、教材概念·结论·性质重视1线性相关(1)散点图一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示.序号i123n变量xx1x2x3xn变量yy1y2y3yn则在平面直角坐标系xoy中描出点(xi，yi)，i1,2,3，n，就可以得到这n对数据的散点图(2)线性相关如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关(3)正相关和负相关已知x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称

2、这两个变量负相关相关关系与函数关系的区别与联系(1)相同点：两者均是指两个变量的关系(2)不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2回归直线方程(1)一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i1,2,3，n.任意给定一个一次函数ybxa，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值ibxia，如果一次函数x能使残差平方即和(y11)2(y22)2(ynn)2 (yii)2取得最小值，则x称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法

3、其中，回归系数，.(x1x2xn)i；(y1y2yn)i.3回归直线方程：x的性质(1)回归直线一定过点(，)(2)回归系数的实际意义：是回归方程的斜率；当x增大一个单位时，增大个单位(1)回归直线方程不一定都有实际意义回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义(2)根据回归直线方程进行预报，得到的仅是一个估计值，而不一定是真实发生的值(3)回归直线一定过样本点的中心4相关系数(1)定义：统计学里一般用r来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)(2)性质|r|1，且y与x正相关的充要条件是r0，

4、y与x负相关的充要条件是r0；|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值；|r|1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上5非线性回归方程如果具有相关关系的两个变量x，y不是线性相关关系，那么称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程)62×2列联表(1)定义：如果随机事件a与b的样本数据整理成如下的表格形式.a总计bababcdcd总计acbdabcd因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通

5、常称为2×2列联表(2)2计算公式：2，其中nabcd.根据2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度若2的值越大，则两个分类变量有关系的把握越大7独立性检验任意给定一个(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件p(2k)的数k(称为显著性水平对应的分位数)若2k成立，就称在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为a与b不独立(也称为a与b有关)；或说有1的把握认为a与b有关若2k成立，就称不能得到前述结论这一过程通常称为独立性检验二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)“名师出高徒”可以解释为教

6、师的教学水平与学生的水平成正相关关系( )(2)通过回归直线方程x可以估计预报变量的取值和变化趋势( )(3)回归直线方程x中，若<0，则变量x和y负相关( × )(4)因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验( × )2根据如下样本数据得到的回归直线方程为x，则()x345678y4.02.50.50.52.03.0a.0，0 b.0，0c.0，0 d.0，0b题目解析：画出散点图，知0，0.3甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关系数r分别如下表：甲乙丙丁r0.980.780

7、.500.85建立的回归模型拟合效果最好的是_a题目解析：r越大，表示回归模型的拟合效果越好4高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：优秀及格总计甲班113445乙班83745总计197190则2的值约为_a题目解析：根据列联表中的数据，可得 20.600.故选a.5若变量y与x的非线性回归方程是21，则当的值为2时，x的估计值为_题目解析：由212，得x，即x的估计值为.考点1相关关系的判断基础性1. (多选题)下列变量之间的关系是相关关系的是()a二次函数yax2bxc中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式b24acb光照时间和

8、果树亩产量c降雪量和交通事故发生率d每亩田施肥量和粮食亩产量bcd题目解析：在a中，若b确定，则a，b，c都是常数，b24ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以b，c，d是相关关系2以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：房屋面积x/m211511080135105销售价格y/万元49.643.238.858.444(1)画出数据对应的散点图(2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系如果有相关关系，是正相关还是

9、负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有相关关系，并且是正相关两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验，借助积累的经验进行分析判断(2)通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断考点2一元线性回归模型及其应用应用性考向1线性回归分析假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知90，140.8，iyi112.3，8.9，1.4.(1)计算y与x之间的相关系数(精确到0.001)，并求出回归直线方程；(2)

10、根据回归直线方程，预测假设使用年限为10年时，维修费用约是多少万元？解：(1)因为4，5.iyi5112.35×4×512.3，52905×4210，52140.812515.8，所以r0.987.又1.23，51.23×40.08.所以回归直线方程为1.23x0.08.(2)当x10时，1.23×100.0812.38(万元)，即假设使用10年时，维修费用约为 12.38万元考向2相关系数根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数据的散点图如图所示(1)依据数据的散点图可以看

11、出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？附：相关系数公式r，参考数据：0.55，0.95.回归直线方程x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解：(1)由已知数据可得5，4.所以(xi)(yi)(3)×(1)(1)×00×01×03×16，2，所以相关系数r0.95.因为r0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系(2)0.3.那么45×0.3

12、2.5.所以回归直线方程为0.3x2.5.当x12时，0.3×122.56.1，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克考向3非线性回归分析(2020·南平质检)千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报、电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实此时此刻，5g的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革“5g领先”一方面是源于我国顶层设计的宏观布局，另一方面则来自政府高度重

13、视、企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势某科技创新公司基于领先技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司的5g经济收入在短期内逐月攀升业内预测，该创新公司在第1个月至第7个月的5g经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表：时间(月份)1234567收入(百万元)611213466101196根据以上数据绘制如下散点图(1)为了更充分运用大数据、人工智能、5g等技术，公司需要派出员工实地检测产品性能和使用状况公司领导要从报名的五名科技人员a，b，c，d，e中随机抽取3个人前往，则a，b同时被抽到的概率为多少？(2)根据散点图判断，yaxb与yc

14、83;dx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为5g经济收入y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程(3)请你预测该公司8月份的5g经济收入参考数据：yilg yixiyixivi100.45100.5443.510.782 53550.122.823.47vlg y，vilg yi.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，vi)(i1,2,3，n)，其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解：(1)从报名的科技人员a，b，c，d，e中随机抽取3个人，则所有的情况为a，b，c，a，b，d，a，b

15、，e，a，c，d，a，c，e，a，d，e，b，c，d，b，c，e，b，d，e，c，d，e，共10种记“a，b同时被抽到”为事件q，则事件q包含的样本点为a，b，c，a，b，d，a，b，e，共3个，故p(q).(2)根据散点图判断，yc·dx适宜作为5g经济收入y关于月份x的回归方程类型由yc·dx两边同时取常用对数得lg ylg(c·dx)lg cxlg d.设lg yv，所以vlg cxlg d.因为×(1234567)4，所以vilg yi×10.781.54，x12223242526272140，所以lg 0.25.把样本中心(4,1.5

16、4)的坐标代入lg lg ·x，得1.54lg 0.25×4，所以lg 0.54，所以0.540.25x，所以lg 0.540.25x，所以y关于x的回归方程为100.540.25x3.47×100.25x.(3)当x8时，100.540.25x3.47×100.25×8347，所以预测8月份的5g经济收入为347百万元非线性回归分析的步骤非线性回归问题有时并不给出回归公式这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回

17、归分析问题，使之得到解决其一般步骤如下：(2020·广州一模)某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y(个)612254995对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值xix (ln yi) (xi·ln yi)155515.9454.75(1)根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为yeabx(其中e为自然对数的底数)，求实数a，b的值(精确到0.1)(2)根据某项指标测定，若日产卵数在区间(e6，e8)上的时段为优质产卵期利用(1)的结论，估计在第6天到第10天中任取2天

18、，其中恰有1天为优质产卵期的概率附：对于一组数据(v1，1)，(v2，2)，(vn，n)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，·.解：(1)因为yeabx，两边取自然对数，得ln yabx.令mx，nln y，得nabm. 因为0.693，所以b0.7.因为0.7×31.088，所以a1.1，即a1.1，b0.7.(2)根据(1)得ye1.10.7x.由e6e1.10.7xe8，得7x.所以在第6天到第10天中，第8,9天为优质产卵期从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,1

19、0)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共10种其中恰有1天为优质产卵期的有(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,10)，(9,10)，共6种设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为a，则p(a).所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为.在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行在求r时，通常采用分步计算的方法，r越大，相关性越强考点3列联表与独立性检验综合性某省进行高中新课程改革已经四年了，为了了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系？解： (1)2×2列联表如下所示.赞同不赞同总计老教师101020青年教师24630总计341650(2)由公式得24.9636.6