2022版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析新人教A版

1、高考复习资料第四节直线与圆、圆与圆的位置关系一、教材概念·结论·性质重现1直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断d<r相交；dr相切；d>r相离(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择2圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成

2、方程组的解的情况相离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|<d<r1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含(2)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条内切：1条相交：2条外切：3条外离：4条3常用结论(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程(2)圆的切线方程常用结论过圆x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.二、基本技能·思

3、想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程(×)(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()2已知直线ymx与圆x2y24x20相切，则m的值为()a± b± c± d±1d题目解析：由x2y2

4、4x20得圆的标准方程为(x2)2y22，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r.又直线ymx与圆x2y24x20相切，则圆心到直线的距离d，解得m±1.3若过点a(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()a(，) b，c dd题目解析：数形结合可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1,0)与直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k.4若直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于a，b两点，则|ab|_.题目解析：由x2y22x4y0得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r.又圆心(1,

5、2)到直线3xy60的距离为d.由r2d2，得|ab|210，即|ab|.5圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_2题目解析：由得两圆公共弦所在直线方程为xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.考点1直线和圆的位置关系基础性1直线xy20与圆x2(y1)24的位置关系是()a相交 b相切 c相离 d不确定a题目解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线xy20的距离为d<2，所以直线与圆相交2(2020·泰安市高三三模)已知抛物线c：x24y的准线恰好与圆m：(x3)2(y4)2r2(r>0)相切，则

6、r()a3 b4 c5 d6c题目解析：抛物线c：x24y的准线方程为y1，圆m：(x3)2(y4)2r2(r>0)的圆心为(3,4)因为准线恰好与圆m相切，所以圆心到准线的距离为r|41|5.3若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()a3，1 b1,3c3,1 d(，31，)c题目解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d.由直线与圆有公共点可得，即|a1|2，解得3a1.所以实数a的取值范围是3,1判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点

7、在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题考点2圆与圆的位置关系综合性(1)圆c1：x2y22y0与c2：x2y22x60的位置关系为()a外离 b外切 c相交 d内切d题目解析：圆c1：x2y22y0的圆心为c1(0,1)，半径为r11.圆c2：x2y22x60的圆心为c2(，0)，半径为r23，所以|c1c2|2.又r2r12，所以|c1c2|r2r12，所以圆c1与c2内切(2)已知圆c1：x2y22x6y10，圆c2：x2y210x12y450.求证：圆c1和圆c2相交；求圆c1和圆c2的公共弦所在直线的方程和公共弦长证明：由题意得，圆c1

8、化为标准方程为(x1)2(y3)211，圆c2化为标准方程为(x5)2(y6)216，则圆c1的圆心c1(1,3)，半径r1，圆c2的圆心c2(5,6)，半径r24.两圆圆心距d|c1c2|5，r1r24.因为|r1r2|4，所以|r1r2|<d<r1r2，所以圆c1和c2相交解：将圆c1和圆c2的方程相减，得4x3y230，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心c2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为22.(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法重视两圆内切的情况，作图观察(2)两圆相交

9、时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1若圆x2y24x4y10与圆x2y22x130相交于p，q两点，则直线pq的方程为_x2y60题目解析：两个圆的方程两端相减，可得2x4y120，即x2y60.2如果圆c：x2y22ax2ay2a240与圆o：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_(2，0)(0,2)题目解析：圆c的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<<22，所以0<|a|<2.所以a(2，0)

10、(0,2)考点3直线与圆的综合问题综合性考向1圆的弦长问题(1)(2020·荆州三模)已知直线l过点(2，1)，则“直线l的斜率为”是“直线l被圆c：(x1)2(y3)24截得的弦长为2”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件a题目解析：直线l被圆c：(x1)2(y3)24截得的弦长为2圆心(1，3)到直线l的距离为1.当直线斜率不存在时，显然符合要求；当直线斜率存在时，设斜率为k，则l：kxy2k10，由1得(k2)2k21，解得k，因此直线l被圆c：(x1)2(y3)24截得的弦长为2k或斜率不存在故选a(2)直线xy20分别与x轴、y轴交于a，b

11、两点，点p在圆(x2)2y22上，则abp面积的取值范围是()a2,6 b4,8c,3 d2,3a题目解析：圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点p到直线的距离d1，3根据直线的方程可知a，b两点的坐标分别为(2,0)，(0，2)，所以|ab|2，所以abp的面积s|ab|d1d1.因为d1，3，所以s2,6，即abp面积的取值范围是2,6求弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.考向2圆的切线问题过点p(1，2)作圆c：(x1)2y21的两

12、条切线，切点分别为a，b，则ab所在直线的方程为()ay by cy dyb题目解析：圆(x1)2y21的圆心为c(1,0)，半径为1，以|pc|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21.将两圆的方程相减得ab所在直线的方程为2y10，即y.(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解1(2020·洛阳市高三三模)已知圆c：(xa)2y24(a2)与直线xy220相切，则圆c与直线xy40相交所得弦长为

13、()a1 b c2 d2d题目解析：圆心到直线xy220的距离d1.因为圆c：(xa)2y24(a2)与直线xy220相切，所以d1r2，解得a2或a24.因为a2，所以a2.所以(x2)2y24.所以圆心到直线xy40的距离为d2，所以圆c与直线xy40相交所得弦长为l22.故选d2(2020·长春市高三三模)已知圆e的圆心在y轴上，且与圆x2y22x0的公共弦所在直线的方程为xy0，则圆e的方程为()ax2(y)22 bx2(y)22cx2(y)23 dx2(y)23c题目解析：两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0，a)，半径为r.又圆x2y22x0的圆心为(1,

14、0)，半径为1，故×1，解得a.故所求圆心为(0，)点(1,0)到直线xy0的距离为，所以直线xy0截得x2y22x0所成弦长为2，圆心(0，)到直线xy0的距离为，所以直线xy0截圆所得弦长为2，解得r.故圆心坐标为(0，)，半径为.故选c3已知过点p(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线xay10平行，则a_.2题目解析：因为点p在圆(x1)2y25上，所以过点p(2,2)与圆(x1)2y25相切的切线方程的斜率为，所以切线方程为y2(x2)，即x2y60.由直线x2y60与直线xay10平行，得a2，即a2.4过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦

15、的长为_2题目解析：设p(3,1)，圆心c(2,2)，则|pc|，半径r2.由题意，知最短的弦过点p(3,1)，且与pc垂直，所以最短弦长为22.已知圆c的圆心在直线xy0上，圆c与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，求圆c的方程四字程序读想算思求圆c的标准方程或一般方程如何求圆的方程？1.圆的标准方程是什么？2圆的一般方程是什么？数形结合的思想方法1.圆c的圆心在直线上；2圆c与直线相切；3圆c在直线上截得的弦长为根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解1.(xa)2(yb)2r2；2x2y2dxeyf0借助于圆的几何性质求解思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心

16、由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程解：因为所求圆的圆心在直线xy0上，所以设所求圆的圆心为(a，a)又因为所求圆与直线xy0相切，所以半径r|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，所以d2r2，即2a2.解得a1.所以圆c的方程为(x1)2(y1)22.思路参考：设出圆的标准方程利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，所以r2，即2r2(ab3)23.因为所求圆与直线xy0相切，所以(ab)22r2.又因为圆心在直线xy0上，所以ab0.联立，解得故圆c的方程为(x1)2(y1)22.思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解解：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，则圆心为，半径r.因为圆心在直线xy0上，所以0，即de0.又因为圆c与直线xy0相切，所以.即(de)22(d2e24f)，所以d2e22de8f0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d2r2，所以(de6)2122(d2e24f)联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.1本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，借助于待定系数法求解2基于课程标准，解答本题需要掌握