2022版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第2课时导数与函数的极值最值学案含解析新人教B版

1、高考复习资料第2课时导数与函数的极值、最值一、教材概念·结论·性质重现1函数的极值与导数条件函数f(x)在x0处可导，且f(x0)0对于x0左侧附近的任意x，都有f(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f(x)<0对于x0左侧附近的任意x，都有f(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f(x)>0图像形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定(2)对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充

2、分条件2函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(2)若函数f(x)在区间a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值；若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，

3、则相应的极值点一定是函数的最值点(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)函数的极大值不一定比极小值大( )(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件( × )(3)函数的极大值一定是函数的最大值( × )(4)开区间上的单调连续函数无最值( )2(多选题)函数yf(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是()a(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间b(3,5)为函数yf(x)的单调递减

4、区间c函数yf(x)在x0处取得极大值d函数yf(x)在x5处取得极小值abd题目解析：由函数yf(x)的导函数的图像可知，当x<1或3<x<5时，f(x)<0，yf(x)单调递减；当x>5或1<x<3时，f(x)>0，yf(x)单调递增，所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3,5)，单调递增区间为(1,3)，(5，)函数yf(x)在x1,5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项c错误故选abd.3函数f(x)2xxln x的极大值是()abcede2c题目解析：f(x)2(ln x1)1ln x令f(x)0，得xe.当0<x&

5、lt;e时，f(x)>0；当x>e时，f(x)<0.所以xe时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.4函数f(x)2x39x22在4,2上的最大值和最小值分别是()a25，2 b50,14c50，2 d50，14c题目解析：因为f(x)2x39x22，所以f(x)6x218x.当x4，3)或x(0,2时，f(x)>0，f(x)为增函数当x(3,0)时，f(x)<0，f(x)为减函数由f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，故函数f(x)2x39x22在4,2上的最大值和最小值分别是50，2.故选c.5函数f(x)2x32x2在区间1,2上的

6、最大值是_8题目解析：f(x)6x24x2x(3x2)由f(x)0，得x0或x.因为f(1)4，f(0)0，f ，f(2)8，所以最大值为8.考点1利用导数求函数的极值综合性考向1根据函数的图像判断函数的极值(多选题)已知函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则()a函数f(x)有极大值f(2)b函数f(x)有极大值f(2)c函数f(x)有极小值f(2)d函数f(x)有极小值f(2)bd题目解析：由题图可知，当x<2时，f(x)>0；当2<x<1时，f(x)<0；当1<x<2时，f(x)<0；当x&g

7、t;2时，f(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值根据函数的图像判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型考向2已知函数题目解析式求极值已知函数f(x)ln xax(ar)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解：(1)当a时，f(x)ln xx，定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得x2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(2)ln 21，无极小

8、值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)>0在(0，)上恒成立，即函数f(x)在(0，)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a>0，x时，f(x)>0，x时，f(x)<0，故函数f(x)在x处有极大值综上可知，当a0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数f(x)有一个极大值点，且为x.求函数极值的一般步骤(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数(2)求f(x)0的根(3)判断在f(x)0的根的左、右两侧f(x)的符号，确定极值点(4)求出函数f(x)的极值考向3已知函数的极值求参数设函数f(x)a

9、x2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解：(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex，f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a>，则当x时，f(x)<0；当x(2，)时，f(x)>0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x2<0，ax1x1<0，所以f(x)>0.所以2不是f(

10、x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.已知函数极值点或极值求参数的两个关键(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负1(多选题)定义在区间上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则()a函数f(x)在区间(0,4)上单调递增b函数f(x)在区间上单调递减c函数f(x)在x1处取得极大值d函数f(x)在x0处取得极小值abd题目解析：根据导函数图像可知，f(x)在区间上，f(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f(x)0，

11、f(x)单调递增所以f(x)在x0处取得极小值，没有极大值所以a，b，d选项正确，c选项错误故选abd.2(2020·青岛一模)已知函数f(x)(e2.718为自然对数的底数)若f(x)的零点为，极值点为，则()a1b0c1d2c题目解析：当x0时，f(x)3x9为增函数，无极值令f(x)0，即3x90，解得x2，即函数f(x)的一个零点为2；当x<0时，f(x)xex<0，无零点，f(x)exxex(1x)ex，则当1<x<0时，f(x)>0.当x<1时，f(x)<0，所以当x1时，函数f(x)取得极小值综上可知，2(1)1.故选c.3函数

12、f(x)的极小值为_题目解析：f(x).令f(x)<0，得x<2或x>1；令f(x)>0，得2<x<1.所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2，1)上单调递增，所以f(x)极小值f(2).考点2利用导数求函数的最值应用性(2020·北京卷)已知函数f(x)12x2.(1)求曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t)，求s(t)的最小值解：(1)因为f(x)12x2，所以f(x)2x.设切点为(x0,12x)，则2x02，即x01，所以切点为(1,11)由点斜

13、式可得切线方程为y112(x1)，即2xy130.(2)显然t0，因为yf(x)在点(t,12t2)处的切线方程为y(12t2)2t(xt)，即y2txt212.令x0，得yt212；令y0，得x.所以s(t)×(t212)·，t0，显然为偶函数只需考察t0即可(t<0时，结果一样)，则s(t)，所以s(t).由s(t)>0，得t>2；由s(t)<0，得0<t<2.所以s(t)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以t2时，s(t)取得极小值，也是最小值为s(2)32.综上所述，当t±2时，s(t)min32.求函数f

14、(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在区间(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值已知k，函数f(x)(x1)exkx2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在0，k上的最大值解：(1)由题意得f(x)ex(x1)ex2kxx(ex2k)因为k，所以12k2.令f(x)0，所以或解得xln 2k或x0.所以函数f(x)的单调递增区间为(ln 2k，)，(，0)令f(x)0，所以或解得0xln 2k.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，l

15、n 2k)综上，函数f(x)的单调递增区间为(ln 2k，)，(，0)，单调递减区间为(0，ln 2k)(2)令(k)kln 2k，k，(k)10.所以(k)在上是减函数所以(1)(k).所以1ln 2(k)k，即0ln 2kk.所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，ln 2k)ln 2k(ln 2k，k)f(x)0f(x)极小值f(0)1，f(k)f(0)(k1)ekk3f(0)(k1)ekk31(k1)ek(k31)(k1)ek(k1)(k2k1)(k1)ek(k2k1)因为k，所以k10.对任意的k，yek的图象恒在直线yk2k1的下方，所以ek(k2k1)0.所以f(k)

16、f(0)0，即f(k)f(0)所以函数f(x)在0，k上的最大值f(k)(k1)ekk3.考点3极值与最值的综合应用综合性(2020·山东师范大学附中高三质评)已知函数f(x)x2eax1bln xax(a，br)(1)若b0，曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y2x平行，求a的值；(2)若b2，且函数f(x)的值域为2，)，求a的最小值解：(1)当b0时，f(x)x2eax1ax，x>0，f(x)xeax1(2ax)a.由f(1)ea1(2a)a2，得ea1(2a)(a2)0，即(ea11)(2a)0，解得a1或a2.当a1时，f(1)e012，此时直线y2x恰为切

17、线，舍去所以a2.(2)当b2时，f(x)x2eax12ln xax，x>0.设tx2eax1(t>0)，则ln t2ln xax1，故函数f(x)可化为g(t)tln t1(t>0)由g(t)1，可得g(t)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)，所以g(t)的最小值为g(1)1ln 112.此时，t1，函数f(x)的值域为2，)问题转化为：当t1时，ln t2ln xax1有解，即ln 12ln xax10，得a.设h(x)，x>0，则h(x)，故h(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)，所以h(x)的最小值为h()，故a的最小值为.求解函

18、数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的题目解析式含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值1(2021·福建三校联考)若方程8xx26ln xm仅有一个解，则实数m的取值范围为()a(，7)b(156ln 3，)c(1261n 3，)d(，7)(156ln 3，)d题目解析：方程8xx26ln xm仅有一个解等价于函数m(x)x28x6ln xm(x>0)的图像与x轴有且只有一个交点对函数m(x)求导得m(x)2x8.当x(0,1)时，m(x)>0，m(x)单调递增；当x(1,3)