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文档简介
1、 平面向量的数量积平面向量的数量积 1 1、向量的夹角、向量的夹角ababOAB18000或30 当当 时时,则称则称a与与b互相互相垂直垂直,记作,记作abb. .210当当 时,则称时,则称a与与b同向同向. .020当当 时,则称时,则称a与与b反向反向. .注:注:40 在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的非零向量非零向量 a, b, a, b, 在空间任取一点在空间任取一点OO,作,作OA= OA= aOB=b OB=b 则则角角AOB= AOB= 叫做向量叫做向量a与与b b的夹角。的夹角。 2 2、 向量的数量积定义向量的数量积定义
2、cosbaba 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ,它们的夹角是,它们的夹角是 , 则数量则数量 叫叫 与与 的的数量积数量积, 记作记作 即有即有ababbacos ba0注:注:1)零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0 ,即即00a2)、符号符号“ ” 在向量运算中不是乘号,既不能省略在向量运算中不是乘号,既不能省略 也不能用也不能用“ ”代替。代替。3)、两个向量的数量积是一个数量。两个向量的数量积是一个数量。 3 3、向量数量积的几何意义:、向量数量积的几何意义:P P119 119 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方的方向上的投影向上的投影
3、 的乘积。的乘积。baaba| acosb说明:这个投影的值可正可负也可以为零,所以说明:这个投影的值可正可负也可以为零,所以 向量的数量积的结果是一个实数。向量的数量积的结果是一个实数。2、数量积的几何意义:数量积的几何意义:cos|b3、数量积的物理意义:、数量积的物理意义::,可用公式计算功所做的那么力的作用下产生位移如果一个物体在力WFsFFScos|SFSFWabBAOcosbabacosFabbacosabba.30)3()2( ,|)1(5|4|0的数量积与时,分别求的夹角为与,当,例题:已知bababababa 310)3(0 ,22020;,);(;反向:同向: 4 4 、数
4、量积的性质、数量积的性质cosaaeea(1)0baba(2)aaaaaa或2(4)设设a,ba,b都是非零向量都是非零向量, e, e是与是与b b方向相同的方向相同的单位向量,单位向量, 是是a a与与e e的夹角,则:的夹角,则:(3)当当 同向时,同向时, ;ba与|baba 当当 反向时,反向时, ;ba与|baba(5)|cosbaba(6)|baba 5 5、 数量积的运算律数量积的运算律)()()(bababa(1)交换律)(abba(2)分配律)()(cabacba(3)想一想:向量的数量积满足结合律吗?想一想:向量的数量积满足结合律吗?6、反馈练习:、反馈练习:判断下列命题
5、是否正确:判断下列命题是否正确: (1)00 a(3)(5)若)若 ,则对于任一非零,则对于任一非零 有有0ab0 ba(4)00 a(2)BAAB 0|baba(6)若)若 ,则,则 至少有一个为至少有一个为0 baba、(7)对于任意向量)对于任意向量 都有都有cba 、)()(cbacba(8) 是两个单位向量,则是两个单位向量,则ba与22ba0(9)若)若 ,则,则0, ,ccbcaba 7 7、 小结:小结:通过学习,要求同学们掌握平通过学习,要求同学们掌握平面向量的数量积的定义、重要面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题解决相
6、关的问题8 8、 练习与作业:练习与作业:课本:课本:P121 练习练习T1、2、3作业:作业: P121 习题习题 2 , 3预习预习P120121的内容,并做课后的练习。的内容,并做课后的练习。.,.的形状特征试判断四边形且中已知平面四边形思考题:ABCDaddccbbadDAcCDbBCaABABCD1 1 、数量积的性质、数量积的性质cosaaeea(1)0baba(2)aaaaaa或2(4)设设a,ba,b都是非零向量都是非零向量, e, e是与是与b b方向相同的方向相同的单位向量,单位向量, 是是a a与与e e的夹角,则:的夹角,则:(3)当当 同向时,同向时, ;ba与|ba
7、ba 当当 反向时,反向时, ;ba与|baba(5)|cosbaba(6)|baba第二课时 2 2、 数量积的运算律数量积的运算律)()()(bababa(1)交换律)(abba(2)分配律)()(cabacba(3)向量的数量积不满足结合律。向量的数量积不满足结合律。3、反馈练习:、反馈练习:判断下列命题是否正确:判断下列命题是否正确: (1)00 a(3)(5)若)若 ,则对于任一非零,则对于任一非零 有有0ab0 ba00 a(2)|baba(6)若)若 ,则,则 至少有一个为至少有一个为0 baba、(7)对于任意向量)对于任意向量 都有都有cba 、)()(cbacba(8) 是两个单位向量,则是两个单位向量,则ba与22ba0(9)若)若 ,则,则0, ,ccbcaba 4 4、典型例题:、典型例题:例例2:课本:课本:P120 例例2互相垂直与为何值时,不共线,当且仅当与、时,分别求的夹角是与、,、,、,当,:若例bkabkakbabababababa)460)3)2/)16|3|10)23()2(604|3|30babababa时,求是的夹角与,:若例 的夹角与垂直,求与垂直与且是非零向量思考题:babababababa274,573,b
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