湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试数学理

1、第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，全集，则（ ）A B C D2.已知为虚数单位，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）A B C D3.已知，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数 B是奇函数C是偶函数 D是奇函数4. 过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（ ）A B2 C D5.现有4种不同的颜色为我校校训四个主题词（如图）涂色，则相邻的词语涂色不同的概率为（ ）A B C D6.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成

2、，它们的圆心分别是，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设，与的函数关系为，则的大致图象是（ ）7.执行如图所示的程序，若，则输出的值是（ ）A3 B4 C5 D68.设，且，则（ ）A B C D9.不等式组的解集记为，有下面四个命题：；.其中的真命题是（ ）A B C D10.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）A2 B C D11.已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D12.如图，网格纸上

3、小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中，含项的系数为 .14.在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；第四个人说：“我是老实人”.请判断一下，第四个人是老实人吗？ .（请用“是”或“否”作答）1

4、5.已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为 .16.在四边形中，则的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设是数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；.评判规则为：

5、若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品（）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等比三角形，过作平面平行于，交于点.（1）求证：；（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.（1）求椭圆的

6、方程；（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，证明：，总有.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是圆的内接四边形，是圆的直径，的延长线与的延长线交于点，过作，垂足为点.（1）证明：是圆的切线；（2）若，求的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（1）若直

7、线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且关于的不等式对恒成立.（1）求实数的最大值；（2）若正实数满足，求的最小值.参考答案CBDAC ACDCC BC13.45 14.是 15.120 16.817.（1）当时，由，得：，两式相减，得：，.当时，则，数列是以为首项，公比为3的等比数列，.（2）由（1）得：，-得：.18（1）因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.（）由题意可知，于是，（）由题意可知的分布列为故.19（1）证：连结，

8、设与相交于点，连接，则为中点，平面，平面平面，为的中点，又是等边三角形，（2）因为，所以，又，所以，又，所以平面，设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，即，设平面的法向量为，由，得，令，得，设平面的法向量为，由，得，令，得，故所求二面角的余弦值是.20（1）设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得，而的周长为，当且仅当过点时，等号成立，所以，即，又离心率为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.设，则，且，所以令，则式可化为.当且仅当，即时，等号成立.所以直线的方程为或.21（1）由已知得，因为函数存在单调增区间，所以方程有解.而恒成立，即有解，所以，又，所以.（2）因为，所以，所以，因为，所以，又对于任意，要证原不等式成立，只要证，只要证，对于任意上恒成立，设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即上是增函数，所以，在上，所以.所以，（当且仅当时上式取等号）设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即在上是增函数，所以在上，所以，即，（当且仅当时上式取等号），综上所述，因为不能同时取等号，所以，在上恒成立，所以，总有成立.22（1）证明：连接，是圆的直径，是圆的切线.（2）是圆的直径，即.，点为的中点，.由割线定理：，且，得.在中，则为的中点.，在中，.的长为.