二次函数知识点总结和题型总结

1、二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1,二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c (a，b，c是常数，a 0)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：a w 0 最高次数为2代数式一定是整式2.二次函数y ax2 bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.例题：例1、已知函数y=(m 1)xm2 +1+5x3是二次函数，求m的值。练习、若函数y=(m2+2m- 7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。二、二次函数的基本形式21 .二次函数基本形式：V ax的性

2、质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小 值0 .a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大 值0 .2 . y ax2 c的性质:上加下减。a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小 值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大 值c ._

3、2 ,3. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0问卜h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .24. y a x h k的性质:a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小 值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大 值

4、k .二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式y=a（x-h）2+k,则最值为k;如果解析式为一般式 c4ac-b2y=ax +bx+c 取值为一"）1 .抛物线y=2x2+4x+m2i m经过坐标原点，则 m的值为。2 .抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1, 3）,则b=, c=.3 .抛物线y=x2 + 3x的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4 .若抛物线y=ax2 6x经过点(2 , 0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为()A. ,13 B. .10 C.,15D. .145 .若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线 y =

5、ax2+bx + c()A.开口向上，对称轴是y轴 B. 开口向下，对称轴是y轴C.开口向下，对称轴平行于y轴D.开口向上，对称轴平行于y轴6 .已知二次函数y=mx+(m 1)x+m 1有最小值为0,则m=。三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y ax h2 k,确定其顶点坐标h , k ； 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h,k处，具体平移方法方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y ax2 bx c变成yax2 bxc m (或 y ax2bx cm)y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移 m个单位，y a

6、x2 bx c变成ya(x m)2 b(x m) c (或y a(xm)2b(x m) c)函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：1 .抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。2 .抛物线y=2x212x+25的开口方向是，顶点坐标是3 .通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1) y=2 x2 2x+1 ;(2) y= 3x2+8x2;(3) y= 4 x2+x44、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得 图象的解析式是y=x当x 2a时,y随x的增大而增大；当x那时,y随x的增 3x+5,试求b、c的值。5、把抛物线y=2x2+4x+1沿

7、坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位, 问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。四、二次函数y ax h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者222通过配方可以得到前者，即y a x2 竺c上，其中h , k丝c上.2a 4a2a 4a五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k, 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点 画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点

8、0,c、以及0,c关于 对称轴对称的点2h, c、与x轴的交点不，0 , x2, 0 (若与x轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴 的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为xb2a顶点坐木小为非修9时2a少时，2a,y随x的增大而减小；当x2a时,y的增大而增大；当2.当a 0时,y有最小值4aJ支4a抛物线开口向下，对称轴为2b 4ac b2a 4a大而减小；当x包时，y有最大值鲤上 2a4a例题：函数y=a(x h)2的图象与性质1 .填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标

9、y3 x 2 212y _ x 3212 .试说明函数y=2 (x 3)2的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增 减性、最值)。3.二次函数y=a(x h)2的图象如图：已知 析式。1 a = 2 ,。”OC试求该抛物线的解二次函数的增减性1 .二次函数y=3x2 6x+5,当x>1时，y随x的增大而;当x<1时，y 随x的增大而;当x=1时，函数有最 值是。2 .已知函数y=4x2mx+5当x> 2时,y随x的增大而增大；当x< 2时，y 随x的增大而减少；则x=1时,y的值为 o3 .已知二次函数y=x2-(m+1)x+1,当x>1时，y随x的增大而增大

10、，则 m的取 值范围是.4 .已知二次函数 y=-2 x2+3x+2 的图象上有三点 A(x1,y1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x1<x2<x3,贝U y1,y 2,y 3的大小关系为.七、二次函数解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c ( a , b , c为常数，a 0);2 .顶点式：y a(x h)2 k (a, h, k 为常数，a 0);3 .两根式：y a(x x1)(x x?) ( a 0 ,为，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

11、只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0.(1)当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小， 开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大， 开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b 0时， 9 0,

12、即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时， 9 0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时， 9 0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， 9 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b 0时， 20,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时， 20,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则2aab 0,概括的说就是“左同右异”总结：3 .常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0

13、时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴交点的纵 坐标为0; 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.B.a>0,b>0,c=0D.a>0,b<0,c<0A.a>0,b>0,c>0C.a>0,b<0,c=0例题：函数的图象特征与a、b、c的关系1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）

14、B. b> -2aD. c< 04.当b<0是是（）DA. a+b+c> 0C. a-b+c> 0 3.抛物线y=ax2+bx+c中，b = 4a,它的图象如图3,有以下结论：c>0；a+b+c> 0a-b+c> 0b2-4ac<0abc< 0 ；其中正确的为( )A.B.C. D.次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能5.已知二次函数y = ax2+ bx+c,如果a>b>c,且a+ b+c=0,则它的图象可能6.二次函数a + b+cA.4个2a +b,y= ax2+bx+c的图象如图

15、5所示，那么abc, b24ac,四个代数式中，值为正数的有（）B.3 个 C.2 个 D.1 个7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= c (a<c)图象可能是图所示的() xA B C D k8.反比例函数y=-的图象在一、三象限，则二次函数 xy = kx2-k2x-1c的图象大9.反比例函数y= k中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y = kx2+2kx , x的图象大致为图中的()A B CD二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般

16、来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.例题：函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解；1 .已知二次函数的图象经过 A (0, 3)、B (1, 3)、C(1, 1)三点，求该二 次函数的解析式。2 .已知抛物线过 A （1, 0）和B （4,0）两点，交y轴于C点且BO 5,求该二次函数的解析式。2、 已知抛物线的顶点坐标，或抛物线

17、上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a（x h） 2+k求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（ 1， 6） ，且经过点（2，8） ，求该二次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1， 3） ，且经过点 P（ 2， 0）点，求二次函数的解析式。3、 已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a（x x1）（x x2） 。5二次函数的图象经过A（1， 0） ， B（3， 0） ，函数有最小值8，求该二次函数的解析式。九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称y ax2bx c关于x轴对称后，

18、得到的解析式是yax2 bx c;22y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于 y 轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc;ya xh 2k关于原点对称后，得到的解析式是 yax h2k ;4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180° ）yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc;2ay a x h 2 k关于顶点对称后，得到的

19、解析式是 y ax h 2 k .5. 关于点m, n对称2y a x h k关于点 m, n 对称后，得到的斛析式是2 y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y

20、 ax2 bx c当函数值y 0时的特殊 情况.图象与x轴的交点个数：当b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A为，0 , B x2, 0 （% x2）,其中的xi,x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离AB x2b2 4acx1a当0时，图象与x轴只有一个交点;当0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0；2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数,都有y 0 .2 .抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 , c）;3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的

21、交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一 元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴 启两个父点二次三项式的值可 正、可零、可负一元二

22、次方程有两个不相等实 根0抛物线与x轴 只有一个交点二次三项式的值为 非负一元二次方程有两个相等的实 数根0抛物线与x轴 无交点二次三项式的值包 为正F二次方程无实数根.例题：二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)1.如果二次函数y = x2+ 4x+c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=2 .二次函数y = x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3 .抛物线y= 3x2+2x1的图象与x轴交点的个数是()A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4 .如图所示，二次函数y=x2 4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C,则ABC勺面积为(

23、)JA.6 B.4C.3D.1上. $5 .已知抛物线y=5x2+ (m1)x+m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离49A.-2B.12C.24D.48平方等于为49 ,则m的值为()6 .已知抛物线y=x2-2x-8 ,(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求4ABP的面积十一、函数的应用二次函数应用 刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点，它们确定图象现；开口、大小由 a断,c与Y轴来相见,b的符号较特 别，符号与a 相关联；顶点位置先找见， Y 轴作为参考线，左同右异中为 0 ，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴 , 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的 符号最简便， x 轴上数交点， a、 b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。例题：二次函数应用（ 一）经济策略性1. 某商店购进一批单价为 16 元的日用品，