二次函数讲义解析

1、中国教育培训领军品牌学科教师讲义讲义编号：副校长/组长签字：签字日期：学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师课 题二次函数课 型预习课 口同步课 口复习课 习题课课次第一次授课日期及时段2014 年 3 月 8 日 15 ： 00 17 ： 00 p.m. (D )教学目的1、二次函数的实际应用2、建立数学模型解决生活实际问题3、二次函数与中考的命题趋向及解题技巧重难点重点：二次函数的实际应用难点：建立数学模型解决生活实际问题教学内 容【基础知识网络总结与巩固一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y =+ c （a, b, c是常数,工0）的E里需要强调：

2、和一元二次方程类似，二次项系数4工0,而3 c可以为零.一2 .二次函数丁 = /+以+ °的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.是常数，。是二次项系数，人是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：），=冷二的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。1自数，叫做二次函数。这二次函数的定义域是全体实数.。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质4>0向上(0, 0)y轴x>0时，），随X的增大而增大；x<0时，y随 x的增大而减小：x = 0时，y有最小值0.a <0向下(0, 0)y轴x>0时

3、，y随X的增大而减小；x<0时，y随 x的增大而增大：x = 0时，y有最大值0.2. y = & + c的性质：上加下减,a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0, C)y轴x0时，y随x的增大而增大；XV。时，y随x的 增大而减小：x = 0时，y有最小值c.a <0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；xvO时，y随x的 增大而增大；x = 0时，），有最大值c.3. y =的性质：左加右减0。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质4>0向上（力，0）X=hX/?时，y随X的增大而增大;XV，时,y随 x的增大而减小；x = 时，），有最小值0.a<

4、0向下（力，0）X=hx /?时，y随a的增大而减小；x V4时，y随 x的增大而增大；x = 时，），有最大值0.4. y = a(x-h)2 +k 的性质:。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质4>0向上(/?, k)X=hx人时，y随x的增大而增大；XV/?时，y随 x的增大而减小；x = 时，），有最小值k.a<0向下(/?, k)X=hx/?时，y随x的增大而减小；xv，7时，y随 x的增大而增大；x = 时，），有最大值.三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y = d（x+女，确定其顶点坐标（人上）： 保持抛物线=，1的形状不变，将其顶

5、点平移到（a, k）处，具体平移方法如下:y=ax-产心研网上（k0）或下（A0）】 平移身个单位向右仇0）【或左（0） 平移叼个单位向上（Q0）1或下伏0）】平移次I个单位必向上伏0）【或向下（kvO）】平移四个单位 -A y=ax-+k向右（力0）【或左仇0）】 平移&I个单位向右（力0）或左（人。）】平移阳个单位2 .平移规律在原有函数的基础上“分值正右移，负左移：k值正上移，负下移 概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：(Dy = ad+bx + c沿y轴平移:向上(下)平移，"个单位，y = ax2+/?x + c变成y = ax2 +bx + c + m (

6、或 y = ax2 +bx + c- m )y = ax1 +bx + c沿轴平移：向左(右)平移川个单位，y = ax2 + bx + c变成y = a(x +in)2 + h(x + in) + c(或 y = ax 一 m)2 + bx 一 m) + c )四、二次函数y =+A与），= d 的比较从解析式上看，y = a（x-力f+k与），= aF+云+ c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即工 b , 4ac-h2 廿. b 4ac-b2 y = a -v + +,其|人二一一.k =.2a J 4a2a 4a五、二次函数产加+加+ C图象的画法五点绘图法：利用配方法将

7、二次函数），="/+瓜+。化为顶点式' = "*-/?）2+，确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与），轴的交点（0, C）、 以及（0, C）关于对称轴对称的点（2，C）、与x轴的交点（X，0）, （4, 0）（若与x轴没有交点，则取两组关 于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与八轴的交点，与），轴的交点.六、二次函数y = a/+bx + c的性质1 .当4>0时，抛物线开口向上，对称轴为 = -3,顶点坐标为（-二，上士 . 2a2u 4a当x<_L时

8、，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大：当人=-二时，y有最小值 2a2xi2ci4ac-b24a2 .当4V0时，抛物线开口向下，对称轴为1=-2,顶点坐标为蚱忙当x<_L时，），随X的 2a2a 4a ）2a增大而增大：当x>-2时，），随x的增大而减小：当人=-2时，），有最大值位二生. 2a2xi ,4a七、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：y = ax2 +bx + c （a, b , c 为常数，工0）:2 .顶点式：y-a（x-h）1 +k （ a h , k 为常数，4H0）；3 .两根式：丁 ="。-为）。一占）（“h0, % ,公是抛物线与

9、x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或加点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物 线与x轴有交点，即2-4后0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式 可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数。二次函数> =。/+以+。中，。作为二次项系数，显然工0.（1）当”>0时，抛物线开口向上,（2）当<0时，抛物线开口向下,的值越大,的值越小,总结起来，。决定了抛物线开口的大小和方向,。的正负决定开口方向，回的大小决定开口的大小.开口越小，反之。的值越小，开口越大:开口越小，反之。的值越大，开口越

10、大.2 . 一次项系数在二次项系数。确定的前提下，人决定了抛物线的对称轴.在4>0的前提下，当>0时，-2<0,即抛物线的对称轴在轴左侧；当=0时，-2=0,即抛物线的对称轴就是），轴；当/2V0时，-2>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.在“<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当8>0时，-2>0,即抛物线的对称轴在了轴右侧：2ci当 =0时，-3=0,即抛物线的对称轴就是y轴：.当8v0时，- 2 <0，即抛物线对称釉在y轴的左侧.2a总结起来，在。确定的前提下，方决定了抛物线对称轴的位置.c法的符号的判定：对称轴工=一2在），轴左边则。>

11、;0,在），轴的右侧则av0,概括的说就是“左同 2a右异”3 .常数项c当c>0时，抛物线与），轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； （3）当cvO时，抛物线与，轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来，c决定了抛物线与,，轴交点的位置.总之，只要，。都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目 的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1

12、 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式：3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式：4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y = "./ +队+ <:关于x轴对称后，得到的解析式是y = -ax2 -bx-c），=。（-炉+及关于x轴对称后，得到的解析式是尸-。（工-4-；2 .关于），轴对称），="/ +6+。关于）,轴对称后，得到的解析式是y = ,£-bx + c;y

13、 = q（x-力+A关于y轴对称后，得到的解析式是y = Q（x + /y+；3 .关于原点对称V = ax2 +Zn +c关于原点对称后，得到的解析式是y = -cix2 +bx-cx尸。（刀-4+4关于原点对称后，得到的解析式是y = F（x + /?y_k：4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）V = ax2 + bx + c关于顶点对称后，得到的解析式是y = -ax2 -bx + c- xy = （x 力+女关于顶点对称后，得至IJ的解析式是y = «（x /jy+k.5 .关于点（，）对称y = a（x-hy +k关于点（m，对称后，得到的解析式是y = -a

14、（x + h-2m）2 + 2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此同永远不变.求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或 表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称 抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程"2 +队+ C = 0是二次函数y = + bx + C当函数值y = 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当A = -4%?> 0时

15、，图象与A轴交于两点从（.软，0）, B（x2 , 0）（X, *!-,）»其中的 %是一元二次方程a/ +法+ c = 0（。工0）的两根.这两点间的距离A8 =上一引=.当 =（）时，图象与x轴只有一个交点：当AvO时，图象与x轴没有交点.1'当>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0;2,当，<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有yvO.2 .抛物线、="/+6+。的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 , c）；3 .二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程：求二次函数的最大

16、（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式：（3）根据图象的位置判断二次函数 ），=向二+队+ c中a, b, c的符号，或由二次函数中a, ，c的符号判断图象的位置，要数形结合：二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交 点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式以+ c（“HO）本身就是所含字母x的二次函数：下而以“>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：A>0抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A = 0抛

17、物线与X轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A<0抛物线与X轴无 交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.【重难点例题启发与方法总结】考点1：考查二次函数的定义、性质，（有关试题常出现在选择题中），如：已知以A为自变量的二次函数,，=（?-2）/ +/ 一?一2的图像经过原点，则？的值是 例1已知：二次函数为y=x2x+m（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2） m为何值时，顶点在x轴上方（3）若抛物线与丫轴交于A,过A作ABx轴交抛物线于另一点B,当Saaob=4时，求此二次函数的解析式.【分析】（1）用配方法可以达到目的：（2）顶点在

18、x轴的上方，即顶点的纵坐标为正：（3）ABx轴，A, B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值.【解答】（1） L由已知y=x2-x+m中,二次项系数a=l>0,开口向上,114/? 1又：丫=*?-x+m=x2-x+ （）2j +m= （x ） 2+.42411 4m 1对称轴是直线x=2,顶点坐标为（上，上二）.224（2） .顶点在x轴上方，4m 1，顶点的纵坐标大于0,即>041/. m> 4一时，顶点在x轴上方.4（3）令x=0,则y=n】.即抛物线y=x2x+m与y轴交点的坐标是A (0, m). ABx 轴*.B点的纵坐标为m.当 x?x+m=m 时，解得 xi

19、=0, x2=l./.A (0> m) , B (1, m) 2在 RtABAO 中，AB=1, OA= | m | .I.Saaob = OA AB=4. 2，| m | 1=4,m=±82故所求二次函数的解析式为y=x2-x+8或y=x2x8.【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a, b, c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.考点二:综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函 数的图像，(试题类型为选择题)，如：例1 (1)二次函数y = 4/+/M + c的图像如图1,则点用(4£)在()aA.第一

20、象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c (aWO)的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号：当x=l和x=3 时，函数值相等：4a+b=0：当尸-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.考点三：考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过(0,3), (4, 6)两点，对称轴为x = »,求这条抛物线的解析式。 3例1.已知二次函数y=ax

21、9;+bx+c的图象与x轴交于点(-2, 0)、(x“ 0),且与y轴的正半轴的交点在点(0, 2)的下方.下列结论：ab0；2a+c>0：4a+c<0： ®2a-b+l>0,其中正确结论的个数为()A 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例2已知：m, n是方程X26x+5=0的两个实数根,且men,抛物线y=-x?+bx+c的图像经过点A (m, 0), B (0, n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式：(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C, D的坐标和4BCD的面积;(3) P是线

22、段OC上的一点，过点P作PHJ_x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面枳之比为2： 3的两部分，请求出P点的坐标.【分析】(1)解方程求出m, n的值.用待定系数法求出b, c的值.(2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出DMC,梯形BDBO, /kBOC的面积，用割补法可求出4BCD 的面积.32(3) PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：EHJEP,EH=EP.23【解答】(1)解方程X?6x+5=0,得 X=5，X2=l.由 men,有 m=L n=5.所以点A, B的坐标分别为A (1, 0) , B (0, 5).将A(l, 0) , B (0, 5)的坐标分别代

23、入y=-x2+bx+c, + /? + c = 0, .b = -4,得解这个方程组，得c = 5c = 5所以抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.(2)由 y=x?4x+5,令 y=0,得一x?4x+5=0.解这个方程，得占=-5, x2=l.所以点C的坐标为(-5, 0),由顶点坐标公式计算，得点D (2, 9).过D作x轴的垂线交x轴于M,如图所示.127则 Sdmc=X9X (5 2)=.22S h，mdbo=- X2X (9+5) =14, 2I25Sabdc = X 5 X 5= 22一27 25所以 Sabcd =S 榜朽mdbo+Sadmc - Saboc = 14+ = 1

24、5.22(3)设P点的坐标为(a, 0)因为线段BC过B, C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5.那么，PH与直线BC的交点坐标为E (a, a+5) , PH与抛物线y=-x?+4x+5的交点坐标为H (a, -a2- 4a+5).3 由题意，得EH=EP,即23(a2-4a+5) (a+5) = (a+5).23 解这个方程，得=一或a=-5 (舍去).22 EH=：EP,得33(a24a+5) (a+5) = (a+5).22 解这个方程，得2=-二或a=-5 (舍去).332P点的坐标为(一一,0)或(一一，0).23方法总结：1 .数形结合是本章主要的数学思想，通过画图将二次函

25、数直观表示出来，根据函数图象，就能知道函数的开口方 向、顶点坐标、对称轴、变化趋势、与坐标轴的交点、函数的最值等问题。2 .待定系数法是本章重要的解题方法，要能通过三个条件确定二次函数的关系式；灵活根据题中的条件，设出适 合的关系式。3 .建模思想在本章有重要的应用，将实际问题通过设自变量，建立函数关系，转化为二次函数问题，再利用二次 函数的性质解决问题。【重难点关联练习巩固与方法总结】一、二次函数的定义性质1.抛物线y=3x?, y=-3x2, y=1x2+3共有的性质是D.y随x值的增大而增大A.开口向上B.对称轴是y轴C,都有最高点D.a>0,b<0,c<03.将进货单

26、价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范 国内每J降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润则应降价A.20 元B.15 元C.10 元D.5 元4,二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象是，它的顶点坐标是，对称轴是5 .抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m, 0）和（n, 0）,则当x=m+n时，y的值为 r r6 .如图9-31,有一个抛物线形拱桥，其桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平而直角坐 标系中，则此抛物线的函数关系式为.图 9-31二、二次函数图像的平移（中考命题热点）L将二次函

27、数y=3 （x+2）的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数关系式是A.y=3 (x+5) 2-5B.y=3 (x-1) 2-5C.y=3 (x-D 2-3D.y=3 (x+5)4-3 2,开口方向和开口大小与y=3x?相同，顶点在（0, 3）的抛物线的关系式是三、二次函数图像与其他图像的结合（命题热点）L直线y=ax+c与抛物线丫=a*斗（:的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（四、二次函数在实际生活中的应用1.如图9-32,正方形ABCD边长是16 cm, P是AB上任意一点（与A、B不重合），QP_LDP,设AP=x cm, BQ=y cm.试求出y与x之间的函

28、数关系式.P图 9-322某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,根据市.场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500 千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润：（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求丫与x之间的函数关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到5 000元，销售单价应定为多少？3.4ABC是锐角三角形，BC=6,面积为12.点P在AB上，点Q在AC上.如图9-33,正方形PQRS （RS与A在 PQ的异侧）的边长为

29、X,正方形PQRS与aABC的公共部分的面积为y.S1图 9-33（1）当RS落在BC上时，求X：（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式;（3）求公共部分面积的最大值.五、中考再现1 （2011上海）抛物线丫=一G+ 2）2-3的顶点坐标是（）.（A） （2, -3）； （B） （一2, 3）：（C） （2, 3）：（D） （一2, -3）2 （2011湖南永州）由二次函数y=2（工一3+1可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为宜线x=-3C.其最小值为1D.当x<3时，y随x的增大而增大3 （2011广东肇庆）二次函数y= 厂+2*-5有（）A.最大值B.最小值C.

30、最大值D.最小值4、 （2013中考）在二次函数y=-j2+2x+l的图像中,若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(A) x<l (B) x>l (C) x<-l(D) x>-l5、（2013中考）如图，抛物线的顶点为（-2,2）,P与y轴交于点（0.3）A,若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点<2,-2）P ,点A的对应点为则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为（）【课后强化巩固练习与方法总结】一、选择题1 .二次函数y 4X 7的顶点坐标是()A. (2, -11)B. (-2, 7)C. (2, 11)D. (2, -3)2 .把抛物线y =-2

31、/向上平移1个单位，得到的抛物线是()A. y = -2(x + l)2 B. y = -2(x-l)2 C. y = -2x2 + D. y = -2x2-3 ,函数)，=依2一和y=勺(kwO)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()4.已知二次函数y = ad+队+ c(¥0)的图象如图所示,则下列结论：a,b同号;当x = l和工=3时，函数值相等;加+ = 0当)，=一2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个 B.2个 C. 3个D. 4个5 .已知二次函数丁 =。/+法+ c(wO)的顶点坐标(-1, -3.2)及部分图象(如图), 由图象可知关于工的一元二次方程

32、。3+以+。= 0的两个根分别是$ =1.3和石=( )A . 1.3B. -2. 3C. -0. 3D. -3. 36 .已知二次函数丁 =，储+以+。的图象如图所示，则点(比,火)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限77,方程2X一/=二的正根的个数为() xA. 0个B.1个C.2个.3个8 .已知抛物线过点A(2, 0),B(-l, 0),与y轴交于点C,且0C=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x2 -x-2B. y = -x2 +x + 2C. y = x2 一工一2或y = 一/ +x + 2D. y = -x2 一工一2或 y = M+ x + 2二、填空题9 .二次函数丁 = /+以+ 3的对称轴是x = 2,则人=10 .已知抛物线y=-2 （X+3） 2+5,如