平面向量应用举例(29)课件

1、平面向量应用举例用向量的方法研究平面几何用向量的方法研究平面几何平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、

2、长度、夹角都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。可以解决平面几何中的一些问题。问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD ,DBABAD ABCD猜想：猜想：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平

3、方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系

4、，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：形到向量简述：形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别分别与与AC交于交于R 、 T两

5、点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC解：设解：设 则则,A Ba A DbA Rr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR 又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线线，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3

6、111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT练习、证明直径所对的圆周角练习、证明直径所对的圆周角是直角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0 CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC, babaCBAC 2222baba 022 rr即即 ，ACB=900 CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab（1）建立平面几何与向

7、量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：作业：作业：课本课本P125 1,22.2.向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例情境情境1:一个人静止地双手垂挂在单杠上时一个人静止地双手垂挂在单杠上时,手

8、臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系关系?情境情境2：两人一起提一个重物时：两人一起提一个重物时,怎样提它怎样提它最省力最省力?实例一：提重物问题（力的合成与分解）实例一：提重物问题（力的合成与分解） 用两根等长的细绳挂一个物体。绳用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为子的最大拉力为T,物体重量为物体重量为G,分析绳分析绳子受到的拉力大小子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角与两绳子间的夹角的关系？的关系？问题:F1F2FG 建立数学模型建立数学模型:（1） 逐渐增大时，逐渐增大时， |F1|如何变化？如何变化？（2） 为何值时，为何值时， |F1|最小，最小

9、值是多少？最小，最小值是多少？（3） |F1|能等于能等于|G|吗？为什么？吗？为什么？（4）如果绳子的最大承受力恰与重物）如果绳子的最大承受力恰与重物G的的重量相等重量相等 ，在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？CBOAD探求探求|F1|与夹角与夹角之间的关系之间的关系（5）如果绳子的最大承受力为）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 N ， 在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？ 3情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?夹角越小越省力夹角越小越省力两臂的夹角越小两臂的夹角越小,手臂就越省力手臂就越省力回归问题回归问题:情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力