平面向量的数量积及运算律2课时课件

1、 平面向量的数量积平面向量的数量积复习复习:1.:1.数乘的定义数乘的定义2.2.数乘的运算律数乘的运算律 引入引入:我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在力力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量数量积数量积的概念。的概念。 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，作作 ， ,则则 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夹角夹角aOA bOB AOB)1800 ( OABab OABba若若 ，

2、a 与与b 同向同向0 OABba若若 a 与与b 反向反向180 OABab 若若 ，a 与与b 垂直垂直，90 ba 记作记作1.向量的夹角练习练习1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060C2.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 cos|baba 规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a cos|ba 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫

3、做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即注意：注意： (1)两向量的数量积是一个数量，而不是两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定向量，符号由夹角决定(2)a b不能写成不能写成ab (3)向量的数量积与实数积的区别向量的数量积与实数积的区别: 2）对于实数）对于实数a、b、c（b0），若），若a b=b c，则则a=c , 对于向量对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？此式是否仍成立呢？ 1) 对实数对实数a0,若若a b=0，则，则b=0，但对向量，但对向量a0时，若时，若a b=0 , 能不能推出能不能推出b是零向量？是零向量？

4、3）对于实数）对于实数a、b、c，有，有（a b） c=a （b c） 但对于向量但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？来说，此式是否一定成立？ 例例1：1：已已知知 a =1,b =2a =1,b =23 3(1)a/b,求(1)a/b,求a b;(2)a b;(2)= = ,求,求a ba b4 4两况解解：（1 1）由由a a / / /b b，分分种种情情： 当a,b同a,b同向向， a b =2;a b =2; 当a,b反a,b反向向， a b = - 2。a b = - 2。 3 3（2）2） a b =1a b =1 22cos cos = -1= -14 4解：解：ab=

5、|a| |b|cos=54cos120 =54（-1/2）= 10。1. 已知已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹的夹角角=120，求，求ab。2 . 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2练习练习2:2: 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功只有在位移方向上的力做功sFbOBaOA ，作作过点过点B作作1BB1B垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则则 1OB| b | cosOABab 1BOABab )(

6、1B| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab 1B我们得到我们得到ab的的几何意义几何意义：数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方的方向上的投影向上的投影|b|cos的乘积。的乘积。3.3.平面向量的数量积的平面向量的数量积的重要性质重要性质: :ab|a|b|（4）cos=（5）|ab|a|b|（3）当）当a与与b同向时，同向时，ab=|a|b|当当a与与b反向时，反向时，ab=|a| |b|特别地，特别地，aa

7、=|a|2或或|a|=aa 。（2）ab ab=0 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同方向相同的单位向量，的单位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则 （1）ea=ae = |a| cos1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03.若若a0，a b=0,则则b=04.若若a b=0,则则a b中至少有一个为中至少有一个为05.若若a0，a b= b c,则则a=c6.若若a b= a c ,则则bc,当且仅当当且仅当a=0时成立时成立7.对任意向量对任意向量a , b ,c,有有(a b

8、)ca (b c)8.对任一向量对任一向量a,有有a2=|a|2 练习练习3：判断正误：判断正误( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）4、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的运算律 已知向量已知向量 和实数和实数 ,则向量的数量积满足：则向量的数量积满足：, ,a b c （1）a bb a （交换律）（交换律）（2）()()()aba bab （数乘结合律）（数乘结合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）注意：注意：数量积运算不满足结合律消去律数量积运算不满足结合律消去律ab ba （1）交换律：）交换律：证明：证明： 设设 夹角为夹角为 ， ,ab则则| |

9、cosa bab | | cosb aba 所以所以a bb a （2）()()()aba bab 若若0()| | |cosa ba b 证明：证明：()| |cosa ba b ()| | |cosaba b 若若0()| |cos()| |( cos )| |cosa ba ba ba b () | |cos()| | |( cos )| | |cosababa ba b ()abca cb c （3）分析：分析： 12A1B1AOaBbCc()a b ca c b c 12|cos| |cos| |cosa bab coscba 1cosca2coscb（3）()abca cb c 1

10、2ABOA1B1Cabc证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作，作OO Aa A Bb O Ccab（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于OBc,a b 在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，c即即12|cos| |cos| |cosa bab 12| |cos| | |cos| | |cosc a bc ac b ()c a bc a c b 即即()abca cb c 5、平面向量数量积的常用公式、平面向量数量积的常用公式2222)(1 (bbaaba 22)()(2 (bababa 求证：（求证：（1） （2）2222bbaaba 22bababa证明：（证明：

11、（1）2bababaaabaabbb222bbaa（2） bababaabbb22ba baababbaababaa例例2、已知、已知,4,6baab与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （3） bbaa baba32|cosb=2cosa=3解：（解：（3） baba32bbbaaa6226bbaa226cosbbaa224660cos4667223120oaba b已知， 与 的夹角为，求练练习习4 4：）（）（；（）；（）（babababa3232122 ；）；（）（baba 54解：解：3)21(3

12、2120cos1 obaba）（22352323bbaababa ）（）（59422222 baba）（223120cos52bbaao 3427158 79642)(4222 bbaababa）（199642)(5222 bbaababa）（ 例例3 3、已已知知a a = =1 1， b b = = 2 2，且且a a- -b b与与a a垂垂直直，求求a a与与b b的的夹夹角角。解：解：垂垂直直与与aba 0 aba）（02 aba即即122 aaba 的的夹夹角角为为与与设设bababa cos2221 1800oo， 4 4 的夹角为的夹角为与与ba变形：o o已已知知a a =

13、=5 5， b b = =4 4， a a与与b b的的夹夹角角为为6 60 0 ，问问当当k k为为何何值值时时，向向量量k ka a- -b b与与a a+ +2 2b b垂垂直直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 的的形形状状是是，则则中中，）在在（ABCBCABABC 02（ ）A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形D的形状是的形状是，则，则中，中，）在）在（ABCBCABABC 03（ ）C01,120ababtatb(1).与 夹角为，问 取何值时，最小？A A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角三角形钝角三角形D D 不能确定不能确定 本节