第十一章—动量矩定理

1、引言 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和相对基点的转动。 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。1 质点的动量矩()Omm Mvrv 质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量。11.1 质点和质点

2、系的动量矩QAxyzqOAmvQMO(mv)Mz(mv)r 质点动量 mv 在 oxy 平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量。 类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。MO(mv)zMz(mv)11.1 质点和质点系的动量矩1 质点的动量矩质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。2 质点系的动量矩LO=MO(mv)质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。LO=Mz(mv)质点系对某点O

3、的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等于质点系对 该轴的动量矩。LOz= Lz11.1 质点和质点系的动量矩3 平移刚体的动量矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。4 定轴转动刚体的动量矩2()zziiii ii iLMmmvrmr v令 Jzmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量, 于是得zzJL 即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。ziMiriivm11.1 质点和质点系的动量矩rOAvm 例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A的质量为m，

4、并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：)(22JmrJmrJmvrLLLO盘块LO的转向沿逆时针方向。11.1 质点和质点系的动量矩1 质点的动量矩定理 设质点对固定点固定点O的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F) ，如图所示。dd()()dddd()ddOmmttmmtt Mvrvrvrv11.2 动量矩定理xyzOMO(mv)QmvrMO(F)F将动量矩对时间取一次导数，得0,()Om vvrFMFd()()dOOmt MvMFdd()ddmtt rvF ,vd()dOmmt MvvvrF因为所以又因为所以xyzOMO(mv)QmvrMO(F)F质点对某定点

5、的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。11.2 动量矩定理 将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。11.2 动量矩定理例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v，摆的偏角为 ，则 2()zMmmvlmlv()sin

6、zMmgl F式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。OlMyxNvmg11.2 动量矩定理由d()()dzzMmMtvF2d()sindmlmglt 即0sinlg 这就是单摆的运动微分方程。当 很小时摆作微摆动，sin ，于是上式变为0lg 此微分方程的解为)sin(tlgA其中A和为积分常数，取决于初始条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为glT2显然，周期只与 l 有关，而与初始条件无关。得 设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内力Fi(i) 。由质点的动量矩定理有(e)(i)d()()()dOii

7、OiOimtMvMFMF这样的方程共有n个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项(e)(i)111d()()()dnnnOiiOiOiiiimtMvMFMF(i)1()0nOiiMF2.质点系的动量矩定理11.2 动量矩定理上式左端为于是得11ddd()()dddnnOiiOiiOiimmtttMvMvL(e)1d()dnOOiitLMF质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。11.2 动量矩定理在应用质点系的动量矩定理时，取投影式(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF质 点 系 对某固

8、定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。11.2 动量矩定理1)质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。2) 质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律3.动量矩守恒定理11.2 动量矩定理例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a

9、。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则vRmJLO2(e)2()sinOMMm gRF由 ，有(e)d()dOOiLmt F22d()sindJm vRMm gRtMOm2gNvm1gFOxFOy11.2 动量矩定理因 ,于是解得d,dvvaRt2222sinRmJgRmMRa若Mm2gR sin ，则 a0，小车的加速度沿轨道向上。 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。全一致。11.2 动量矩定理ABCDz0aallCABDzaall例例4 水平杆水平

10、杆AB长长2a，可绕铅垂轴，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为转动，其两端各用铰链与长为l的杆的杆AC及及BD相连，杆端各联结质量为相连，杆端各联结质量为m的小球的小球C和和D。起初两小球用细线相连，使杆。起初两小球用细线相连，使杆AC与与BD均为铅垂，这系统绕均为铅垂，这系统绕 z 轴的角速度为轴的角速度为 0 0。如某时此细线拉断，杆。如某时此细线拉断，杆AC和和BD各与铅垂线成各与铅垂线成 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度 。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些

11、力对转轴之矩都等于零。重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即所以系统对转轴的动量矩守恒，即21zzLL21002()2zLmaama222 (sin)zLm al22022 (sin)mam al022)sin(laa显然，此时的角速度显然，此时的角速度 0。解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象例例5 均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量为、质量为m，圆轮对圆轮对转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物。圆轮在重物P带动下带动下绕固定轴绕固定轴O转动，已知重物重量为转动，已知重物重量为W。求求重物下落的加速度。重物下落的加速度。vRgWJLOO

12、WRMe)(RvvRgWRJLOO)(应用动量矩定理应用动量矩定理)(eOMtdLdWRdtdvRgWRJO)()(22RgWJWRaOP例例6 水流通过固定导流叶片进入水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为叶轮，入口和出口的流速分别为v1和和v2，二者与叶轮外周边和内，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为周边切线之间的夹角分别为1和和 2，水的体积流量为，水的体积流量为qV、密度为、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半，水流入口和出口处叶轮的半径分别为径分别为r1和和r2 ，叶轮水平放置。，叶轮水平放置。求水流对叶轮的驱动力矩。求水流对叶轮的驱动力矩。解：在解：在 d t

13、 时间间隔内，水流时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到段的水流运动到abcd时，时，所受的力以及他们对所受的力以及他们对O轴之矩：轴之矩： 重力重力 由于水轮机水平放由于水轮机水平放置，重力对置，重力对O轴之矩等于轴之矩等于0； 相邻水流的压力相邻水流的压力 忽略不忽略不计；计； 叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩 与与水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。相等，方向相反。abcdabcdABabCDcdABCDabcdzLLLLdL111222coscosrvdtqLrvdtqLVABabVCDcd应用动量矩定理应用动量矩定理)(ddezzMtL)coscos(11

14、1222rvrvqMVz)coscos(111222rvrvqMnMVzz例例7 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物的重物A，另一端，另一端有一质量为有一质量为m的人以速度的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为相对细绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。解：以系统为研究对象，受力如图。设重物设重物A上升的速度为上升的速度为v，则人的绝对速度，则人的绝对速度va的大小为的大小为vuva0mvrrmvLaO0)(mvrrvumLO由于由于S SMO(

15、F (e)0，且系统初始静止，所以，且系统初始静止，所以LO0。2uv 2uva由上可知，人与重物由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物与重物A将始终保持相同的高度。将始终保持相同的高度。uvavevmgmguAOFOxFOy 设刚体绕定轴 z 以角速度 转动，则 Lz Jz。d()()dzzJMt Fd()dzzJMt F11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程22d()dz

16、zJMt FxyzFN1FN2FnF1F2刚体受有主动力和轴承约束反力，如不计摩擦，则由质点系动量矩定理得()zzJM F或12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。例6 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2 。求滑轮的角加速度 。 解：由刚体定轴转动的微分方程12()JR FF于是得12()FF RJ由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定

17、滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2OR12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程例7 图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微小摆动的周期。 解：设 角以逆时针方向为正。当 角为正时，重力对O点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有sinmgaJO 当微摆动时，有 sin ，故方程写为0OJmga 此方程通解为)sin(0tJmgaO 0为角振幅， 为初相位。它们均由初始条件确定。摆动周期为mgaJTO2OCamg224mgaTJO这就表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于 O点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出此物体对于O轴的转动惯量。例8 如图，飞轮对转轴

18、的转动惯量为J，以初角速度0绕水平轴转动，其阻力矩 M ( 为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转? 解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有d(1)dJt M0将（1）式变换，有ddJt 将上式求定积分，得0020ddtJt 12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程2ln2ln00JJt将(1)式改写为ddddJtt 即ddJ 将上式求定积分，得0002ddJ 转过的角度为002J因此转过的转数4200Jn例9 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，

19、求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有111222,JMF rJF r由运动学关系，得1 12 2rr注意到，联立求解以上三式得FF221221 22 1MrJ rJ rO1r1r2O2MFO1yFO1xFFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2FFnMOFOxFOW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：解除约束前：突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=？例题例题 10 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，杆杆OA将绕将绕O轴转动，轴转动，不再是静力学问题。不再是静力学问题。这时，这时， 0，

20、 0。需要先求出需要先求出 ，再确再确定约束力。定约束力。应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程lglmgml23,2312应用质心运动定理应用质心运动定理OyOxFmglmFlm2022420mglmmgFFOyOx 由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即2iizrmJ对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式2dzJrm 由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是: kgm2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须

21、指明它是对哪一轴的转动惯量。11.4 刚体对轴的转动惯量 1)均质细杆ddmmxl222121d12llzmJx xmll2201d3lzmJx xmll2lz1dxxxCzdxxxOl 设均质细杆长 l，质量为m，取微段 dx, 则1.简单形状物体的转动惯量11.4 刚体对轴的转动惯量 2) 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量zR设细圆环的质量为m，半径为R。则222zi iiJmrRmmR xyRrdr3)均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm 2rdr, m/R2, 于是圆板转动惯量为22201d2d2RzJrmrrrmR11

22、.4 刚体对轴的转动惯量 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为mJzz如果已知回转半径，则物体的转动惯量为2zzmJ 回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。2.回转半径(惯性半径)11.4 刚体对轴的转动惯量 3.平行轴定理 定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即2zzCJJmd证明：212211()zCiiJm rm xy 222()ziiJmrm xy 因11,xxy

23、ydy, y1z1zdxmCOzz1xx1r1ryy1x111.4 刚体对轴的转动惯量 由质心坐标公式1iCm yym2zzCJJmd 由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。2211222111() ()2ziiiiJm xydm xydm ydm 当坐标原点取在质心 C 时, yC0, Smiyi0, 又有Smim, 于是得11.4 刚体对轴的转动惯量 例例11 如图所示，已知均质杆的质量为如图所示，已知均质杆的质量为m，对，对 z1 轴的转动惯量轴的转动惯量为为J1，求杆对，求杆对z2 的转动惯量的转动惯量J2 。解：由 ，得2zzCJJmd21(1)zCJJm

24、a22(2)zCJJmb2221()JJm ba(1)(2)得zz1z2abC11.4 刚体对轴的转动惯量 l 2OABll 2OABll 2例例12 均质直角折杆尺寸如图，其质量为均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴求其对轴O的转动惯量。的转动惯量。解：22225)2)(2()2)(2(12131mllmlmmlJJJABOAOOABll 2组合刚体的转动惯量 z12R22Rl例例13 如图所示，质量为如图所示，质量为m的均质空心圆柱体外径为的均质空心圆柱体外径为R1，内径为，内径为R2，求对中心轴，求对中心轴 z 的转动惯量。的转动惯量。 解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体解：空心

25、圆柱可看成由两个实心圆柱体组成，外圆柱体的转动惯量为组成，外圆柱体的转动惯量为J外外，内圆柱体，内圆柱体的转动惯量为的转动惯量为J内内取负值，即取负值，即内外JJJz设m1、m2分别为外、内圆柱体的质量，则21121RmJ外22221RmJ内于是2222112121RmRmJz组合刚体的转动惯量 设单位体积的质量为 ，则221122,mR lmR l代入前式得)(21)(21222122214241RRRRlRRlJz注意到 l (R21R22)m, 则得)(212221RRmJz组合刚体的转动惯量1 1对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvC

26、iiCiiirLrmvrmv( )0ii CiiCrmvmrvxyz x y zCCrOimiriririivmr?0()OCiiLrrmvCi ii irmvrmvCvmCLOCCCLrmvL11.5 质点系相对于质心的动量矩定理 eddddOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eeCiiirFrFddddddCCCCCrLmvrmvtttxyz x y zCCrOimirirCv0( )eiF eddCiiLrFt ed()dCCiLMFt质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对质点系相对于质心的动量矩对

27、时间的导数，等于作用于质点系的时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩外力对质心的主矩. .11.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。(e)d()dCCit LMF11.5 质点系相对于质心的动量矩定理OArc)(rb)( 例14 均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l3r，绕轴O转动的角速度为、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩： (a) 圆盘与杆固结；(b) 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 逆 时针方向转动； (c) 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 顺 时针方向转动。OA解：(a)22222222218

28、3)3(2)2(2131mrmrmrmrrmrmmlJO222mrJLOOOArb)(OArc)(b)0A22222211833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrrrmJmrmvMLJLLLAAAAOAO杆盘杆(c)2A222222222318)2(31833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrmrmrmrrrmJmrmvMLJLLLAAAAOAO杆盘杆 由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可有质心坐标和角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平移和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为

29、CCJL JC为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。11.6 刚体的平面运动微分方程yxxyOCD 设作用在刚体上的外力可向质所在平面简化为一平面力系，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得(e)Cm aF(e)d()J()dCCCJMt F上式也可写成2(e)2ddCmt rF2(e)2d()dCCJMt F11.6 刚体的平面运动微分方程yxxyOCD以上两式称为刚体平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。即(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F11.6 刚体的平面运动微分方程 例15 一均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q 的斜面上，不计滚动阻力，求

30、其质心的加速度。 解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：(1) 设接触处完全光滑此时圆柱作平动，由质心运动定理即得圆柱质心的加速度sinCagqCqCxyO(e)CxxmaF sinCmamgqqaCFNmg(2) 设接触处足够粗糙 此时圆柱作纯滚动，列出平面运动微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin3Cagq解得11sin23CFmamgq由于圆柱作纯滚动，故maxcosNFFf Ff mgqF由纯滚动条件有Car所以1cossin3f mgmgqq，可得1tan3fq这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件

31、。qCxyaCOFNmg(3) 设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件1tan3fq设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f ，则滑动摩擦力cosNFf Ff mgq于是2cosgfrq(sincos )Cagfqq圆柱体在斜面上既滚动又滑动, 在这种情况下，aCr例16 均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有AATJF rCTmamgFCBTJF r其中22ACJJmrOABCAFTmgFOxFOyOAFTmgBCDBaC取B分析，

32、受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有由运动学关系aDrA,，而由加速度合成定理有而由加速度合成定理有()CDBABaarrgaC54例17 均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。解：以杆AB为研究对象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB杆作平面运动，设质心C的加速度为aCx、aCy，角加速度为。aCxaCy由刚体平面运动微分方程mgsincos(3)22CABllJFFqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFBqCAxy以C点为基点，则A点的加速度为tnAC

33、ACACaaaat0sinCyACaaq再以C点为基点，则B点的加速度为tnBCBCBCaaaat0cosCxCBaaqtsinsin(4)2CyAClaaqq tcoscos(5)2CxCBlaaqqaAaBaCxaCyatBCatAC在运动开始时, 0, 故 , 将上式投影到y 轴上，得an 0AC同理，将上式投影到 x轴上，得an 0BC联立求解(1) (5)式，并注意到2121mlJC可得3sin2glq23(1sin)4AFmgq3sincos4BFmgqq注： 亦可由坐标法求出(4)、(5)式：sin ,cos22CCllxyqqcos,sin22CCllxyq qq q 22sincos,cossin2222CCllllxyq qq qq qq q 运动开始时， ，故0qcos ,sin22CxCCyCllaxayqq BqCAxyAxCB例18 如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为 。求B端绳断开瞬时，A端绳