二次函数图像(平移、系数abc专题)

1、二次函数y=ax2+bx+c的图象一、知识要点整理一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象；y=a(x-h)²+k(a0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移；当h<0时,向左平移)，再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的。 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关。1.总结二次函数y=a(x-h)2k的性质顶点坐标与对称

2、轴；位置与开口方向；增减性与最值；抛物线y=a(x-h)2k (a>0)y=a(x-h)2k (a0)顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴直线xh直线xh开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.最值当xh时，最小值为k当xh时，最大值为k2.用配方法可将二次函数y=ax2+bx+c（a0）化成顶点式得到：，其图象与抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、大小、形状完全相同，仅位置不同。当推荐精选a>0时，抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的

3、开口向下；对称轴是直线.顶点是。注意：（1） 关系式y=ax2+bx+c（a0）通常称为二次函数的一般式；其与顶点式可互化；（2） 二次项系数a决定抛物线的形状，包括开口方向、开口程度，且| a |越大，抛物线的开口越小。（3）b与c决定抛物线的位置，当a、b同号时，对称轴直线在y轴的左侧，当a、b异号时，称轴直线在y轴 的右侧， 当b=0时，称轴直线就是y轴；（3）抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。二、例题解析考点一：二次函数y=a(x-h)2k图像的性质例1.二次函数开口向_，顶点坐标为_，对称轴为_，当x1时，y随x的增大而_；当x1时，y随x的增大而_。因为a0，

4、所以y有最_值，当x=_时，y的最_值为_。变式练习1-1：（2011上海）抛物线的顶点坐标是（ ）A. （2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）变式练习1-2：（2011湖南永州）由二次函数，可知（ ）A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线来源:Z§xx§k.ComC其最小值为1 D当时，y随x的增大而增大变式练习1-3：（2011广安）若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（） A、 B、 C、 D、推荐精选考点二：二次函数y=ax2+bx+c化顶点式例2.（2010北京）将二次函数化成的形式，结果为（ ）A. B. C. D

5、. 变式练习2-1：函数图像开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；变式练习2-2：二次函数，当 时， ，且随的增大而减小；变式练习2-3：若(2, ）, （1, ）, （,）为二次函数图像上的三点,则的大小关系是（ ）A、B、C、D、考点三：二次函数图像的平移问题方法指导：1.若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形2.二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。（1）上下平移 若原函数为 （2）左右平移推荐精选平移口诀：上加下减，左加右减。例3 把抛物线向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. B. C. D. 变式

6、练习3-1：将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，则所得抛物线解析式为 （ ）A      BC            D变式练习3-2：把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A BC D例4已知抛物线，（1）求抛物线的顶点坐标；（2）要得到的图像，需将原图像经过怎样的平移得到？变式练习4-1：要从抛物线的图象得到的图象，则必须将的图像

7、（ ）A向下平移1个单位，向左平移2个单位；  B向上平移1个单位，向左平移2个单位；  推荐精选C向上平移2个单位，向右平移1个单位；D向下平移2个单位，向右平移1个单位。变式练习4-2：抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位。变式练习4-3：将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则a的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式练习4-4：已知抛物线C：，将抛物线C平移得到抛物线.若两条抛物线C、关于直线x=1对称，则下列平移方法在，正确的是（ ）A. 将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C

8、向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位例5（2010兰州）抛物线的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为，则b、c的值为（ ）A、b=2，c=3 B、b=2，c=0 C、b=-2.，c=-1 D、b=-3，c=2变式练习5-1：抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）A、B、C、D、变式练习5-2：抛物线的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像解析式为，则a、b、c的值为（ ）A、 B、C、 D、 推荐精选考点四：二次函数的图像与系数 a、b、c的关系方法指导：（1） 由抛物线的开口方向判断a的正负

9、；（2）由对称轴x=>0（或<0）确定b的正负（口诀：左同右异）；（3）抛物线与y轴的交点确定c的正负；（4）由对称轴x=>1（或<1）可确定2a+b的正负；由对称轴x=-1（或-1） 可确定2a-b的正负（或取值）；（5） 令x=1观察图像可得a+b+c 的正负（或取值），令x= -1可得a-b+c 的正负（或取值）；同理可推得4a+2b+c、4a-2b+c、9a+6b+c、9a-6b+c等代数式的正负（或取值）（6） b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac0，反之亦然。例6.已知二

10、次函数的图象如图所示，给出以下结论： abc>0； a-b+c<0；a+b+c<0； b+2a<0； 。其中所有正确结论的序号有_变式练习6-1：已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）的图象如图所示，有下列结论：abc0，b2-4ac0，a-b+c0，4a-2b+c0，其中正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4变式练习6-2：如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac0；（2）c1；（3）2a-b0；（4）a+b+c0你认为其中错误的有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个推荐精

11、选变式练习6-3：（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法：abc0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时，y0其中正确的是_。变式练习6-4：已知二次函数的图像如图所示，有以下结论： a+b+c<0； a-b+c1； abc>0；4a-2b+c0；c-a1.其中正确的结论的序号是_.变式练习6-5：如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2x1-1，0x21，下列结论：abc0；4a-2b+c0；2a-b0；b2+8a4ac，正确的结论是_。 推荐精选能力

12、提升1 已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：；的实数）；其中结论正确的是_；2已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0其中，正确结论是_； 3已知：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论中：abc0；2a+b0；a+bm（am+b）（m1的实数）；（a+c）2b2；a1其中正确的项是_例7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，推荐精选（1）画出一次函数y=cx+b的大致图像；（2）画出一次函数与反比例函数位于同一直角坐标系的大致图像变式练习7-1：（2012菏泽）

13、已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（） AB CD变式练习7-2：（2010四川凉山）抛物线图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( )推荐精选 (A) (B) (C) (D)课后练习：1. 把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A B C D3.二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个

14、单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。4.知二次函数（a0）的图象如图所示，现有下列结论：b2-4ac0 a0 b0 c0 9a+3b+c0，则其中结论正确的是_。推荐精选5.知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），-3x1-2，对称轴为x=-1给出四个结论：abc0；2a+b=0；b24ac；a-bm（ma+b）（m-1的实数）；3b+2c0其中正确的结论有_。7（2010重庆江津）如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)， B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及P