杆件的应力与强度计算课件

1、第1节 应力的概念 FR AK总应力：总应力：受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力应力。AFAFpAddlimRR0 总应力总应力p p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。直，也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面垂直的分量面垂直的分量和与截面相切的分量和与截面相切的分量。总应力分解为总应力分解为与截面与截面相切相切p K 工程中应力的单位常用工程中应力的单位常用Pa或或MPa。 1Pa=1N/m2 1MPa=

2、1N/mm2另外，应力的单位有时也用另外，应力的单位有时也用kPa和和GPa，各单位的换算，各单位的换算情况如下：情况如下： 1kPa=103Pa， 1GPa=109Pa=103MPa 1MPa=106Pa正应力正应力剪应力剪应力与截面垂直与截面垂直说明：说明： （1 1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。 （2 2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。）应力是矢量，不仅有大小还有方向。 （3 3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点）内力

3、与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。第2节 材料在轴向拉压时的力学性能材料在拉伸、压缩时的机械性能材料在拉伸、压缩时的机械性能 标准圆试件：l0/d0=10或5，常用d=10mm，l0=100mm的试件进行测试。称为标距； 压缩时，圆截面试件高度h与直径d之比为13。 试验通常在室温的条件下按一般的变形速度进行。在上述条件下所得材料的力学性质，称为常温、静载下材料在拉伸（压缩）是的力学性质。低碳钢在拉伸时的力学性质拉伸过程 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段强度指标与塑性指标

4、 对低碳钢这一类材料：屈服极限和强度极限是衡量其强度的主要指标。 弹性变形 塑性变形 延伸率和截面收缩率：%100%1001 AAAll 低碳钢压缩铸铁拉伸与压缩第3节 轴向拉压杆的应力与强度计算问题提出：问题提出：F FP PF FP PF FP PF FP P1. 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 2. 强度强度 (1)(1)内力在截面分布集度内力在截面分布集度应力；应力； (2)(2)材料承受荷载的能力。材料承受荷载的能力。FPFP变形规律试验：变形规律试验： 观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的

5、纵向线都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们之间的相对距离增大了。是它们之间的相对距离增大了。轴向拉伸和压缩 根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，可推断：可推断： 轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：由此可知：横截面上只有正应力横截面上只有正应力。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两假

6、如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应力力都相同。都相同。 FNFP轴向拉伸和压缩 通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力正应力，正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横截面上正应力的计算公式为截面上正应力的计算公式为AFN式中式中 A拉（压）杆横截面的面积；拉（压）杆横截面的

7、面积； FN轴力。轴力。 当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号；当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。轴向拉伸和压缩 对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。面上。 习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应工作应力力。 通常把产生最大工作应力的截面称为通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面危险截面，产生，产生最大工作应力的点称为最大工作应力的点称为危险点危险点。AFmaxNmax 对于产生轴向拉（压）

8、变形的等直杆，轴力最大的截对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。轴向拉伸和压缩 例例 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知的应力。已知 F=20kN；斜杆斜杆AB为直径为直径20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CB为为1515的方的方截面杆。截面杆。FABC 解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。 用截面法取节点用截面法取节点B B为研究对象为研究对象4512BF1NF2NFxy45轴向拉伸和压缩 0yFkN3 .281NFkN202NF 0 xF045co

9、s21NNFF045sin1 FFNBF1NF2NFxy452 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。MPa90204103 .2823111AFNMPa8915102023222AFN轴向拉伸和压缩Pp图示直杆拉力为P 横截面面积A 横截面上正应力为为斜截面上的应力计算公式斜截面上正应力为p斜截面上的应力称为全应力PPAAAPANcoscosAPAPp2sin2cossinsin)2cos1 (2coscos2ppPNPp = 0 说明緃向无正应力2. 最大应力和最小应力（1）最大 最小应力正应力 当 00 时 拉杆 max = 压杆 min = - ( 2 ) 最大 最小应力剪应力 当

10、 +45 0 时当 900 时/2 max min/2450-45022sin20045min45max n0塑性材料塑性材料S0脆性材料脆性材料b0极限应力极限应力 n 安全系数安全系数 许用应力许用应力。 任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上限称为极限应力，常用符号限称为极限应力，常用符号o表示。表示。 轴向拉伸和压缩 ssn塑性材料的许用应力塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力脆性材料的许用应力 bbn 选取安全系数的原则是选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下，在保证构件安全可靠的前提下，尽可能尽可能减小减小安全系数来提

11、高许用应力。安全系数来提高许用应力。 确定安全系数时要考虑的因素确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷，如：材料的均匀程度、荷载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。 塑性材料塑性材料 nS取取1.41.7； 脆性材料脆性材料 nb取取2.53。 某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。轴向拉伸和压缩 AFNmaxmax max是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是压应力。压应力。 对于脆性材料的等截面杆，其强度条

12、件式为：对于脆性材料的等截面杆，其强度条件式为：ccttmaxmax 式中：式中：tmax及及t 分别为最大工作拉应力和许用拉应力分别为最大工作拉应力和许用拉应力；cmax及及c 分别为最大工作压应力和许用压应力。分别为最大工作压应力和许用压应力。1.1.强度条件强度条件轴向拉伸和压缩 AFNmax根据强度条件，可以解决三类强度计算问题根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1 1、强度校核：、强度校核： NFA2 2、设计截面：、设计截面： AFN3 3、确定许可载荷：、确定许可载荷： 强度条件在工程中的应用强度条件在工程中的应用轴向拉伸和压缩 例例 正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应

13、力正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力C=1.05MPa，弹性模量，弹性模量E=3GPa，荷载，荷载FP=60kN，试校核，试校核该柱的强度。该柱的强度。 解（解（1 1）画轴力图如图）画轴力图如图b b所示。所示。（2 2）计算最大工作应力）计算最大工作应力 需分段计算各段的应力，然后选需分段计算各段的应力，然后选最大值。最大值。MPa96. 0MPa25025010603NABABABAFMPa72. 0MPa50050010180 3NBCBCBCAF轴向拉伸和压缩max=0.96MPaC =1.05MPa （3）校核强度）校核强度 比较得：最大工作应力为压应力，产生在比较得：最

14、大工作应力为压应力，产生在AB段。段。即即|max|=0.96Mpa。所以该柱满足强度要求。所以该柱满足强度要求。轴向拉伸和压缩 例例 已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力，水平钢拉杆的许用应力=160MPa。试按要求。试按要求设计拉杆设计拉杆AB的截面。的截面。 拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的直径。直径。 拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。1.4m钢拉杆钢拉杆q8.4m解解 （1 1）整体平衡求支反力）整体平衡求支反力kN42B

15、yAyFFFAyFBy轴向拉伸和压缩钢拉杆钢拉杆q =4.2kN/mFAy（3 3）设计拉杆的截面。）设计拉杆的截面。FNFCyFCx04 . 1422 . 4 NABAyFllqFkN63NABF （2 2）求拉杆的轴力。）求拉杆的轴力。 用截面法取左半个屋架为研用截面法取左半个屋架为研究对象，列平衡方程究对象，列平衡方程MC =0 NmaxAFAB轴向拉伸和压缩223Nmm8 .393mm1601063ABFA当拉杆为实心圆截面时当拉杆为实心圆截面时22mm8 .3934dAmm39.22mm14. 38 .3934d取取d=23mm。当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为当拉杆

16、用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为221mm9 .196mm28 .3932AA 选用两根选用两根363的的3.6号等边角钢。号等边角钢。轴向拉伸和压缩 363的的3.6号等边角钢的横截面面积号等边角钢的横截面面积 A1=210.9mm2 故此时拉杆的面积为故此时拉杆的面积为 A=2210.9mm2=421.8mm2393.8mm2 能满足强度要求，同时又比较经济。能满足强度要求，同时又比较经济。轴向拉伸和压缩第5节 平面弯曲梁的应力与强度计算 CD梁段横截面上梁段横截面上只有弯矩只有弯矩,而没有剪力，而没有剪力，这种平面弯曲称为这种平面弯曲称为纯纯弯曲。弯曲。 AC和和DB 梁段横截

17、梁段横截面上不仅有弯矩还伴面上不仅有弯矩还伴有剪力，这种平面弯有剪力，这种平面弯曲称为曲称为横力弯曲横力弯曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB弯曲应力 与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：方法是：观察变形观察变形应力分布应力分布应力计算公式应力计算公式 与与物理关系物理关系静力学关系静力学关系弯曲应力Oyxzbhoyz观察纯弯曲梁变形现象观察纯弯曲梁变形现象o1ao2b12121. 几何变形方面几何变形方面弯曲应力zyxoMMOyz* 所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸

18、边的纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。* 横向线仍为直线但转过了一个角度；横向线仍为直线但转过了一个角度；* 矩形截面的上部变宽下部变窄。矩形截面的上部变宽下部变窄。1212MMo1a1o2b1弯曲应力 ：梁变形后其横截面仍保持为平面，且梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。维之间无挤压。 ：将梁看成由无数条纵向纤维组成，将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。弯曲应力中性层中

19、性层MMzy中性轴中性轴受压区受压区受拉区受拉区 ：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层层，称为中性层。 ：中性层与横截面的交线称为中性轴，中性层与横截面的交线称为中性轴， 由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。其横截面绕中性轴旋转某一角度。 弯曲应力121

20、2o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx梁中取出的长为梁中取出的长为dx的微段的微段变形后其两端相对转了变形后其两端相对转了d 角角a1b1O2O1dr弯曲应力距中性层为距中性层为y处的纵向纤维处的纵向纤维ab的变形的变形式中式中为中性层上的纤维的曲率半径。为中性层上的纤维的曲率半径。可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。 则纤维的应变为则纤维的应变为原长：dxdOOabr21 211111OObaababbaO1O2rrrryyddd)(a1b1O2O1d r r1212o1ao2b变形后长：rdyba)(11弯曲应力

21、2. 物理关系方面物理关系方面 由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为力为 rEyE 梁横截面上任一点处的正应力与该梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应弯曲正应力沿截面高度成线性分布。力沿截面高度成线性分布。 中性轴上各点处的正应力等于零，中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零到最应力最大

22、，其它点的正应力介于零到最大值。大值。弯曲应力xyzOdA坐标系的选取坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。轴：截面的纵向对称轴。z轴：中性轴。轴：中性轴。x轴：沿纵向线。轴：沿纵向线。 受力分析受力分析：dA上的内力为上的内力为dA，于是整个截面上所有内力，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ，所以横截面法向的轴力所以横截面法向的轴力FN和力偶矩和力偶矩My应为零，即：应为零，即：ANdAF00dAzAyMAzMMdAyFx0My=0Mz=M(y z)M3. 静力学关系方面静力学关系方面弯曲应力ANd

23、AF00dAzAyMAzMMdAy0SZAEydAErr故：Sz = 0 即中性轴即中性轴 z 必过横截面的形心必过横截面的形心。ry代入胡克定律：代入胡克定律：0rE及：及：0yzAIEdAyZErr故：Iyz0， y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。为横截面的形心主惯性轴。MEdAEIyZArr2（中性层曲率公式）（中性层曲率公式）故：zEIMr1弯曲应力其中其中 1 1是梁轴线变形后的曲率。称是梁轴线变形后的曲率。称EIEIZ Z为梁的抗弯刚度。为梁的抗弯刚度。zIMyZEIMr1得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：ry代入

24、代入：表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。成反比。弯曲应力zIMy计算时公式中代入计算时公式中代入M和和y的的绝对值。绝对值。的正负可由弯矩的正的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断负和所求点的位置来判断. .-+zMzM+-弯曲应力zIMy适用条件是：适用条件是： (1) 梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。 (2) 正应力不超过材料的比例极限。正应力不超过材料的比例极限。 (3) 梁产生

25、纯弯曲。梁产生纯弯曲。弯曲应力 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。截面是不仅有正应力，而且有切应力。zIyxM)(hlhl 对于跨度与截面高度之比对于跨度与截面高度之比 大于大于5 5的横力弯曲梁，横截的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。越大，误差就越小。 梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设

26、不再成立。假设不再成立。弯曲应力 例例 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q作用，试完成：作用，试完成：(1) 求距左端为求距左端为m的的C截面上截面上a、b、c三点的正应力。三点的正应力。(2) 求梁的最大正应力求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。值，并说明最大正应力发生在何处。(3) 作出作出C截面上正应截面上正应力沿截面高度的分布图。力沿截面高度的分布图。 12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m弯曲应力解解 （1）求指定截面上指定点的应力）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力,由对称性C截面积的弯矩 矩形截面对中性轴z的惯性矩82qlMC=(5.2513.51

27、0.5)kNm =3.5kNm47433mm108mm)12200120(12bhIz12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m弯曲应力 计算计算C截面上截面上a、b、c三点三点的正应力的正应力：)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76拉应力zacaIyM)(MPa19. 2MPa)10850105 . 3(76拉应力zbcbIyM)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76压应力zcccIyM12050abc200弯曲应力(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。 梁的最大正应力发生在最大弯

28、矩Mmax所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为MPa93. 4MPa1081001094. 376maxmaxmaxzIyMmkN94. 3mkN)835 . 3(822maxqlM弯曲应力(3) 作作C截面上正应力沿截面高度的分布图。截面上正应力沿截面高度的分布图。MPa38. 4MPa38. 4弯曲应力一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。面上矩中性轴最远处。maxzIyMmaxmaxmaxzzWyImaxzWMmaxmax式中式

29、中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。单位：性轴的抗弯截面模量。单位：m3或或mm3 。令：1. 梁的最大正应力梁的最大正应力 习惯上把产生最大应力的截面称为习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面危险截面，产生最，产生最大应力的点称为大应力的点称为危险点危险点。M 弯曲应力若截面是高为若截面是高为h ，宽为，宽为b的的矩形，则的的矩形，则6212223bhhbhhIWzz123bhIz 若截面是直径为若截面是直径为d的圆形，则的圆形，则32264234ddddIWzz644dIz弯曲应力 若截面是外径为若截面是外径为D、内

30、径为、内径为d的空心圆形，则的空心圆形，则 43441322642DDdDDIWzzDdDd44164DIz 对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录附录”型钢表中查出。型钢表中查出。 弯曲应力 对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如T型截面的等直梁。型截面的等直梁。yy1y2Cz 同一横截面上同一横截面上tmax cmax ，这时整个梁的，这时整个梁的tmax 或或 cmax不不一定发生在一定发生在|Mmax| 截面处，截面处，需对最大正弯矩和最大负弯矩处需对最大正弯矩和最大负弯矩处的的 tmax和和 cmax分

31、别计算。分别计算。弯曲应力2. 2. 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算 zWMmaxmaxcmaxctmaxt 对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），由对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），由于于 ，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为：ct 对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于 ，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的弯曲许用拉应

32、力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：ct弯曲应力3. 3. 强度条件应用强度条件应用 强度校核强度校核: maxmaxzWM 设计截面设计截面: zzWMWMmaxmaxmax 确定许用荷载确定许用荷载 : maxmaxmaxMWWMzz弯曲应力 例例 图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形bh=140mm210mm，梁的跨度，梁的跨度l=4m，荷载，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力，材料的弯曲许用应力

33、 =11MPa，试校核该梁的，试校核该梁的正应力强度。正应力强度。FAyFByhbz解：（解：（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。求支座反力求支座反力,由对称性由对称性FBy= FAy= 7kNqABl=4mFP弯曲应力10kNm (2) 计算截面的几何参数。计算截面的几何参数。 再作梁的弯矩图，如图示。再作梁的弯矩图，如图示。36322mm1003. 1mm)6210140(6bhWzhbz 从图可知：跨中截面上弯矩从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为最大，其值为Mmax=10kNm 。FAyFByqABl=4mFP弯曲应力(3) 校核梁的正应力强度。校核

34、梁的正应力强度。MPa71. 9MPa1003. 1101066maxmaxzWM该梁满足正应力强度要求。该梁满足正应力强度要求。 MPa11max弯曲应力 截面设计 矩形截面简支木梁，跨度4m，受均布荷栽5 kN/m作用，木材 =10 MPa，若截面高宽比为1.5，试确定截面尺寸。 解： 跨中截面为危险截面2max81qlM1045812kN.m强度条件定截面尺寸强度条件定截面尺寸fWMzmaxmax 可取66101101010mm3261bhWz22361bb383b338zWb 7 .1383101836mm140bmm2101405 . 15 . 1bhmm 许可荷栽 由两根20号槽钢

35、组成的外伸梁，受集中力P作用，若=170 MPa，试求梁能承受的最大荷栽Pmax。 解： 作弯矩图 B为危险截面PABCNo.202 m6 mPPMB22 kN.m2P上部受拉，下部受压上部受拉，下部受压 最大荷载查型钢表，找抗弯截面系数查型钢表，找抗弯截面系数8 .38224 .191zWcm3强度条件求最大荷载强度条件求最大荷载zWMmaxmax1026zWP6102zWP63102170108 .38254.32kN54.32maxPkNy2y1C 例例 T形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力分别为分别为t=45MPa，c=175MPa

36、，截面对中性轴的惯性矩，截面对中性轴的惯性矩Iz=5.7310-6m4，下边缘到中性轴的距离，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上边缘，上边缘到中性轴的距离到中性轴的距离y2=38mm。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD弯曲应力 解：解：(1) 求梁在图示荷载作求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。用下的最大弯矩。 kN40kN15ByAyFF)(kNm5 . 4max下拉、上压MMC（上拉、下压）kNm3maxMMB4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3m弯曲应力B截面和C截面应力分布

37、规律图y2y1CkNm5 . 4maxMMCkNm3maxMMB C C截面截面maxtmaxc B B截面截面maxcmaxt弯曲应力czBcIyMMPa7 .37101073. 57210312661max tzBIyMMPa9 .19101073. 53810312662maxt tzctIyMa5 .56101073. 572105 . 412661maxczccIyMMPa8 .29101073. 538105 . 412662maxB截面满足正应力强度条件。截面满足正应力强度条件。C截面截面B截面截面 C截面不满足正应力强度条件。截面不满足正应力强度条件。所以该梁的正应力强度不所以

38、该梁的正应力强度不满足要求。满足要求。弯曲应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.全梁全梁上上最大最大正应力正应力已知已知E=200GPa， FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：例题BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67

39、.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyM zIyMmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面zW 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,130

40、2Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d？ zWMmaxmax例题（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBBMPa4 .46Pa104 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）结论）结论（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算maxM（4 4）计

41、算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 zWMmaxmax（2 2）例题（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m109621014045 . 910)507 . 6(MWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：

42、解：36c36c工字钢工字钢3cm962zWkg/m6 .67q作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct例题mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面

43、形心z1yz52解：解：（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5 .2kN.m4（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2 .27max, ccMPa1 .46max,kN.m5 .2kN.m4bISFzz*Q式中，式中，FQ需求

44、切应力处横截面上的剪力；需求切应力处横截面上的剪力； Iz为横截面对中性轴的惯性矩；为横截面对中性轴的惯性矩； Sz*为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以 上（或以下）部分的面积上（或以下）部分的面积 对中性轴的静矩；对中性轴的静矩； b为横截面的宽度。为横截面的宽度。bhyzyFQ1. 矩形截面梁矩形截面梁弯曲应力bISFzzQmaxmax 切应力的分布规律：切应力的分布规律： 1) 切应力的方向与剪力同向平行。切应力的方向与剪力同向平行。 2) 切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中性轴等距离

45、的点切应力均相等。性轴等距离的点切应力均相等。 3) 切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为的最大值，其值为弯曲应力bhFQ5 . 1max将将代入上式得以及1284232maxbhIbhhASzz 说明：矩形截面梁任一说明：矩形截面梁任一横截面上的最大切应力发生横截面上的最大切应力发生在中性轴上，其值为该截面在中性轴上，其值为该截面上平均切应力上平均切应力FQ/A的的1.5倍倍，切应力沿截面高度的分布，切应力沿截面高度的分布

46、规律如图示。规律如图示。 zyFQ弯曲应力2.2.工字形截面梁工字形截面梁maxmin结论：结论： 翼缘部分翼缘部分 max腹板上的腹板上的 max，只计算腹板上的只计算腹板上的 max。 铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且），且 max min 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力bISFzz*Q1*maxQmaxbISFzz11QmaxbhF平均式中，h1腹板的高度。b1腹板的宽度。弯曲应力3. 切应力强度条件切应力强度条件 一般截面，最大剪一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。最大的截面的中性轴处。zyFQ max梁的

47、切应力强度条件表达式为：梁的切应力强度条件表达式为：弯曲应力4. 梁的切应力强度条件在工程中的应用梁的切应力强度条件在工程中的应用 与梁的正应力强度条件在工程中的应用相似，切应力与梁的正应力强度条件在工程中的应用相似，切应力强度条件在工程中同样能解决强度方面的三类问题，即进强度条件在工程中同样能解决强度方面的三类问题，即进行切应力强度校核、设计截面、计算许用荷载。行切应力强度校核、设计截面、计算许用荷载。 在一般情况下，正应力对梁的强度起着决定性作用。在一般情况下，正应力对梁的强度起着决定性作用。所以在实际计算时，通常是以梁的正应力强度条件做各种所以在实际计算时，通常是以梁的正应力强度条件做各

48、种计算，以切应力强度条件进行校核即可。计算，以切应力强度条件进行校核即可。弯曲应力四、提高梁强度的措施四、提高梁强度的措施 从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形状应该是状应该是弯曲应力 1) 通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在横截面的面积横截面的面积A相等的情况下，比值相等的情况下，比值Wz/A从大到小的截面依次是：工字从大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、

49、圆形；形、矩形、正方形、圆形；zzzz 2) 通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的Wz/A总是大于实心截面总是大于实心截面的的Wz/A。zzzz弯曲应力 3）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截面系数不相同。立放的矩形截面面系数不相同。立放的矩形截面

50、Wz/A值比平放的矩形截面值比平放的矩形截面Wz/A值大值大。若若h=2b，梁平放时，梁平放时 Wz/A=b/6，梁竖放时，梁竖放时 Wz/A=b/3。zybhhzyb弯曲应力 注意：注意：上面我们只是单从强度观点出发分析了截面的上面我们只是单从强度观点出发分析了截面的选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截

51、面梁，所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。而不常使用空心截面梁的原因。弯曲应力 Gz对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如圆形、工字形等，使得上、下边缘同时达性轴的截面，如圆形、工字形等，使得上、下边缘同时达到材料的许用应力值。到材料的许用应力值。对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中性轴不对称的截面，如性轴不对称的截面，如T T形、槽形等。形、槽形等。弯曲应力 为了充分利用材料，理想的梁应该是在弯矩大的部位采为了充分利用材料，理想的

52、梁应该是在弯矩大的部位采用大截面，而在弯矩小的部分就采用小截面，使弯矩与截用大截面，而在弯矩小的部分就采用小截面，使弯矩与截面相对应，这种梁的横截面尺寸在全梁范围内不是一个常面相对应，这种梁的横截面尺寸在全梁范围内不是一个常数，而是沿着轴线有一定变化的梁称为数，而是沿着轴线有一定变化的梁称为。 最理想的变截面梁应该是：梁的每一个横截面上的最大最理想的变截面梁应该是：梁的每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力，这种变截正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力，这种变截面梁称为面梁称为。 弯曲应力 从强度的观点来看，等强度梁最经济，能充分发挥从强度的观点来看，等强度梁最经济，

53、能充分发挥材料的潜能，是一种非常理想的梁，但是从实际应用情材料的潜能，是一种非常理想的梁，但是从实际应用情况分析，这种梁的制作比较复杂，给施工带来好多困难况分析，这种梁的制作比较复杂，给施工带来好多困难，因此综合考虑强度和施工两种因素，它并不是最经济，因此综合考虑强度和施工两种因素，它并不是最经济合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形状比较简单又合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。弯曲应力图示为建筑工程中常见变截面梁的情况。图示为建筑工程中常见变截面梁的情况。 弯曲应力FPl/2ABCl/2q

54、=FP/lABl 改变荷载的作用方式改变荷载的作用方式 在结构和使用条件允许的情况下，合理调整荷载的位在结构和使用条件允许的情况下，合理调整荷载的位置及分布情况，使梁的挠度减小。置及分布情况，使梁的挠度减小。 EIlFy38483maxEIlFy38453max弯曲变形 减小梁的跨度减小梁的跨度 梁的挠度与其跨度的梁的挠度与其跨度的n次方成正比。因此，设法减小梁的次方成正比。因此，设法减小梁的跨度，将能有效地减小梁的挠度，从而提高梁的刚度。跨度，将能有效地减小梁的挠度，从而提高梁的刚度。EIqly4max013.0EIqly43max107875. 0EIqly43max10326. 0l/5

55、ql/5ql/2l/2ql弯曲变形 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 梁的挠度与抗弯刚度成反比，材料的弹性模量梁的挠度与抗弯刚度成反比，材料的弹性模量E增大或增大或梁横截面对中性轴的惯性矩增大均能使梁的挠度减小。梁横截面对中性轴的惯性矩增大均能使梁的挠度减小。 不同材料的弹性模量不同材料的弹性模量E值不同，而同类材料的弹性模量值不同，而同类材料的弹性模量E值相差不大，比如对钢材来说采用高强度钢可以提高梁的值相差不大，比如对钢材来说采用高强度钢可以提高梁的强度，但由于高强度钢与普通低碳钢属于同类材料，弹性强度，但由于高强度钢与普通低碳钢属于同类材料，弹性模量模量E值很接近。所以，用高强度钢并不能

56、显著提高梁的刚值很接近。所以，用高强度钢并不能显著提高梁的刚度。度。弯曲变形第6节 组合变表构件的应力与强度计算压弯组合变形压弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例组合变形水坝水坝qFhg g组合变形工程实例组合变形工程实例压弯组合变形压弯组合变形组合变形 组合变形组合变形：同时产生两种或两种以上基本变形的变形：同时产生两种或两种以上基本变形的变形形式。形式。 解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形；解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后分别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。进行叠加。组合变形研究

57、内容研究内容斜弯曲斜弯曲拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形偏心压缩（拉伸）偏心压缩（拉伸） 对组合变形问题进行强度计算的步骤如下：对组合变形问题进行强度计算的步骤如下： （1）将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本）将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量；变形的荷载分量； （2）分别计算各个荷载分量所引起的应力；）分别计算各个荷载分量所引起的应力； （3）根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到）根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力；原来荷载共同作用下构件所产生的应力； （4）判断危险点的位置，建立强度条件）判断危险点的

58、位置，建立强度条件,进行强度计算。进行强度计算。组合变形平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲 斜弯曲斜弯曲组合变形FzFyyzF 如图示矩形截面梁，但外力如图示矩形截面梁，但外力F的作用线只通过横截面的的作用线只通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲斜弯曲。 斜弯曲是两个平面弯曲的组合。斜弯曲是两个平面弯曲的组合。xzyF组合变形1.1.外力的分解外力的分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解。将外力沿横截面的两个形心主轴分解。xzyFFy =F cos F

59、y引起梁在xy的平面弯曲Fz = F sin Fz引起梁在xz的平面弯曲距右端为距右端为l1的横截面上的横截面上Mz = Fy l1 =F l1 cos My = Fz l1 =Fl1 sin ll1 xzyFyFzFy引起的弯矩引起的弯矩:Fz引起的弯矩引起的弯矩:yzk由由Mz 引起引起k点正应力为点正应力为zzIyMyyIzM 由由My 引起引起k点正应力为点正应力为2. 内力的计算内力的计算 3. 应力的计算应力的计算组合变形yz+ + + + + + +yz+ + + + + + +式中式中 Iz 和和Iy分别为截面对分别为截面对z轴和轴和y轴的惯性矩；轴的惯性矩； y和和z分别为所

60、求应力点到分别为所求应力点到z轴和轴和y轴的距离。轴的距离。 计算正应力时，仍将式中的计算正应力时，仍将式中的Mz 、My 、y、z以绝对值代入以绝对值代入，求得，求得和和的的 正负，根据梁的变形和所求应力点的位置直正负，根据梁的变形和所求应力点的位置直接判定（拉为正、压为负）。接判定（拉为正、压为负）。 yyzzIzMIyM Mz作用作用My作用作用Fy和和Fz共同作用下共同作用下k点的正应力，为点的正应力，为 梁斜弯曲时梁斜弯曲时横截面任一点横截面任一点的正应力计算的正应力计算公式公式组合变形yz+ + + + + + +yz+ + + + + + +Mz作用作用My作用作用yzA试写出试