极限存在准则25两个重要极限课件

1、2.4 2.4 极限存在准则极限存在准则 2.4.1夹逼原理夹逼原理2.4.2单调有界准则单调有界准则2.4.3闭区间套定理和闭区间套定理和2.4.4柯西收敛准则柯西收敛准则(不作要求不作要求)azynnnnlimlim)2(2.4.1 夹逼原理夹逼原理),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件由条件 (2) ,0,1N当当1Nn 时时,ayn当当2Nn 时时,azn令令,max21NNN 则当则当Nn 时时, 有有,ayan,azan由条件由条件 (1)nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn,2N定理定理2.4.112.4.11（数列极限）（数列极限）定

2、理定理2.4.22.4.2（函数极限）（函数极限）时或(1)当)M|x|)(r ,x(x0U)()()(xhxfxg如果如果,)(,)(AxhlimAxglim00 xxxx)(x（2）)(x)(xflim0 xx)(x那么那么存在，且等于存在，且等于A。例例、证明证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由例例2.4.2证明证明).0(1limaann证证 当当a =1时结论显然成立，先设时结论显然成立，先设a

3、1,令令. 0,1 nnnxxa则则由二项式定理，由二项式定理，,2)1(1)1(2nnnnnnxxnnnxxa 所以有所以有,1111naxann由夹逼原理知由夹逼原理知.1lim成成立立 nna当当0a1,利用上面已证明的结论知，利用上面已证明的结论知，. 111limlimnnnnaa例例2.4.3个正数，证明个正数，证明为为设设kaaak,21,maxlim2121knnknnnaaaaaa证证令令则有,max21kaaaAnnnknnkAaaaA21由前例可知由前例可知, 1limnnk故有故有.lim21Aaaannknnn2.4.2 单调有界准则单调有界准则Mxxxxnn121m

4、xxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnn( 证明略证明略 )nx1nxM1x2xxa单调增加单调增加mnx1nx1x2xxb单调减少单调减少定理定理2.4.3 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限例例2.4.4设设. ) 1(6, 611nxxxnn证明数列证明数列nx极限存在，并求其值极限存在，并求其值 . 证证: 用数学归纳法易证用数学归纳法易证 nnxx 1且, ) 1(36nxn,1nnxx 即即单调增加且有上界，单调增加且有上界，故故nx,limaxnn 设设存在。存在。从而从而nnx lim解得解得a =3。nnxx 6nnnnxxxx 662, 06)2)(

5、3( nnnnxxxx,61两端取极限两端取极限对对nnxx ,6aa 得得2.5 两个重要极限两个重要极限1sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积1sinlim1 . 5 . 20 xxx极限证证: 当当即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有注注：当当20 x时时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx推广形式：推广形式：1sinlim,

6、0lim yyypxpx则则若若例例2.5.1xxxtanlim0求极限求极限解解xxxtanlim0例例2.5.220cos1limxxx求极限解解20cos1limxxx)cos1sin(lim0 xxxxxxxxxcos1limsinlim00. 12202sin2limxxx2/)2/sin(21lim0 xxx.21)sin(21lim202/ uuxxu令令例例2.5.3.1arcsinlimxxx 求极限求极限解解txxxx)1arcsin(1arcsinlim令例例2.5.4.2tan)1(lim1xxx 求极限求极限解解xuxxx121tan)1 (limtttsinlim0

7、. 1uuu20cotlimuuuu220sincoslim例例2.5.5.sintanlim30 xxxx 求极限求极限解解31sintanlimxxxxuuuu2220sincos2lim2xxxxxcos)cos1 (sinlim30 xxxxxxcos1cos1sinlim20.212.5.2exxx )1(lim1极极限限ennn)1(lim1推广形式：推广形式：数列形式：数列形式：（e =2.70）eyyypxpx 1)1(lim, 0lim则则若若eyyypxpx 11 lim,lim则则若若例例2.5.6求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt则则xxx)1 (lim1t

8、tt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用：若利用,)1(lim)()(1)(exxx 则则 原式原式111)1 (limexxx例例2.5.7求.)11(limxxxx解解: xxxx)11(lim或 xxxxxxx)121 (lim)11(limxxx)121 (lim2121212121111111limxxxxxx2exxxxx12212111lim例例2.5.8求.321lim3nnn解解: nnn3321limxxxxx12212111lim12limxxxe2e2232311limnnn.2e练习册上的几个题练习册上的几个题（练习（练习2.5） 求下列

9、极限：求下列极限： 一、一、2.),(sinsinlimZnmnxmxx 解解:nxmxxsinsinlim )(sin)(sinlimtntmtxt 0)sin()sin(limntnmtmt 0ntmtnmtsin)1(sin)1(lim110 ntmttnmsinsinlim)(01 nmntntmtmttnm sinsinlim)(01.)(nmnm 1一、一、3.xxnx)arccoscos(lim0（n为奇数）为奇数）解解:令令 t = arccosx, 则则x = cost，从而，从而xxnx)arccoscos(lim0tnttcoscoslim2 )/cos()(coslim

10、uunutu 2202 令令ununusin)cos(lim 20 ununusinsin)(lim2101 .)(nn211 一、一、4.coscoslimnnn 1解解:nncoscos 121212nnnn sinsin)(sinsinnnnn 121212注意到，注意到，故有故有及及,sinsinxxx 1.coscosnnnn 11210.coscosnnnn 11210,lim011 nnn而而所以所以.coscoslim01 nnn5. )sin(lim12 nn 解解:)sin(lim12 nn sin)sin(lim nnn 12.)(sin)(coslim2121222nnnnn 仿照第仿照第4题可证，题可证，.)sin(lim012 nn 二、二、2.xxxtan/)(sinlim2 解解:xxxtan/)(sinlim2 xxxtan/)(sinlim112 xxxxxtan)(sinsin/)(sinlim111211 而而xxxtan)(sinlim/12 ttttxcot)(coslim/102 令令tttttttcotsincoslim 201,