极限存在准则及两个重要极限课件

1、2.5 极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限一一. .极限存在准则极限存在准则二二. .两个重要极限两个重要极限 本节先介绍极限存在准则本节先介绍极限存在准则, 并利用它们来导出两个重要极限并利用它们来导出两个重要极限.一一. .极限存在准则极限存在准则定理定理2.5.1 (夹逼准则）夹逼准则） 如果数列如果数列 满足下列条件满足下列条件:,nnnxyz(1)(1,2,3,),nnnyxz n (2) limlim,nnnnyza 则数列则数列 xn 的极限存在的极限存在, 且且limnnxa 证明证明 因因lim,nnya 根据数列极限的定义根据数列极限的定义, 对任意给定对

2、任意给定0, 存在正整数存在正整数 , 1N1,nN 当当时时 有有nya 又又lim,nnza 对上述对上述 , 存在正整数存在正整数 , 2N2,nN 当当时时 有有nza 12max,NNNnN 取取则则当当时时 有有nya 和和nza 同时成立同时成立, 于是当于是当,nN 时时 有有nnnayxza 即即nxa 成立成立, 所以所以lim.nnxa 上述数列极限存在准则可以推广到上述数列极限存在准则可以推广到函数函数的情况的情况. .准则准则I设函数设函数( ), ( ), ( )f x g x h x满足满足00(1)(, )(),xU xxM 当当 或或时时 ( )( )( )g

3、 xf xh x 00()()(2) lim( )lim ( ),xxxxxxg xh xA 则有则有0()lim()xxxfx 存在存在，且等于且等于A. 即：即：0()lim()xxxfxA 此推论的证明与数列的情况完全类似此推论的证明与数列的情况完全类似. .定理及推论均称为定理及推论均称为夹逼准则夹逼准则. 例例1 求求222111lim.12nnnnn 解解 设设22211112nxnnnn, 因为因为221nnnxnnn且且21limlim111nnnnnn，221limlim1111nnnnn则由夹逼准则，可得则由夹逼准则，可得222111limlim112nnnxnnnn单调有

4、界准则单调有界准则若数列若数列nx满足满足12nxxx则称则称nx是是单调不减有界数列单调不减有界数列 ; 如果数列如果数列nx满足满足12nxxx则称则称nx是是单调不增有界数列单调不增有界数列.单调不减有界数列和单调不增有界数列统称为单调不减有界数列和单调不增有界数列统称为单调有界数列单调有界数列. 这个定理的证明超出本书要求这个定理的证明超出本书要求, 在此从略在此从略.定理定理2.5.2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例如例如, 数列数列1nnxn 是单调增加的是单调增加的, 且且| 1nx , 其极限其极限存在且为存在且为1.由定理由定理2.1.2知道知道, 收敛的数列一

5、定有界收敛的数列一定有界, 但有界的数列却不但有界的数列却不一定收敛一定收敛. 该定理表明该定理表明, 如果一个数列不仅有界如果一个数列不仅有界, 而且单调而且单调, 则则该数列一定收敛该数列一定收敛.二二. .两个重要极限两个重要极限0sin lim1xxx 0sin0lim( ,) 0 型型 三三统统一一 或或1sin0 lim( ,)10 型型 三三统统一一从而可求从而可求0sin1lim22xxx 0sin3limxxx0sin3lim2xxx03sin3lim23xxx 32 0sin33lim3xxx 3 1.1AoBCDx证证 因为因为sin( )()xf xfxx 故只须讨论故

6、只须讨论 x 0 的情形的情形.在如右图的单位圆中在如右图的单位圆中, 设设 (0)2AOBxx AOB的面积的面积 扇形扇形AOB的面积的面积 AOD的面积的面积从而从而111sintan222xxxsintan (0)2xxxx 从而从而11sincosxxxsin011cosxxx 0sinlim10 xxx 两端同除以两端同除以 sinx 得得故故0sinlim1xxx 2222sin20222xxxsincos1xxx 即即即即例例2 求求0tan lim.xxx解解0tan limxxx201 coslimxxx 解解2202sin2limxxx 220sin12lim22xxx

7、20sin12lim22xxx 0sin1limcosxxxx 12 1 201 cos lim.xxx 例例3 求求0arcsinlimxxx解解arcsintx 令令0lim1sinttt 0arcsinlim.求xxx 例例4 412. lim(1)xxex1(1) ,nnxn 令令 我们证明数列我们证明数列 xn 满足定理满足定理2.5.2的条件的条件. .(1) 数列数列 xn 是单调增加的是单调增加的. 由牛顿二项公式，有：由牛顿二项公式，有：211(1)1(1)2 11111!2!nnnnn nn nxnnnnn111121121 1 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3

8、!nnnnnnnn 类似地，有类似地，有11111112(1)1 1(1)(1)(1)12!13!11nnxnnnn 1121112(1)(1) (1)(1)(1) (1)!111(1)!111nnnnnnnnnn 因为因为111 (1,2,1)1kkknnn 1nx 且且多了最后一项多了最后一项, 从而从而 xn 是单增的是单增的.111112!3!nxn L故故xn 有上界有上界, 从而从而 存在存在.1lim(1)nnn 111111 22 3(1)nn L1111111(1)()()2231nn L133n(2) 数列数列 xn 是有界的是有界的. 应当指出应当指出 , 根据定理根据定

9、理2.5.2 , 我们只是定性的说明该数我们只是定性的说明该数列列 的极限存在的极限存在, 并未给出数列并未给出数列 极限的具体数值极限的具体数值. 由于其推由于其推导超出本书范围导超出本书范围, 这里仅给出其结果这里仅给出其结果, 这个极限值被瑞士欧这个极限值被瑞士欧拉首先用字母拉首先用字母e (是一个无理数是一个无理数, 其值其值e=2.7182818284).根据定理根据定理2.5.2, 该数列该数列 的极限存在的极限存在.综述所述综述所述, 有有1lim (1)nnen 利用这个结果和夹逼准则利用这个结果和夹逼准则, 我们可以证明我们可以证明(证明从略证明从略)对于一般的实数对于一般的

10、实数, , 仍然仍然有有1lim (1)xxex 如果作变量替换如果作变量替换, 令令1tx于是有于是有10lim 1tttex0t, 则当则当时时, 例例5 求求2 lim 1.xxx 解解22221 lim1 = lim12xxxxexx 例例6 求求0lim15 .xxx1555000lim15lim 15lim 1txxxtxxtxxte令 解解 解解423tx 令令3121 lim23xxxx 314= lim 123xxx 6720= lim(1)ttt 6720= lim(1) (1)tttt 176200= lim(1) lim(1)ttttt 6e 3121 lim().23

11、xxxx 例例7 求求()lim1( )g xmf xe lim( )0,lim ( )lim( ) ( ),f xg xf x g xm 若若且且则则 注注 为使计算简化为使计算简化, 我们给出一个对我们给出一个对“1”型非常适用的型非常适用的结论结论:如例如例7 也可以按下面的过程求解：也可以按下面的过程求解：31314(31)lim623214limlim 12323xxxxxxxxeexx 例例8 连续复利问题连续复利问题 设有一笔初始本金设有一笔初始本金A0 存入银行存入银行, 年利率为年利率为r, 则一年末结算则一年末结算时时, 其本利和为其本利和为1A如果一年分两期计息如果一年分

12、两期计息, 每期利率为每期利率为1,2r为后一期的本金为后一期的本金, 则一年末本利和为则一年末本利和为2A如果一年分如果一年分n期计息期计息, 每期利率为每期利率为,rn后一期的本金后一期的本金, 则一年末利和为则一年末利和为00ArA 0(1)Ar 00(1)(1)22 2rrrAA 20(1)2rA 且前一期的本利和作且前一期的本利和作且前一期的本利和作为且前一期的本利和作为0(1)nnrAAn 令令 , 则表示利息随时计入本金则表示利息随时计入本金. 这样这样 t 年末的本利和为年末的本利和为n ( )A t0lim(1) nrtrnrAn lim( )nnAt 0lim(1)ntnr

13、An 0rtA e 于是到于是到 t 年末共结算年末共结算 nt 期期(每期利率为每期利率为 ) , 其本利和为其本利和为rn0( )(1)ntnrAtAn (1) 已知现值已知现值A0, 求终值求终值At ,有复利公式有复利公式 0rttAA e (2) 已知终值已知终值At , 求现值求现值A0 ,有贴现公式有贴现公式(这时利率称为贴现率这时利率称为贴现率)0rttAA e 则有如下结论则有如下结论: 一般地一般地, 设设A0为初始本金为初始本金(称为现在值或现值称为现在值或现值), 年利率为年利率为r, 按连续复利计算按连续复利计算, t年末的本利和记为年末的本利和记为At(称为未来值或

14、终值称为未来值或终值), 这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利复利;当一年内计息期数当一年内计息期数 时的复利称为时的复利称为连续复利连续复利.n 例例9 一投资者欲用一投资者欲用1000元投资元投资5年年, 设年利率为设年利率为6%. 试试分别按单利、复利、每年按分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计次复利和连续复利付息方式计算算到第到第5年末年末, 该投资者应得的本利和该投资者应得的本利和S . 解解 按单利计算按单利计算1000 1000 0.06 5 1300()S 元按复利计算按复利计算51000 (1 0.06)1000 1