极限的运算法则及存在准则(2)课件

1、第五节第五节 函数极限的运算法则函数极限的运算法则 内容提要内容提要 1. 极限的运算法则；极限的运算法则； 教学要求教学要求 1. 熟练掌握极限的四则运算法则；熟练掌握极限的四则运算法则； 一、极限的运算法则一、极限的运算法则对于对于+ +0 xx- -0 xx , x ,+x ,-x等情况的运算等情况的运算法则可类似。法则可类似。定理定理 1 1设设Axfxx= =)(lim0 ,Bxgxx= =)(lim0则有：则有：lim0 xx )(lim0 xgxx )(lim0 xfxx = =)()(xgxf1法则法则时时的的运运算算法法则则，下下面面仅仅给给出出0 xx lim0 xx )(

2、lim0 xfxx = = 特别地特别地)(xCf)(lim0 xfxx lim0 xx C= =n nxf)(= =xxxf)(lim0 xx lim0)(lim0 xgxx 0)(limxfxx )()(xgxflim0 xx = =其中其中0)(lim0 = =Bxgxx证明证明 只证只证 法则法则1 1 其余仿证其余仿证)()(xgxf )(lim0 xgxx 2法法则则3法法则则指出：指出： 法则法则1、2都可推广到有限个具有极限的函数的情形都可推广到有限个具有极限的函数的情形因因Axfxx= =)(lim0 , Bxgxx= =)(lim0 , 由无穷小与函数由无穷小与函数 )()

3、(xBxgb b+ += = 0)(lim0= =xxxb b)(xBb b+ +)(xAa a+ += =)()(xxb ba a+ +)(BA= =由无穷小的性质知：由无穷小的性质知： 0)()(lim0= =xxxxb ba a)(lim)(lim00 xgxfxxxx= =BA= =)()(lim0 xgxfxx 再由无穷小与函数极限的关系得：再由无穷小与函数极限的关系得：极限之关系知极限之关系知0)(lim0= =xxxa a其中其中)()(xgxf 由于由于)()(xAxfa a+ += =回顾：回顾：)()()(lim0 xAxfAxfxxa a+ += = =0)(lim0=

4、=xxxa a其中其中定理定理2 （复合函数的极限）（复合函数的极限）00000000lim( ),lim ( ),( ) ( )lim ( )lim( )xxttttxxf xAtxtttxfttftf xA=设当时，且复合函数在U(, )内有定义，则 极限的几种类型极限的几种类型：1)简单型简单型 由运算法则直接求出结果由运算法则直接求出结果 ：).34(lim1232+ +- -xxx求求例例解解)34(lim232+ +- -xxx3limlim4lim22232+ +- -= =xxxxx3)lim()lim(42232+ +- -= =xxxx322423+ +- - = =31=

5、 =次次多多项项式式为为设设一一般般地地n,)(0111axaxaxaxPnnnnn+ + + + += =- - -,)(lim00110100axaxaxaxPnnnnnxx+ + + + += =- - -则则即即.)()(lim00 xPxPnnxx= =例例2= =)2(lim1- -+ +xx1- -x)73(lim2+ + + xx273lim21- -+ + + +xxxx5= =15= =21 + +- -7)1(3)1(2+ +- -+ +- -= =注注 : 一般地一般地 , 求有理函数当求有理函数当0 xx 的极限时的极限时若分母的极限不为零，若分母的极限不为零，0 x

6、x = =把把 代入有理代入有理 即为该函数的极限。即为该函数的极限。312lim22- - -xxx例例3= =321222- - - = =函数直接求函数值函数直接求函数值 , ,002)型型 ( 记号记号 )4= =2+ +2= =)2(lim2+ += =xx例例 3 24lim22- - -xxx【注】【注】 对分对分子、分子、分母极限母极限均均为为 0 情形的有理式情形的有理式 , 先约先约去分子分母的公因子去分子分母的公因子 , 再求极限，再求极限，不能直接使用法则不能直接使用法则 3练习：练习：.416lim24- - -xxx求求解解416lim24- - -xxx)4(li

7、m4+ += =xx844= =+ += = 3)型型 ( 记号记号 ) 23= =)112lim(2+ +- - xxx)113(lim2+ + += = xxx= =xx11211322+ +- -+ + +xxlim x例例 4 1213lim22+ +- -+ + + xxxxx0= =10= =)91(lim2- - xx)51(lim2+ += = xxx= =912- -x512+ +xxlim x例例 5 95lim2- -+ + xxx【注】【注】对对 型型的有理式函数的的有理式函数的极限极限 , 由于分子分母极限由于分子分母极限为为 , 极限不存在极限不存在 ,不能用法则不

8、能用法则 3 , 先对分子先对分子 、分母同分母同除以除以x的最高次幂再求极限。的最高次幂再求极限。一般地一般地 , 设设0, 000 ba ,nm,为正整数为正整数 , 则则mmmmnnnnxbxbxbxbaxaxaxa+ + + + + + + + +- - - - - 2211022110limnm 0nm 练习：练习：.3124lim23+ +- -+ + xxxx求求3124lim23+ +- -+ + xxxx33231124limxxxxx+ +- -+ += = = = =00ba解解nm = =4) - - 型型 【注】【注】对对 - - 型型的有理式函数求的有理式函数求极限

9、极限 , 先通分先通分, , 后求极限。后求极限。例例 6 - - - -311311limxxx211)2(limxxxx+ + + +- -= =321131limxxxx- - -+ + += =)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx+ + +- -+ +- -= =1- -= =练习：练习： - - - -4421lim22xxx求求 - - - -4421lim22xxx442lim22- - -+ += =xxx21lim2+ += =xx42lim22- - -= =xxx41= =解解5) 0C 型型再利用再利用无穷无穷小小与无穷与无穷大大 之间的关系之间的关系, ,可得可得