格林公式及其应用(重新学习课件

1、第三节 格林公式及其应用Chapter 11一、格林公式二、平面上曲线积分与路径 无关的 等 价 条件Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 2一、 格林公式 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所围成的内任一闭曲线所围成的部分都属于部分都属于D, , 则称则称D为平面为平面单单连通区域连通区域, , 否则称为否则称为多多连通区域连通区域. .多连通区域多连通区域单连通区域单连通区域DD1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类单连通区域单连通区域 ( 无无“洞洞”区域区域 )，多连通区域多连通区域 ( 有有“洞洞”区域区域 )We

2、dnesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 3连连成成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区域区域D总在他的总在他的左边左边. .2LD1L2L1LD2 2、边界曲线的正向、边界曲线的正向一、 格林公式Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 4定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑曲线是由分段光滑曲线 L 围成围成,函数函数则有则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )在在

3、 D 上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,一、 格林公式其中其中L是是D的取的取正向正向的边界曲线。的边界曲线。Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 5证明证明: 1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且bxaxyxD)()(:21 dycyxyD)()(:21 则则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD即即yxxQDddLyyxQd

4、),(Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 6yxxQDddLyyxQd),(同理可证同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得两式相加得:LDyQxPyxyPxQddddWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 72) 若若D不满足以上条件不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , (如图如图)L1L2L3LD1D2D3DyxO 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ321DDDdxdyyPxQdxdyyPxQd

5、xdyyPxQ)()()(321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx),(,来说为正方向来说为正方向，分别对分别对321321DDDLLLWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 8GD3L2LFCE1LAB由由2)2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 231)(LLLQdyPdx LQdyPdx),(,来来说说为为正正方方向向对对DLLL321Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 9格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQddddWedn

6、esday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 10推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围所围区域区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21例如例如, 椭圆椭圆)20(sincos:byaxL所围面积所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQddddWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 11例例1. . 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22yxxyxL证证: 令令,22xQyxP则则yPxQ利用格林公式利用格林公式

7、 , 得得yxxyxLdd22022xxDyxdd00Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 12解解xyOCAB223),(,),(yxyxQxyxyxPxyPxxQ,2则则 Ldyyxdxxyx)()(223 Ddxdyxx)2( 1010 xdydx21 DWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 13例例3. 计算计算,dde2Dyyx其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 则则2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式

8、利用格林公式 , 有有2eyxy yx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BDOBOABOAyDydyxedxdye221022dxxedyxexOAy).1 (211e也可以直接用二重积分来计算也可以直接用二重积分来计算Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 14例例4. 计算计算,dd22Lyxxyyx其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设设 L 所围区域为所围区域为D,)0 , 0() 1 (时时当当D由格林公式知由格林公式知0dd2

9、2Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPxyoLDWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 15dsincos2022222rrr2,)0 , 0()2(时时当当D在在D 内作圆周内作圆周,:222ryxl取逆时取逆时针方向针方向,1D, 对区域对区域1D应用格应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222dddd记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得L1Drlyxo例例4. 计算计算,dd22Lyxxyyx其中其中L为一无重点且不过原点为一

10、无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 16二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是是单连通域单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无

11、关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件则以下四个条件等价等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 17(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分LyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 证明证明 (1) (2)设设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP

12、1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1)AB1LWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 18证明证明 (1) (2)设设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1)AB1L说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 BAyQxPddA

13、ByQxPddWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 19(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 证明证明 (2) (3)在在D内取内取定点定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则则),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP)

14、,(和和任一点任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数有函数 Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 20),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx同理可证同理可证yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd证明证明 (2) (3)在在D内取内取定点定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则则),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(和和任一点任一点B( x, y ),与

15、路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数有函数 Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 21(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd则则),(),(yxQyuyxPxuxyuxQyxuyP22,Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 22xyuyxu22所以P, Q

16、 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyP证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd则则),(),(yxQyuyxPxuxyuxQyxuyP22,Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 23证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为所围区域为证毕证毕 (1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任

17、意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 24说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域若在某区域D内内,xQyP则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx),(00及动点及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或yyyyxQyxu0d

18、),(),(0则原函数为则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;yx0y0 xOxyWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 254) 若已知若已知 d u = P dx + Q dy , 则对则对D内任一分段光滑曲内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu)()(AuBu线线 AB ,有有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式称为此式称为曲线积分的基本公

19、式曲线积分的基本公式(P213定理定理4). babaxFxxf)(dd)(DAB 它类似于微积分基本公式它类似于微积分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFabWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 26解解.1523 例例4. Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 27yAxL例例5. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 为上半为上半24xxy从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,A

20、OD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则O6483Wednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 28例例6. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 设设,22yxQyxP则则xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxy

21、d022221yx)0 , 0(),(yxWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 29例例7. 验证验证22ddyxxyyx在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP则则)0()(22222xxQyxxyyP由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxOWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 30 xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxyWednesday, November 10, 2021高等数学A(下）34 - 31例例8. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L :xycos2由由)2, 0(A移动到移动到, )0,2(B求力场所作的功求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令令,22rxkQrykP则有则有)0(