高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件1北师大版必修

1、1.6 余弦函数的图像与性质yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 因为因为终边相同的角的三角函数值相同终边相同的角的三角函数值相同，所以，所以y=sinx的图像在的图像在 与与y=sinx,x0,2的图像相同的图像相同2,4,0,2,2,0,4,2sin, yx xr的图像的图像正弦函数正弦函数正弦曲线正弦曲线1.1.如何作正弦函数的图像？如何作正弦函数的图像？由由 能得到余弦函数的图像吗？能得到余弦函数的图像吗？)cos2sin(xx今天我们学习余今天我们学习余弦函数的图像及性质弦函数的图像及性质.1.1.会用会用“图像变换法图像变换法”和和“五点法五点法”作余弦函

2、数的作余弦函数的图像图像. .（重点）（重点）2.2.掌握余弦函数掌握余弦函数y=y=cosxcosx的图像和性质的图像和性质. .（重点）（重点） 3.3.会应用余弦函数会应用余弦函数y=y=cosxcosx的图像与性质解决一些简的图像与性质解决一些简单问题单问题. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 余弦函数余弦函数y=y=cosxcosx ( (xrxr) ) 的图像的图像 思考：思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？ycosxycosxsin(x)sin(x)2 2 注：余弦曲线的图像可以通过将正弦曲线向左平移注：余弦曲线的图像可以通过将正

3、弦曲线向左平移 个单位长度而得到个单位长度而得到.余弦函数的图像叫作余弦曲线余弦函数的图像叫作余弦曲线.2 2根据诱导公式，可得根据诱导公式，可得:x6yo-12345-2-3-41余弦函数的图像余弦函数的图像 正弦函数的图像正弦函数的图像 x6yo-12345-2 -3-41y=cosx=sin(x+ ), xr2余弦曲线余弦曲线正弦曲线正弦曲线形状完全形状完全一样，只一样，只是位置不是位置不同同方法：利用图像平移方法：利用图像平移【即时训练】【即时训练】d最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：(0,1)，3(,0)2(2 ,1)( , 1)(,0)2，在函数在函数 的图

4、像上，起关键作用的点有：的图像上，起关键作用的点有：cos ,0,2 yx x五点法作图五点法作图探究点探究点2 2 余弦函数的性质余弦函数的性质-1-oxy- 1-3232656734233561126余弦曲线：余弦曲线：y=y=cosx,xcosx,xr思考思考1 1：观察图中所示的余弦曲线，说出它们的观察图中所示的余弦曲线，说出它们的图像的对称性？图像的对称性？提示：提示：由图像可以看出，关于由图像可以看出，关于y y轴对称轴对称. .奇偶性奇偶性：偶函数：偶函数思考思考2 2：如何判断三角函数的奇偶性？如何判断三角函数的奇偶性？提示：提示：(1)(1)利用图像法：若图像关于原点对称，则

5、函利用图像法：若图像关于原点对称，则函数为奇函数；若图像关于数为奇函数；若图像关于y y轴对称，则函数为偶函数轴对称，则函数为偶函数. .(2)(2)根据奇偶性的定义判断：若对定义域内的任意根据奇偶性的定义判断：若对定义域内的任意x x都有都有f(-xf(-x)=)=f(xf(x) )，则函数为偶函数；若对定义域内，则函数为偶函数；若对定义域内的任意的任意x x都有都有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),则函数为奇函数则函数为奇函数. .对称轴方程对称轴方程x=x=k k (kz(kz) )对称中心为对称中心为(k(k + + ,0)(kz),0)(kz)函数函数y=y=cosxc

6、osx的对称性的对称性2由于正、余弦曲线无限延由于正、余弦曲线无限延伸，对称轴、对称中心有伸，对称轴、对称中心有无限多个无限多个. .yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 cosyx定义域定义域 周周 期期奇偶性奇偶性函数函数性质性质r rr rmaxminx2kkzy12x2kkzy12 当，时，当，时，y=y=sinxsinxy=y=cosxcosxmaxminx2kkzy1x(2k 1)kzy1 当，时，当，时，22奇函数：图像关于原点对称奇函数：图像关于原点对称偶函数：图像关于偶函数：图像关于y y轴对称轴对称2k2k(kz)2232k2k(kz)22，函数是

7、增加的，函数是减少的(2k 1) 2k(kz)2k,(2k 1)(kz)，函数是增加的，函数是减少的单调性单调性值值 域域提升总结：正弦和余弦函数的性质对比提升总结：正弦和余弦函数的性质对比3 522 322223252372【即时训练】【即时训练】例例1 1. .画出函数画出函数 的简图，根据图像讨论函的简图，根据图像讨论函数的性质数的性质cos1yx=-x xy=y=cosxcosx0 22320 0-1-1-2-2-1-1 0 0 解：解：列表列表1 1y=cosx-1y=cosx-1y=cosx-1 y=cosx-1 yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 -2

8、y=y=cosxcosx 函数函数y=cosx-1y=cosx-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性周期性周期性单调性单调性最值最值r r-2,0-2,0偶函数偶函数22x2k,2k(kz)x2k ,2k(kz)当时，函数是增加的；当时，函数是减少的x2k (kz)0 x(2k1) (kz)2当时，最大值为 ；当时，最小值为思考交流：思考交流：1cosx x.2根据余弦函数的图像，求满足的 的集合21y1画直线y =解析：的图像.21在区间 -，中直线y =与余弦函数图像有两个交点,2x6yo-12345-2-3-41在区间 -，中两个交点对应的自变量为-， ,3 3+在区间 - ， 两端点加上

9、周期即为所求，即 2k-，2k(kz).3 333452coscos.78例 比较与的大小解：解：.45coscos78所以【变式练习】【变式练习】d d(，03 3.不求值比较下列两个三角函数值的大小不求值比较下列两个三角函数值的大小.78cos cos.1011解：解：78,1011且减少的因为y = cosx在区间， 上是，278coscos.1011所以 解：解： x 0y=cosx10-101y=2cosx20-2022 22 23324 4. .用五点法画函数用五点法画函数y=2cosxy=2cosx，x x r r的图像的图像. .y=2cosx ，x r由周期性得整个图像由周期

10、性得整个图像. .yxo o-2222 2 23 xxycossinxr,解：定义域关于原点对称,xxxfxxycossin)(cossin记为把函数5 5. .判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性：. . .6.已知函数 y1abcos x 的最大值是32，最小值是12，求函数 y4asin 3bx 的最大值【解析】函数函数y1的最大值是的最大值是 ，最小值是，最小值是 .当当b0时，由题意得时，由题意得当当b0时，由题意得时，由题意得因此因此y2sin 3x或或y2sin 3x.函数的最大值均为函数的最大值均为2.3212abab 3212abab 121ab121 ab12321 对于求形如 yasin xb 或 yacos xb 的函数值域问题， 一般情况下只要注意到正、 余弦函数的性质“有界性”即可解决 注意当 x 有具体范围限制时， 需考虑 sin x 或 cos x的范围2求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解【特别提醒特别提醒】回顾本节课的收获回顾本节课的收获余弦函数