中考数学专题训练：定值和最值问题版

1、定值问题解1、如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF

2、是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：AEF的面积S不变化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）×8+（8t）×4×（8）。化简得：S=32为定值。所以AEF的面积S不变化，S=32。（3）若四边形APQF是

3、梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形APQF是梯形。2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大

4、（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，FAC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是

5、定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。（2） 由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关

6、系。【分析】把A，B分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大。设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得： ，解得：。直线AB的解析式是。当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。2、如图，抛物线l交x轴于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；【答案】解

7、：（1）如图1，设经翻折后，点AB的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（1，0），C点坐标不变，抛物线l1经过A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=，如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。此时，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设P为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC|B1C（三角形两边之差小于第三边），|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大。设直

8、线B1C的解析式为y=kx+b，则，解得k=b=3。直线B1C的解析式为：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。3、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值【答案】解：（1）由

9、抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6，3）由得D（1，4）。设直线DN的函数关系式为y=sx+t，则，解得。故直线DN的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 当BD为平行四边形对角线时，由B、C、

10、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。 当BD为平行四边形边时，点E在直线AC上，设E（x，x+1），则F（x，）。又BD=2若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）。 。 ，当时，APC的面积取得最大值，最大值为。4、如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及

11、对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MAMB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，A（4，0），C

12、（0，3）， ，解得。直线AC的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若ABCP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，BCx轴，ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。AN=BC=2。N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线CN的解析式为：y=x+3。点P2既在直线C