离散傅里叶变换(3)课件

1、离散傅里叶变换离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，简，简称称DFT)是数字信号处理中非常重要的一种数学变是数字信号处理中非常重要的一种数学变换，本章主要讨论换，本章主要讨论DFT的定义、物理意义及基本性的定义、物理意义及基本性质、频率采样和质、频率采样和DFT应用举例。主要内容包括：应用举例。主要内容包括：周期序列的离散傅里叶级数定义及其性质周期序列的离散傅里叶级数定义及其性质有限长度序列的离散傅里叶变换推导有限长度序列的离散傅里叶变换推导离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质频率域采样理论频率域采样理论离散傅里叶变换的基本应用离散傅里叶变换的基本应

2、用 第3章 离散傅里叶变换2021-11-1023.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT的应用举例的应用举例2021-11-1033.1 离散傅里叶变换定义离散傅里叶变换定义 3.1.1傅里叶变换的几种可能形式 傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系。所以，当自变量“时间”或“频率”取连续或离散值时，就形成各种不同形式的傅里叶变换对。1、连续时间、连续频率、连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换就是连续时间非周期信号x(t)的傅里叶变换关系,所

3、得到的是连续的非周期的频谱函数。2021-11-104在“信号与系统”课的内容中，已知这一变换对为这一变换对的示意图(这里只说明关系，并不表示实际的变换对)见图3-1。可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期性造成频域是连续的谱密度函数。 dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(3-13-22021-11-105图3-1 连续的非周期信号及其非周期、连续的频谱密度2021-11-1062、连续时间、离散频率、连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数设x(t)代表一个周期为T0的周期性连续时间函数，可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk0)，是离散频率的非周期

4、函数，和X(jk0)组成变换对，表示为 2/2/00000)(1)(TTtjkdtetxTjkXtjkkejkXtx0)()(0其中0=2F=2/T0为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔，k为谐波序号。 3-33-42021-11-107图3-2 连续的周期信号及其非周期离散谱线 这一变换对的示意图如图3-2所示。可以看出，时域连续函数造成频域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。 2021-11-1083、离散时间、连续频率、离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换这正是第二章中讨论过的序列（离散时间信号）的傅里叶变换，即 nnjjenxeX)()(de

5、eXnxnjj)(21)(3-53-6上面讨论的三种傅里叶变换对都不适合在计算机上运算，因为它们至少在一个域(时域或频域)中函数是连续的。因而从数字计算角度出发，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这里要研究的离散傅里叶变换。 2021-11-109离散傅立叶变换离散傅立叶变换有限长序列的离散频域表示有限长序列的离散频域表示 离散傅里叶变换的定义设x(n)是一个长度为N的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为10,)()(DFT)(10NkWnxnxkXNnnkN1010,)(1)(IDFT)(NkknNNnWkXNkXnx3-313-32(3-31)和(3-32)分

6、别是有限长序列的离散傅里叶正变换和反变换。x(n)与X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。已知其中的一个序列，就能唯一确定另一序列。离散傅里叶变换记作DFT，IDFT为逆变换。2021-11-10103.2 离散傅里叶变换的性质3.2.1线性性质线性性质如果和是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。若 )()()(21nbxnaxny式中a，b为任意常数，取N=maxN1,N2，则的N点DFT为 10),()()()(21NkkbXkaXnyDFTkY3-35其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 2021-11-10113.2.2循环移位性质循环移位性质1

7、、序列的循环移位、序列的循环移位设为x(n)有限长序列，长度为N，则的循环移位定义为 )()()(nRmnxnyNN3-36式(3-36)表明，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到再将 左移m位得到 ，最后取 的主值序列，则得到有限长序列的循环移位序列y(n)。x(n)及其循环移位过程如图3-7所示。显然y(n)仍是长度为N有限长序列。观察图3-7可见，循环移位的实质是将x(n)左移m位，而左侧移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。Nnxnx)()()(nx)(mnx)(mnx2021-11-1012图3-7 循环移位过程示意图 2021-11-10132、时域循环移位定理、时域循环移位定

8、理设x(n)是长度为N的有限序列，y(n)为x(n)的循环移位，即 )()()(nRmnxnyNN则)()(DFT)(kXWnykYkmN3-37其中 10),(DFT)(NknxkX证明： knNNnNknNNnNNWmnxWnRmnxnykY1010)()()()(DFT)(2021-11-1014令n+m=n，则有由于上式中求和项 以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区则得 1)(1)()()(knNmNmnNkmNmnkNmNmnNWnxWWnxkY)(knNNWnx)()()(10kXWWnxWkYkmNknNNnNkmN2021-11-10153

9、、频域循环移位定理、频域循环移位定理如果 X(k)=DFTx(n)， 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 则3-38)()(IDFT)(nxWkYnynlN式(3-38)的证明方法与时域循环定理类似，直接对Y(k)=X(k+l)NRN(k)进行IDFT即得证。 2021-11-10163.2.3循环卷积定理循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=maxN1，N2。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为 X1(k)=DFTx1(n)，X2(k)=DFTx2(n)如果 X(k)= X1(k) X2(k) 则1021)()()()(IDFT)(NmNNn

10、RmnxmxkXnx3-39或1012)()()()(IDFT)(NmNNnRmnxmxkXnx一般称(3-39)式所表示的运算为和的循环卷积。 2021-11-1017证明：直接对(3-39)式两边进行DFT 101021101021)()()()()()(DFT)(NmNnknNNknNNnNmNNWmnxmxWnRmnxmxnxkX令n-m=n，则有 mNmnknNNkmNNmNmmNmnmnkNNWnxWmxWnxmxkX12101101)(21)()()()()(2021-11-1018因为上式中 以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果不变。因此 2)(knNNWnx10),()

11、()()()(21102101NkkXkXWnxWmxkXNnknNNkmNNm式(3-39)的循环卷积过程如图3-8所示。 2021-11-1019图3-8 循环卷积过程示意图2021-11-1020由于循环卷积过程中，要求对x2(m)的循环反转，循环移位，特别是两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为 102121)()()()()()(NmNNmRmnxmxnxnxnx由于 )()()()()(DFT)(1221kXkXkXkXnxkX所以 )()()()()(IDFT)(1221nxnxnxnxkXnx即循环卷积亦满足交换率。 2021-11

12、-1021作为习题请读者证明频域卷积定理如果 x(n)=x1(n)x2(n)则102121)()()(1)()(1)(DFT)(NlNNkRlkXlXNkXkXNnxkX3-40或101212)()()(1)()(1)(NlNNkRlkXlXNkXkXNkX2021-11-10223.2.4复共轭序列的复共轭序列的DFT设 x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N X(k)=DFTx(n)则 DFTx*(n) = X*(N-k)，0kN-1且 X(N)= X(0)证明：根据DFT的唯一性，只要证明(3-41)式右边等于左边即可。 3-412021-11-1023证又由X(k)的隐含周期性有X

13、(N)= X(0)用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n) = X*(k) )(DFT)()()()-(10)10)(10)(nxWnxWnxWnxkNXNnnkNNnnkNNNnnkNN3-422021-11-10243.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性 (1)如果 x(n)= xr(n) + jxi(n)由DFT的线性性质即可得 3-49)()()(DFT)(opepkXkXnxkX3-50其中 )(DFT)(repnxkX)(DFT)(iopnjxkXX(k)的共轭对称分量X(k)的共轭反对称分量 (2)如果 x(n)=xep(n) + xop(n) 3-51)()()(DFT)

14、(IRkjXkXnxkX3-52其中 )(DFT)(Re)(epRnxkXkX)(DFT)(Im)(opInxkXjkjX2021-11-1025综上所述：如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则(1) X(k)共轭对称，即 X(k)=X*(N-k)，0kN-1 (2) 如果x(n)=x(N-n)，则X(k)实偶对称，即 X(k)=X(N-k) (3) 如果x(n)= -x

15、(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即 X(k)= -X(N-k) 3-533-543-552021-11-10263.3 频率域采样频率域采样设任意序列x(n)存在Z变换nnznxzX)()(且X(z)的收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到 10,)()()(22NkenxzXkXnknNjezkNj3-56显然，式(3-56)表示在区间0，2上对x(n)的傅里叶变换X(ej)的N点等间隔采样。如果将X(k)看成长度为N的有限长序列xN(n)的DFT，即 xN(n)=IDFTX(k)，0kN-1 2021-11-1027下面推导序列xN(n)与原

16、序列x(n)之间的关系，并导出频域采样定理。由DFT和DFS的关系可知，X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列 的离散傅立叶系数 的主值序列，即 将式(3-56)代入上式得 )(nx)(kX)(DFS)()(nxkXkXN)()()(kRkXkXN)()()(kXIDFTnxnxN1010)(1)(1NkknNNkknNWkXNWkXNmNknmkNNkmknNWNmxWmxNnx10)(101)()(1)(2021-11-1028式中 所以mrrNnmWNNknmkN其他，为整数0, 1110)(rrNnxnx)()(rNNNnRrNnxnRnxnx)()()()()(3-573-58

17、式(3-58)说明X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。2021-11-1029频域采样定理如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有 xN(n)=IDFTX(k)= x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列，否则产生时域混叠现象。这就是所谓的频域采样定理。下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。设序列x(n)的长度为M，在频域0到之间等间隔采样N点，NM，则有 10)()(NnnznxzX1, 2 , 1 , 0)()(2NkzXkXkNjez2021-11-1030式中 将上式代入X(

18、z)的表达式中得 10)(1)(IDFT)(NkknNWkXNkXnx上式中 ，因此1kNNW10111)(1)(NkkNNzWzkXNzX3-592021-11-1031令 则 1111)(zWzNzkNNk10)()()(NkkzkXzX3-603-61式(3-61)称为用X(k)表示X(z)的内插公式，k(z)称为内插函数。当z=ej时，(3-60)式和(3-61)式就成为x(n)的傅里叶变换变换X(ej)的内插函数和内插公式，即 )/2(111)(NkjNjkeeN10)()()(NkkjkXeX2021-11-1032进一步化简可得 在数字滤波器的结构与设计中，我们将会看到，频域采样

19、理论及有关公式可提供一种有用的滤波器结构和滤波器设计途径。 10)2()()(NkjkNkXeX)21()2/sin()2/sin(1)(NjweNN3-623-632021-11-10333.4 DFT的应用举例DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图象处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以DFT作为连续傅里叶变换的近似为基础。本节主要介绍用DFT计算卷积和相关系数的基础原理以及用DFT对连续信号和序列进行谱分析等最基本的应用。只要掌握了这两种基本

20、应用的原理，就为用DFT解决数字滤波和系统分析等问题打下了基础。 2021-11-10343.4.1用用DFT计算线性卷积计算线性卷积如果 102121)()()()()()(LmLLnRmnxmxnxnxny且)(DFT)()(DFT)(2211nxkXnxkX 则由时域循环卷积定理有 0kL-110),()()(DFT)(21lkkXkXnykY由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照图3-10所示的计算框图，在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。 2021-11-1035图3-10 用DFT计算循环卷积

21、在实际应用中，为了分析时域离散线性非时变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。和计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而DFT只能用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积和线性卷积相等的条件。 2021-11-1036假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： 其中，LmaxN，M， ，所以 10)()()()()(Nmlmnxmhnxnhny10)()()()()()(NmLLcnRmnxmhnxnhny3-643-65qLqLnxnx)()()()()()(

22、)()()(1010nRmqLnxmhnRqLmnxmhnyLqNmNmLqc 2021-11-1037对照式(3-64)可以看出，上式中 即)()()(10qLnymqLnxmhlNmqLlcnRqLnyny)()()(3-66式(3-66)说明，yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。我们知道，yl(n)长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度LN+M-1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓才混叠现象。此时取主值序列显然满足yc(n)=yl(n)。由此证明循环卷积等于线性卷积的条件是LN+M-1。图3-11中画出了h(n)、x(n)、h(n)*x(n)和L分别取6、8、

23、10时h(n)x(n)的波形。由于h(n)长度N=4，x(n)长度M=4，N+M-1=8，所以只有L8时，h(n)x(n)的波形才与h(n)*x(n)相同。 2021-11-1038图3-11 线性卷积与循环卷积 2021-11-1039如果取L=N+M-1 ，则可用DFT(FFT)计算线性卷积，计算框图如图3-12所示。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。 图3-12 用DFT计算线性卷积框图 2021-11-1040实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如MN时，直接套用上述方法是不行的。解决这个问题的方法是将长序列分段处理计算。这种分段处理法

24、有重叠相加法和重叠保留法两种。下面只介绍重叠相加法。 设序列h(n)长度为，x(n)为无限长序列。将均匀分段，每段长度取，则 0)()(kknxnx式中xk(n)= x(n)RM(n-kM)2021-11-1041于是，h(n)与x(n)的线性卷积可表示为式中 00)()()()()()()()(kkkkknynxnhnxnhnxnhny3-67)()()(nxnhnykk式(3-67)说明，计算h(n)与x(n)的线性卷积时，可先进行分段线性卷积yk(n)= h(n)*xk(n)，然后再把分段卷积结果叠加起来即可。如图3-13所示。每一分段卷积yk(n)的长度为N+M-1，因此yk(n)与y

25、k+1(n)有N-1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)与yk+1(n)相加，才能得到完整的卷积序列y(n)。 2021-11-10西安建筑科技大学信于与控制学42图3-13 重叠相加法卷积示意图 2021-11-10433.4.2 用DFT对信号进行谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成分分析离散信号和系统的有力工具。 1. 用DFT对连续信号进行谱分析工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(j)也是连续函数。2021-11-

26、1044设连续信号xa(t)持续时间和Tp， 最高频率为fc， 如图3-14所示。 xa(t)的傅里叶变换为以间隔T1/2fc (即fs=1/T2fc)采样xa(t)得 = xa(nT)。设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT，dt=T)得 2()( )( )jfaaaXifFT x tx t etdt120()()NjfnTanX ifTx nT e)(txa显然，Xa(jf)仍是f的连续周期函数， 和 如图3-14(b)所示。对在区间等间隔采样N点，采样间隔为F，如图3-14(c)所示。 )(txa)(jfXa2021-11-1045参数fc、Tp、N和F满足如下关系式： 由于

27、NT= Tp，所以 NTNfFs13-68pTF13-69将f= kF和(3-68)式代入 中可得Xa(jf)的采样 )(jfXa10 ,)()(102NkenTxTjkFXNnknNjaa令Xa(k)= ，x(n)= xa(nT)，则)(jkFXa102)(DFT)()(NnknNjanxTenxTkX3-702021-11-1046用同样方法，由 可以推出dfejfXatxftja2)()(nkNjNkankNjNkaaekXNFNekXFnTxnx210210)(1)()()(3-71(3-70)式说明，连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T的近似方法得到。时域采样

28、信号可由(3-71)式得出。对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，上述分析方法不丢失信息。 2021-11-1047但直接由分析结果Xa(k)看不到Xa(jf)的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应。如果的持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，所以会产生频率混叠和泄露现象，从而使谱分析产生误差。下面将讨论上述问题产生的原因及改进措施。 2021-11-1048图3-14 用DFT计算连续信号频谱原理2021-11-1049理想低能滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图3-15(a)、 (b)所示。 图中现在用DFT来分析ha(t

29、)的频率响应特性。由于ha(t)的持续时间为无穷长，故要截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.25s(即采样频率fs=4Hz)，采样点数N=Tp/T=32。 此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则 H(k)=TDFTh(n), 0k31其中 h(n)=ha(nT)R32(n)sin()( )ath tt3-712021-11-1050图 3-15 用DFT计算理想低通滤波器频响曲线 2021-11-1051H(k)的曲线如图3-15(c)所示。由图可见，低频部分近似理想低通频响特性，而高频误差较大，且整个频响都有波动。这些差别就是由于对ha(t)截断所产生的。为减少这种截

30、断误差，可适当加长Tp，增加采样点数N或用窗函数处理后在进行DFT。有关窗函数的内容将在FIR数字滤波器设计中详细叙述。 2021-11-1052连续信号进行谱分析对信号进行谱分析主要关心两个问题，就是谱分析范围和频率分辨率。谱分析范围受采样速率fs的限制。为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率fs2fc 按照式(3-69)，谱分辨率F=fs/N，如果保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少；如维持fs不变，为提高谱的分辨率可以增加采样点数N，因为NT=Tp，T=1/fs-1，只有增加对信号的观察时间，才能增加N，Tp和N可按照下式选择

31、： 3-72FfNc2FTp13-733-742021-11-1054例 3-1 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少? 解：因此TPmin=0.1 s， 因为要求fs2fc， 所以 110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF2021-11-10552. 用DFT对序列进行谱分析已知道单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换， 即为使频率分辨率提高一倍

32、， F=5 Hz， 要求minmin225001000510.25pNTs()( )jjz eX eX zX(ej)是的连续周期函数。如果对序列x(n)进行N点DFT，得到X(k)，X(k)是在区间0，2上对X(ej)的N点等间隔采样。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(FFT)来计算。 2021-11-1056对周期为N的周期序列 ，其频谱函数为其中 )(nxkjkNkXNnxeX)2()(2)(FT)(由DFT的隐含周期性知道，截取 的主值序列x(n)= RN(n)，并进行N点DFT得到102)()(DFS)(NnknNjenxnxkX)(nx)(nx)()()()(DFT)(DFT)(kR

33、kXnRnxnxkXNN所以可用X(k)表示 的频谱结构。 )(nx2021-11-1057如果截取长度M等于 的整数个周期， 即M=mN， m为正整数， 则 )(nx)()()(nRnxnxMM1, 1 , 0,)()()(DFT)(210210mNkenxenxnxkXknnNjmNnknMjMnMM令n=n+rN，r=0，1，. . .，m-1，n=0，1，. . .，N-1，则 rkmjmrNnkmNnjmrnMnkmNrNnjMeenxerNnxkX2101021010)(2)()()( 102102)()(mrrkmjmrrkmjemkXemkX2021-11-1058由此可见，X

34、M(k)也能表示 的频谱结构，只是在k=rm时，XM(rm)= ，表示 的r次谐波谱线，其幅度扩大m倍，而其它k值时，XM(k)=0。当然，X(r)与XM(rm)对应点频率是相等的。所以，只要截取 的整数个周期进行DFT，就可得到它的频谱结构，达到谱分析的目的。 )(nX)(nX)(rXm因为 所以整数，整数mkmkmemrrkmj/0/,102整数整数mkmkmkmXkXM/, 0/),()()(nX2021-11-1059如果 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即 再将截取长度扩大一倍，截取 )(nX)()()(nRnxnxMM1, 1 , 0),(DFT)(MknxkXMM)()

35、()(22nRnxnxMM12 , 1 , 0),(DFT)(22MknxkXMM比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则已以XM(k)或X2M(k)近似表示 的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为rM，则XrM(k0)表示 点的谱线强度。 )(nx02krM2021-11-1060实际应用中，并非整个单位圆上的频谱都很有意义。 例如，对于窄带信号，往往只希望对信号所在的一段频段进行谱分析，这时便希望采样能密集地在着段频带内进行，而带外部分可完全不管。有时希望采样点不局限于单位圆上。例如，语音信号处理中，常常

36、需要知道系统极点所对应的频率，如果极点位置偏离单位圆较远，则其单位圆上的频谱就很平滑，如图3-16(a)所示，这时很难从中识别出极点对应的频率。如果使采样点轨迹接近这些极点的弧线或圆周进行，则采样结果将会在极点对应的频率上出现明显的尖峰，如图3-16(b)所示，这样就能准确地测定出极点频率。2021-11-1061图 3-16 单位圆与非单位圆采样 2021-11-1062对均匀分布在以原点为圆心的任何圆上的N点频谱采样，可用DFT（FFT）计算，而沿螺旋弧线采样，则要用线性调频Z变换（Chirp-Z变换，简称CZT）计算。例如， 要求计算序列在半径为r的圆上的频谱，那么N个等间隔采样点为 k

37、=0, 1, 2, , N-1，zk点的频谱分量为 ,2kNjkrez102)()()(NnknNjnzzkernxzXzXk2021-11-1063令 ，则上式表明，要计算x(n)在半径为r的圆上的等间隔频谱分量，可以先对x(n)乘以r-n，再计算N点DFT(FFT)即可得到。若要求x(n)分布在该圆的有限角度内N点等间隔频谱分量，可以通过尾部补零的方法，仍按式(3-75)用DFT分析整个圆上的等间隔频谱，最后只取所需角度内的频谱分量即可。显然这种方法的计算量大，下面要介绍的Chirp-Z变换可使这种谱分析的运算量大大减少。 nrnxnx)()(10),(DFT)()(102NknxenxzXNnknNjk3-752021-11-10643. ChirpZ变换设序列x(n)长度为N，要分析z平面上M点频谱采样值，分析点为zk， k=0, 1, 2, , M-1。 则 zk=AW-k, 0kM-1 式中A和W为复数， 用极坐标形式表示为 式中A0和