全新版《实变函数》作业答案

1、实变函数作业一判断题1可测的充要条件是可测。 （对 ）2所有无理数构成的集合是可数集。 （错 ）3如果在上单调减少，则在上可测。 （对 ）4直线上任意非空开集均可表示为至多可数个两两不交的开区间的并。 （对 ） 5若是不可数集，则 。 （ 错 ）6若函数在上黎曼可积，则至多有可数个间断点。 ( 对 )7可数集合的任意并是可数集合。 （ 错 ）8中既开且闭的集只有空集与。 （对 ）9如果函数是上的单调函数，则在上是黎曼可积。 （对 ） 10.若，则是可测集。对 （对 ）11.定义上的狄利克雷函数在上几乎处处连续。 （ 对 ）12.集合上的常值函数必可积。 （ 错 ）13、区间0，1是一个可数集合

2、。 （错 ）14、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （ 对 ） 15、Rieman可积函数一定是Lebegus可积函数。 （ 错 ）16、0，1上的无理数是一个可数集合。 （ 错 ）17、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （对 ） 18、有界区间上Rieman可积函数一定是Lebegus可积函数。 （ 对 ）二1证明：证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。2试找出使和之间一一对应的一种方法。证明：令，做，使得，其它处， 3令表示（0,1）上的全体有理数，则是0,1上的全体有理数，且有如下定义一个函数，则这是满足条件的一一对应。4）三证明题1. 设是上几乎处处有限的

3、可测函数列，而几乎处处收敛于有限函数，则对任意的，存在常数与可测集，使在上，对一切，有。证明：直接利用鲁津定理。2. 证明：证明是开集，事实上，对任意，则，由连续函数的局部保号性，存在，使得对一切的，有，即，所以x是内点，从而是开集。3. 设在可积，则对任何，必存在上的连续函数，使得证明：教材第121页例1。4. 设在上，且几乎处处于上成立， 试证在上几乎处处成立。证明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得几乎处处成立，在利用控制性，所以在上几乎处处成立。5. 设是的可测子集，假定中的任一点至少属于这个集合中的个，证明：必有一个集，它的测度不小于。证明：令，则，同时,在利用反证法，若对所有，

4、有，则，矛盾。6.设在Cantor集上定义函数，而在的余集中长为的构成区间上定义。试证在上可积，并求出积分值。证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），7.设在上，且几乎处处成立， 则几乎处处有收敛于。证明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得几乎处处成立，在利用单调性，所以几乎处处有收敛于。8. 试从，证明.证明：先验证逐项积分的条件成立，所以9.证明：证明：验证Lebesgue控制定理的条件成立，所以10设，在上可积。如果对于任何有界可测函数，都有证明：在上几乎处处成立。证明：取，则有所以在上几乎处处成立，从而在上几乎处处成立。11. 设为上非负可积函数列，若证明：。证明：反证法，先写出的否定定义，再证明结论成立。12. 证明：。证明：利用，验证逐项积分的条件成立，所以13设是直线上的一个有界集合，则对任意小于的正数，存在的子集，使得证明：令，则连续单调，且，由连续函数的介值性，存在，使得对任意小于的正数，存在的子集，使得14对任意的，有当且仅当不属于所有的 当且仅当属于所有的，当且仅当，所以，。15 任取属于，则存在一个数列，且满足，因为，所以有，从而属于，即是