积分上限的函数及其导数课件

1、2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分1二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、问题的提出一、问题的提出第二节第二节微积分基本公式微积分基本公式(Fundamental Formula of Calculus)四、小结四、小结2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分2变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间

2、间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中一、问题的提出一、问题的提出2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分3 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限的函数积分上限的函数 如如果果上上限

3、限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分4积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()(图图5-2-1(1)5-2-1(1)2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分5积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证dttfxxxxa )()()()

4、(xxx dttfdttfxaxxa )()(图图5-2-1(1)5-2-1(1)2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分6dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx 00limlim( ).xxfx ).()(xfx 图图5-2-1(2)2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分7 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xax

5、afxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分8例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.20

6、21-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分9例例 2 2 设设)(xf在在),( 内内连连续续，且且0)( xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分10 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()(

7、tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分11例例 3 3 设设)(xf在在1 , 0上连续，且上连续，且1)( xf.证明证明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上只有一个解上只有一个解.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 ,

8、 0上上只只有有一一个个解解.令令2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分12定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系函数之间的联系.2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分13定理定理 3 3（

9、微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula）2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分14令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)(

10、)(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分15)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.2021-11-102021-11-10第五章第五章 定

11、积分定积分16例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12图图5-2-22021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分17例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原

12、式原式.211 xyo2xy xy 122 图图5-2-32021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分18例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积 0sin xdxA 0cos x. 2 2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分193.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限的函数积分上限的函数 xadttf

13、x)()(2.积分上限的函数的导数积分上限的函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系四、小结四、小结2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分20微积分基本公式微积分基本公式牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式则有则有 ,fxC a bFxfx 若若且且 ( )baf x dxfba ( )( )FbaF bF a )()()(aFbFdxxfba 积分中值定理积分中值定理微分中值定理微分中值定理2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分

14、21思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分22思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 2021-11-102021-11-10第五章第五章 定积分定积分23 2240002450.011.1,12,;4,242.1cos21113.lim3xtxxxfxxfx dxxxxdxedtxxx 练练习习题题求求242( )33f xxx解解4.4.设设21200( )( )d2( )d ,f xxxf xxf xx求求( ).f