材料力学弯曲内力

1、整理课件141 平面弯曲的概念平面弯曲的概念42 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩43 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图44 剪力、弯矩与荷载集度间的关系剪力、弯矩与荷载集度间的关系45 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图整理课件2 41 平面弯曲的概念平面弯曲的概念一、弯曲的概念一、弯曲的概念 1. 弯曲弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。整理课件33. 工程实例工程实例整理课件4纵向对称面纵向对称面

2、MF1F2q二、平面弯曲二、平面弯曲 杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为曲后轴线弯成一条平面曲线，称为。在后几章中，。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。整理课件5三、简单静定梁三、简单静定梁悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁整理课件6火车轮轴简化火车轮轴简化梁的载荷与支座梁的载荷与支座整理课件7车削工件车削工件整理课件8吊车大梁简化吊车大梁简化受均布载荷受均布载荷整理课件9FABalFABFAxFAyFB ; 0 xF0AxF ; 0Am, 0

3、 FalFBlFaFB ; 0yF, 0FFFBAylalFFAy)( 荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。整理课件10PABal 将梁从将梁从位置截开，取左侧。位置截开，取左侧。xAFAyFsMx 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的偶。该力与截面平行，称为截面的，用，用Fs 表示之；该力表示之；该力偶的力偶矩称为截面的偶的力偶矩称为截面的，用，用M 表示之。表示之。 剪力正负的规定：剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为使微段有顺时针转动

4、趋势的剪力为正，反之为负；正，反之为负； 弯矩正负的规定：弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。弯矩为正，反之为负。整理课件11 FsFsFsFs MMMM剪力正负的规定剪力正负的规定弯矩正负的规定弯矩正负的规定 内力通过平衡方程计算。内力通过平衡方程计算。AFAyFsMx, 0; 0sAyyFFFAysFF , 0; 01xFMmAyxFMAy整理课件12 计算梁内力的步骤：计算梁内力的步骤： 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；将梁在要求内力的

5、部位截开，选简单一側作研究对象； 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画； 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0，求剪力求剪力FS ； m= 0，求求弯矩。弯矩。整理课件13例例1 求图示梁求图示梁1、2、3、4截面的内力。截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：解：取整体，取整体，FAFB ; 0Bm01224qFFAkNFA511截面截面FA11Fs1M1A ; 0yF ; 01m01sAFFkNFs5101M 由由1 1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧

6、挨杆端截面的弯矩紧挨杆端截面的弯矩M=0。整理课件14CP=12kN22截面截面FA22Fs2M2A ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs52022AFMmkNM.102FA33Fs3M3A33截面截面 ; 0yF ; 03m03PFFsAkNFs73023AFMmkNM.103ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB整理课件15D2233PFs3M3Fs2M2 由由2、3 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论： 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；右左MM 集中力（包括支座反力）两侧截面的

7、的剪力不等，左集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。PFFss右左ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB整理课件16C44M4Fs444 截面截面 ; 0yF ; 04m04sF04M 由由44 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论： 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ； 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。ABD2m2m2mF=12kNq=2k

8、N/m11223344FAFB整理课件17例例2 求图示梁求图示梁1、2、3 截面的内力。截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：解：取整体，取整体， ; 0m0421mmFAkNFFBA311截面截面 ; 0yF ; 01m01sAFFkNFs31011mMFA11Fs1AM1m1mkNM.21整理课件18FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm122截面截面 ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs320212AFmMmkNM.8233截面截面 ; 0yF ; 03m03BsFFkNFs33023BFMmkNM.63FBABC2m2m112233

9、FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m整理课件19 由由2、3 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论： 集中力偶两侧截面的的剪力相等；集中力偶两侧截面的的剪力相等；右左ssFF 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。mMM右左C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m整理课件20例例3 求图示梁求图示梁1、2、3 截面的内力。截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6

10、kN/m3311 2FAFB23m解：取整体解：取整体 ; 0Bm02461qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB1811截面截面 ; 0yF ; 01m, 01sAFFkNFs61, 021AFMmkNM.121FA11Fs1M1A整理课件21BFA22Fs2M2Am22截面截面 ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs62022mFMAmkNM.24233Fs3M3FBq33截面截面 ; 0Y ; 03m033qFFsB03sF023333qFMBmkNM.273BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23m整理课件22qxql-xlFs(x)M

11、(x)图示梁任一截面的内力。图示梁任一截面的内力。 ; 0yF ; 0 xm0)()(xlqxFs)()(xlqxFs0)(2)(2xlqxM2)(2)(xlqxM 截面剪力是截面坐标的函数，称截面剪力是截面坐标的函数，称为为。 截面弯矩也是截面坐标的函数，称为截面弯矩也是截面坐标的函数，称为。整理课件23qxl 剪力方程剪力方程 的函的函数图象称为数图象称为。正的剪力画在。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。基线上侧，负的画在下侧。 )()(xlqxFs剪力图剪力图,)0(qlFs0)(lFsqlxFs 弯矩方程弯矩方程 的函数图象称为的函数图象称为。2)(2)(xlqxM,2)0(2lqM

12、, 0)(lM, 0)()(xlqdxxdMlx -ql2/2弯矩图弯矩图xM整理课件24 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画出画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出剪力，写出剪力和弯矩和弯矩 方程方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。图、弯矩图可见。最大剪最大剪力和弯矩分别为力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM4例题例题5 5qx xM xFS整理课件25 BAl

13、FAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyF b/ l FByF a/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例题例题6 6整理课件26 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集

14、中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。lM /lMb/CMab例题例题7 7 22()/sF xMlaxl 222()()/M xM lxlaxl 整理课件27 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯

15、矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 例题例题8 8整理课件2844 剪力、弯矩与荷载集度间的关系剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxo 取微段取微段dx ，受力如图。受力如图。0)(d)(d)()(; 0 xFxFxxqxFY

16、sss)(dd)(sxFxxq)(d)(dsxqxxF整理课件29ABdxx0;)(ioFm)(d)(dxFxxMs0)(d)()()(d()d(xMxMxMxxqxxFs221略去高阶微量得：略去高阶微量得：)()(d)( sd22xqdxxMdxxFq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)dxo整理课件30 当当q = 0 ，Fs =常数，常数， Fs 图为平直线；图为平直线； M 为一次函数，为一次函数，M 图为斜直线；图为斜直线； 当当q =常数常数 ， Fs为一次函数，为一次函数， Fs 图为斜直线；图为斜直线； M 为二次函数，为二次函数，M 图为抛物线；

17、图为抛物线； 当当M 图为抛物线时，画图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。的位置和顶点的弯矩值。由由：0)()(xFdxxdMs 可知可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。整理课件31 1 1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。化，成为一个转折点。 2 2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。矩数值。 3 3、 的绝对值可能发生在剪力等于的绝对值可能发生在剪力等于0 0处，

18、也可能发处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。生在集中力作用处，还有集中力偶处。maxM 根据根据M、Fs与与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。方程，即可画出剪力图和弯矩图。另外：另外：整理课件32 根据根据M、 Fs与与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；两端，支座处都应取作分段

19、点； 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；矩值； 用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩弯矩 连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。整理课件33例例9 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN

20、.mq=6kN/m4422 3FAFB34m11解：取整体解：取整体 ; 0Bm0246qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB18Fs图图M图图FsM1234=00B整理课件34AC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs图图M图图FsM12345=00FA22Fs2M2A ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs62022AFMmkNM.12266612B整理课件35Fs图图M图图FsM1234=00 ; 03m023mFMAmkNM.24366-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB ; 0yF04BsFFkN

21、Fs1846FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kN34m11B整理课件36AC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs图图M图图FsM12345=0066-181224B66kN18kN 3m5555Fs5M5FBq ; 05m023335qFMBmkNM.27502712kN.m24kN.m27kN.mB整理课件37例例10 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FAFB32m11解：取整体解：取整体 ; 0Am05226qFFBkNFB7 ; 0Y0

22、4 qFFFBAkNFA5Fs图图M图图FsM12345=002mB44 55D6=整理课件38AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs图图M图图Fs M12345=002mB44 55D6=5-75 ; 03m023AFMmkNM.103FA33Fs3M3AF ; 0yF03sAFFFkNFs13-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.m整理课件39AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs 图图M图图FsM12345=002mB44 55D6=5-75 ; 04m0244FFMAmkNM.84RA

23、44Fs 4M4AP-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.m8kN.m88整理课件40例例11 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：解：取整体，取整体，FB ; 0Bm0242qPmAmkNmA.8mA ; 0yF04 qPFBkNFB12Fs图图M图图Fs M1234=00844整理课件41ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs图图M图图Fs M1234=00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2 ; 0yF ; 02m02PFFBskNFs82022 PMmkNM.82-8

24、-8-8 4kN8kN 8kN.m8kN.mCB整理课件42例例12 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：解：取整体，取整体，FAFC ; 0Am03696qFmFCkNFC5 . 6 ; 0yF06 qFFFCAkNFA5 . 24455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)整理课件43ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs 图图M图图(kN)(kN.m),5 . 21kNFs,5 . 132kNFFss,5 . 34kNFs,365kN

25、FFss2.533.5 整理课件44ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 , 061 MM,.954mkNMM ; 03m02443mqFMAmkNM.43FA33Fs3M3Amq94整理课件45ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 ; 02m02442qFMAmkNM.22FA22Fs2M7Aq9422.5m ; 07m025. 15 .

26、25 . 27qFMAmkNM.125. 37FA77Fs7Aq773.125M2 整理课件46二、按叠加原理作弯矩图二、按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/l FA=ql/2FB=ql/2Fs图图M图图m/lmql/2ql/2ql2/8m/l+ ql/2m/l- ql/2mql2/8=+=Mmax整理课件47PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/l RA=P/2FB=P/2Fs图图M图图m/lmP/2P/2Pl/4m/l+ P/2m/l- P/2mPl/4=+=l/2l/2l/2l/2l/2P整理课件48 应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：应用

27、叠加原理画弯矩图常用的两种情况：l/2l/2ABMAMBPl/2l/2ABMAMBqPl/4MAMBMBMAql2/8M图图(b)M图图(a) AB段梁中间作用一集中力段梁中间作用一集中力P ，两端弯矩为两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（该段梁的弯矩图如图（a）所示；所示； AB段梁作用于均布荷载段梁作用于均布荷载 ，两端弯矩为两端弯矩为MA、MB，该该段梁的弯矩图如图（段梁的弯矩图如图（b）所示。所示。整理课件49例例13 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN6m2m11223344BCM 图图解：解：将梁分为将梁分为AB ，BC两段。两段。

28、041 MMmkNMM.832mkNql.9628181228kN.m9kN.m不必求支座反力。不必求支座反力。整理课件50例例14 用叠加法画图示梁的弯矩图。用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM 图图2m8kN.m解：解：将梁分为将梁分为AC ，BC两段。两段。先求支座反力。先求支座反力。FAFB ; 0Bm02468qmPFAkNFA6 ; 0yF04qPFFBAkNFB6整理课件51q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM 图图041 MMmkNM.162mkNql.44281812216kN.m4kN.m2m8kN.mmkNM.83mkNPl.44441414kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN整理课件52 例例15