函数类型及性质

1、函数类型及性质1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递减奇偶性当b0

2、时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形4有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：ana·a·· (nN*)；零指数幂：a01(a0)；负整数指数幂：ap(a0，pN*)；正分数指数幂：(a0，m、n N*，且n1)；(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r、sQ)(ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(3)指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，0y1 当x0时，y1.在(，)上是减函数当x0时，0y1；当x0时，y1；在(，)上是增函数5

3、对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN；N(a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·logcdlogad.(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logaM.6对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R过点(1,0)当x1时，y0当0x1，y0当x1时，y0当0x1时，y0是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数7.反函数指数函数yax与对数函数ylogax

4、互为反函数，它们的图象关于直线yx对称8幂函数的（1）定义：一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数（2）图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，y，yx1的图象分别如右图9正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(k，k)(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1

5、奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0)(kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期2210函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤3当函数yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相双基自测1若点(a,9)在函数y3x的图象上，则tan的值为(D) A0 B. C1 D.2函数f(x)2|x1|的图象是(B)3若函数f(x)，则该函数在(，)上是(A)A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值4已知a5log23.4，b5log43.6，c

6、log30.3，则(C)Aabc BbacCacb Dcab52 log510log50.25(C)A0 B1 C2 D46已知alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，则a，b，c的大小关系是(C)Aabc BacbCbac Dcab7函数f(x)log2(3x1)的值域为(A)A(0，) B0，)C(1，) D1，)8列区间中，函数f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是 (D)A(，1 B.C. D1,2)9. 已知aa3，则aa1_7_；a2a2_47_.10若loga>1，则a的取值范围是_考向一指数函数的性质1、已知函数f(x)·x3(a0且a1

7、)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函数f(x)的定义域为x|xR，且x0(2)对于定义域内任意x，有f(x)(x)3 (x)3(x)3 x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x30，x30，即当x0时，f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，则当x0时，x0，有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f(x

8、)0在定义域上恒成立当0a1时，f(x).当x0时，1ax0，ax10，ax10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1. (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(x)±f(x)，来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法【训练2】 设f(x)是定义在R上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，)的单调性解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即，整理得(exex

9、)0，即a0，即a210显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又对任意xR都成立，有a0，得a±1.当a1时，f(x)exex，以下讨论其单调性，任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)ex1ex1 ex2ex2 ，x1，x2(0，)且x1x2，ex1x21，ex1ex20，ex1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)，当a1时在(0，)为增函数，同理，当a1时，f(x)在(0，)为减函数考向二指数函数图象的应用【例3】(2009·山东)函数y的图象大致为()

10、审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性解析y1，当x0时，e2x10且随着x的增大而增大，故y11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y，y，ylg(10x1)等【训练3】 已知方程10x10x，lg xx10的实数解分别为和，则的值是_解析作函数yf(x)10x，yg(x)lg x，yh(x)10x的图象如图所示，由于yf(x)与yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh(x)与yx垂直，yf(x)与yh(x)的交点A和yg(x

11、)与yh(x)的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x)的交点为(5,5)又方程10x10x的解为A点横坐标，同理，为B点横坐标5，即10.答案10考向一对数式的化简与求值【例1】求值：(1)；(2)(lg 5)2lg 50·lg 2；(3)lg lg lg .审题视点 运用对数运算法则及换底公式解(1)原式.(2)原式(lg 5)2lg(10×5)lg (lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一原式(5lg 22lg 7)×lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5(lg 2lg 5)

12、lg 10.法二原式lglg 4lg(7)lglg. 对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化【训练1】 (1)若2a5b10，求的值(2)若xlog341，求4x4x的值解(1)由已知alog210，blog510，则lg 2lg 5lg 101.(2)由已知xlog43，则4x4x4log434log433.考向二对数值的大小比较【例2】已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf

13、(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCbca Dabc审题视点 利用函数单调性或插入中间值比较大小解析log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log47log49,0.20.62log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f(log3)f(log47)，即cba，故选B.答案B 一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决【训练2】 (2010·全国

14、)设alog32，bln 2，c5，则()Aabc Bbca Ccab Dcba解析法一alog32，bln 2，而log23log2e1，所以ab，c5，而2log24log23，所以ca，综上cab，故选C.法二alog32，bln 2，1log2elog232，1；c5，所以cab，故选C.答案C考向三对数函数性质的应用【例3】已知函数f(x)loga(2ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在0,1上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围审题视点 a0且a1，问题等价于在0,1上恒有.解a0，且a1，u2ax在0,1上是关于x的减函数又f(x)loga(2ax)在0,1上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，且对x0,1时，u2ax恒为正数其充要条件是，即1a2.a的取值范围是(1,2) 研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题复合函数的单调性的法则是“同增异减”本题的易错点为：易忽略2ax0在0,1上恒成立，即2a0.实质上是忽略了真数大于0的条件【训练3】 已知f(x