空间向量的加减法和数乘向量课件

1、复习回顾：平面向量1、定义： 既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD平面向量的加减法与数乘运算向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则向量的减法aba-b三角形法则向量的数乘aka（k0）ka（k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法ababOABb因此凡是涉及空间任意因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：空间任意两个向量经过平移一定共面？思考：空间

2、任意两个向量经过平移一定共面？平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？abcOABCab+abcOABCbc+( (空间向量空间向量) )ab+c+()ab+c+()( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b

3、 + + c ) )向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn也叫封口向量平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律)()(cb

4、acba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如: :a3a3a定义定义: 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算. . 类似地类似地, ,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算, ,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢? ? 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()() ()a babaaaaa 即： （）其中 、 是实数。例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D

5、1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D111121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCABABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()

6、2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF3例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，

7、求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满

8、足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2xABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简ABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习1在空间四边形在空间四

9、边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.EABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.ABCDDCBAADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.作业.,CDc, b, a cAD b aBDACBCABABCD，来表示试用，中，空间四边形AMCGDB1)2abc（1)3abc（思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表