矿大高数84多元复合函数求导法则课件

1、1第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xdududydxdyd推广推广（1）多元复合函数求导的链式法则）多元复合函数求导的链式法则（2）多元复合函数的全微分）多元复合函数的全微分dxxufduufdy)()()(2一一. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则定理定理 如果函数如果函数 都在点都在点 可导可导,函数函数)(, )(tvtut),(vufz 在点在点 处可微处可微, ),(vu)(),(ttfz在点在点ttdvdvztduduztdzdvuz则复合函数则复合函数tt证证: 设设 t 取增量取增

2、量, tvu ,vvzuuzz)()(22vutvvztuuztzto)()(o则相应中间变量有增量则相应中间变量有增量可导可导, 且有链式法则且有链式法则3令令 , ,则有则有0 t,0,0vuto)(tdvdvztduduztdzd( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(0t（vuztt)()(22vu )(o )()(22tvtu0时时, ,根式前加根式前加“”号号) )tdvdtvtdudtu,4推广推广:1）中间变量多于两个的情形。例如）中间变量多于两个的情形。例如)(, )(, )(,),(twtvtuwvufz则则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下tdzd3

3、21fff2）中间变量是多元函数的情形。例如）中间变量是多元函数的情形。例如),(, ),(,),(yxvyxuvufz则则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下xz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttduduztdvdvztdwdwzxuuzxvvzyuuzyvvz5又如又如),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时，则有当它们都具有可微条件时，则有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里这里xzxfxz表示表示固定固定 y 对对 x 求导求导xf表示表示固定固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀 : 连线相乘连线相乘, 分线相加分线相加。xfx

4、vvfyvvf与与不同不同v6例例1. 设设yxvyxuvezu,sin求 . yzxz,解解：xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx7例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyx求yuxu,解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos

5、28例例 3. 设 ,sintvuz.dtdzztvutttdzdtevtttetcos)sin(costduduztdvdvztz求全导数,teu tvcos解解:tusintcos9 例例 4 4 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. . 解解 令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf ),(vufw wvuzyxzyx10 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11

6、;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 21ff,vuzyxzyx11.,),(522yxzfxyxyfxz 求求具有二阶连续偏导具有二阶连续偏导其中其中设设例例:解解,xyvxyu令令),(vufxz2fvuxyxyxzxf22xxvvfxuufyfxxyfxxfvu 2222)(12vuf yxf yxf22yxz2)()()(vuf yyxf yyfyx22)(vuffuvxyxyyvvfyuufx 2yvvfyuufyfuuuyvvfyu

7、ufyxfxvvv22vvuuvuf yxfxyfxf 32313。求求具具有有连连续续导导数数，、，且且，设设例例dxdzgfxgyxyfz)()(6 解解zxyxxzdxdzdxdyyzyxyf)()()(xgxxyfgfxf y 14例例7: 已知二阶连续可导二阶连续可导其中其中gfxygyxyxfZ,),( xyz2求解解:1fxyz 22fyx gx1xyz2 x12111fyfy 221fy 2yx22211fyf y gx21gxy 3111fyxf 221fy 223fyx gx21gxy 31f 15二二. 复合函数的全微分复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为ydyzxdxzzdxdxvvzxuuz)(ydyvvzyuuz)(uzvzuz这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性 . )(ydyuxdxu)(ydyvxdxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 16例例8.解解:) (dzdudveusin )cos( )sin(yxyxeyxdxyxyxyeyx)cos()sin()cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvdveu