空间直线及其方程(32)课件

1、1空间直线及其方程空间直线及其方程第六节第六节一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角平面束平面束五五六、小结及作业六、小结及作业2xyzo1 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程2562123zyxzyx如如00yx3xyzo直线的

2、方向向量：直线的方向向量： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL,),(上一点上一点为为设设LzyxM00000M M ),(zyxML上上一一点点任任取取sMM0则则/,的的方方向向向向量量为为Lpnms ,0000zzyyxxMM而而二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程.的的直直线线方方程程求求L、对称式方程、对称式方程14pzznyymxx000称为直线的对称式方程称为直线的对称式方程(标准式标准式),的的方方向向向向量量为为Lpnms 为直线的方向数。为直线的

3、方向数。、pnm说明说明0) 1 (000zznyymxx.,000zznyymxx5pzzyyxx0000000yyxx),(00yx00)2(22221111DzCyBxADzCyBxAL若若的方向向量的方向向量则则L22211121CBACBAkjinnS6ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程、参数式方程、参数式方程2pzznyymxx000令令. t7例1例1解解,10PM 取取21PPS ,121212zzyyxx由对称式由对称式.121121121zzzzyyyyxxxx两点式方程两点式方程.,),(),(2122221111的的直直线线方方程程求求过过是是空

4、空间间两两点点设设PPzyxPzyxP8例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 9因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041zyx参数方程参数方程.3241tztytx312111kji10例例 3 3 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和 y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其

5、其方方程程. 解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx11例4例4.15234)5 , 2 , 3(的的交交线线平平行行的的直直线线方方程程和和且且与与两两平平面面求求过过点点zyxzx解解)5 , 2 , 3(0M21nns 512401kji,1, 3, 4直线方程直线方程.153243zyx12例5例5.052231211的交点的交点和平面和平面求直线求直线zyxzyx解解直线的参数方程直线的参数方程tztytx2321代入平面方程得代入平面方程得, 05)2

6、3()2()1 ( 2ttt, 4 t交点交点).5, 6 , 3(13定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角(锐角锐角)称为这称为这两直线的夹角两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角14两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s

7、,1 , 0 , 02 s, 021ss,21ss例如，例如，.21LL 即即15例6例613411:1zyxL设设1222:2zyxL.求求两两直直线线的的夹夹角角解解222222) 1()2(21)4(1) 1(1)2()4(21cos ,22.4 16例例 7 7 求求过过点点)3 , 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. 解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx17代入

8、平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx18定义定义 直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 19222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与

9、平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 20例例 8 8 设设直直线线:L21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角21平面束平面束五五:L设设)2(0) 1 (022221111DzCyBxADzCyBxA建立方程建立方程)3(0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA 是参数是参数

10、0)()()()(21212121DDzCCyBBxAA ),)()(外外除除的任一平面的任一平面表示通过表示通过23L.)(的的平平面面束束方方程程为为通通过过称称L322例9例9.0:0101:上上的的投投影影直直线线方方程程在在平平面面求求直直线线zyxzyxzyxL 解解为为设设过过直直线线的的平平面面束束方方程程, 0) 1() 1(zyxzyx , 0)1()1()1 ()1 ( zyx垂垂直直要要使使与与 , 01)1(1)1 (1)1 ( . 1 投投影影平平面面方方程程为为2220,yz所所求求投投影影直直线线方方程程为为10,0.yzxyz L23例例1 10 0且且垂垂直直已已知知平平面面过过直直线线42113zyx.,:求求其其方方程程于于平平面面0552zyx 解解直直线线可可写写成成一一般般式式方方程程1,312.34yxzx330,4360.xyxz即即作平面束作平面束(33)(436)0,xyxz (14 )33(36 )0.xyz 即即24, 待待求求平平面面与与垂垂直直 故故, 05)3() 1(32)41 ( .71 所所求求平平面面方方程程为为. 057z