导数、定积分

1、导数、定积分【知识要点】1导数的概念：函数y的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的 ，即 2导函数：函数y在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.3导数的几何意义：设函数y在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .4求导数的方法(1) 八个基本求导公式 ； ；(nQ) ， ， ， (2) 导数的四则运算 ， (3) 复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且 ，即.5 函数的单调性 函数y在某个区间内可导，若

2、0，则为 ；若0，则为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有，则 .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数的 ； 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.6可导函数的极值 极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值称为极大（小）值点. 求可导函数极值的步

3、骤： 求导数； 求方程0的 ； 检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y在这个根处取得 .7函数的最大值与最小值： 设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，则函数y在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求y在(a ,b )内的 值； 将y的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y在a ,b 上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y在a ,b 上单调递减，则为函数的 ，为函数的

4、.8定积分（1）概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）（2）定积分的性质（k为常数）；（

5、其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（a<b），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a<b）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。【典型例题】考点1：导数的概念与运算例1如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_（答：5米/秒）例2求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y= 例3（1）已知函数的导数为，则_（答：）；（2）函数的导数为_（答：）；（3）若对任意，则是_（答：）

6、（4）求的导数；（5）求的导数；（6）求y的导数解析：（4）先化简,（5）先使用三角公式进行化简.（6）yxy*（x）x）*（）。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量考点2：导数的几何意义例1（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_（答：）；（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_（答：3或1）；（3）已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，

7、则点的横坐标为_（答：0或）；（4）曲线在点处的切线方程是_（答：）；例2已知函数，又导函数的图象与轴交于。求的值；求过点的曲线的切线方程（答：1；或（ 例3已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=. 切线方程为即 点P（2，4）在切线上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=

8、0或x-y+2=0. 考点3：应用导数研究函数的单调性例1（2011北京文）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。解：（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以。例2（2010年高考江西卷理）设函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值解： 函数的定义域为， ，（1）当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）当时，所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此 例3.（2011北京理）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围

9、。解：(1)，令得当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2) 当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。 例4（2009安徽卷文）已知函数 （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间1，上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数.【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。解析 (1)由于令 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时 由得或 或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数,

10、在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又 · 函数在上的值域为考点4：应用导数求函数的极值与最值例1（2011安徽理）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对求导得 （I）当，若综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a>0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知例2（2011重庆理）设的导数满足，其中常数. （

11、）求曲线在点处的切线方程； () 设，求函数的极值。解：（）则；所以，于是有故曲线在点处的切线方程为：()由（）知，令；于是函数在上递减，上递增，上递减；所以函数在处取得极小值，在处取得极大值。例3（2012年安徽理）设(I)求在上的最小值;(II)设曲线在点的切线方程为;求的值.【解析】(I)设;则 当时,在上是增函数 得:当时,的最小值为 当时, 当且仅当时,的最小值为 (II) 由题意得: 例4（2011江西理）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.【解析】（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减

12、，则只需即可。由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.（2）令，得两根，.所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得，从而在上的最大值为.考点5：定积分例1计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）；（4）；解析：（1）（2）因为，所以；（3）（4）例2函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A. B. 1 C. 2 D. 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：，故选A.例3求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.图解：焦点坐标为，设弦AB、CD过焦点F，且由图得知：，故所求面积为：例4设y=f（x）是二次函数,方程f（x）

13、=0有两个相等的实根，且 =2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=.（3）依题意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.评述：本题考查导数和积分的基本概念.

14、【实战训练】1(2010年高考北京)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是2（2012年高考（重庆理）(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线

15、垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.2. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 3（2012年高考北京理）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.3. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类

16、型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. 解:(1)由为公共切点可得:,则, ,则, 又,即,代入式可得:. (2),设 则,令,解得:,; , 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 若,即时,最大值为; 若,即时,最大值为 若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 4.（2011江西）设. （1）如果在处取得最小值，求的解析式； （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 的值(注：区间的长度为）.解：（1）已知，又在处取极值，则，又在处取最小值-5.则，（2）要使单调递减，则又递减区间长度是正

17、整数，所以两根设做a，b。即有：b-a为区间长度。又又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。5.（2010年高考安徽卷）设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。6.(2010年全国高考宁夏）设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围6解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.7.（2011浙江）设函数，（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数7.本题主要

18、考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （）解：因为，所以由于，所以的增区间为，减区间为 （）证明：由题意得，由（）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得8.（2009宁夏海南）已知函数.(1) 设，求函数的极值；(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 解：（）当a=1时，对函数求导数，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小

19、值-26所以，的极大值是，极小值是（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a>1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 9（2012年高考天津）已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.9. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）当时，与（*）矛盾当时，符合（*）得：实数的最小值为(lfxlby)（3）由（2）得：对任

20、意的值恒成立取：当时， 得：（lb ylfx）当时，得：【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 10（2012年高考山东）已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意.10解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (),令可得, 当时,;当时,. 于是在区间内为增函数;在内为减函数. (), (1)当时, ,. (2)当时,要证. 只需证即可 设函数. 则, 则当时, 令解得, 当时;当时, 则当时,且, 则,于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证1:设函数,则, 则当时, 于是当时,要证, 只需证即可, 设, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证2:根据重要不等式当时,即, 于是不等式, 设, 令解得, 当时;